章节教案八年级数学下分解因式.doc

分解因式
【知识重点】
1.本章重点:用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解.
2、因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.
例如：
(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.
3、因式分解常用解题方法有：
(1)提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).
探究交流
下列变形是否是因式分解？为什么，
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.
(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义
(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.
(4)不是因式分解，是整式乘法.
(2)公式法
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.
例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.
其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
探究交流
下列变形是否正确？为什么？
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.
(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.
(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.
(3)分组分解法
(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)
(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2
=(x+1)2-y2
=(x+y+1)(x-y+1).
把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.
知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.
例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：
方法1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
方法2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).
(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.
例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.
分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：
(1)按字母分组；
(2)按次数分组；
(3)按系数分组.
例如：把下列各式因式分解.
(1) am+bm+an+bn；
(2)x2-y2+x+y；
(3)2ax-5by+2ay-5bx.
4、关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
事实上：x2+(p+q)x+pq
=x2+px+qx+pq
=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q).
∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.
例如：把x2+3x+2分解因式.
(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.
解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)

【经典例题】
例１．分解因式：
（1）； （2）
（3）； （4）
解：（1）； （2）；
（3）； （4）
点评：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“1”
③注意，
④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。

例２．分解因式：
（1）； （2）；
（3）
解：（1）； （2）；
（3）； （4）
点评：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。

例３．分解因式：
（1）； （2）
（3）
解：（1）（三、一分组后再用平方差）
（2）（三、二分组后再提取公因式）
（3）（三、二、一分组后再用十字相乘法）
点评：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。

例４．在实数范围内分解因式：
（1）； （2）
解：（1）
（2）
点评：１．分解因式一定要在指定的数集内分到不能再分为止．
２．；其中是方程的两个根．
例５．计算：
解：原式＝
＝2002＋2001＋1999＋1998＋…＋3＋1
＝
＝2 005 003
点评：分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

【方法点拔】
一．选择题：（每小题４分，共２４分）
1、把多项式因式分解的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、如果二次三项式可分解为，则的值为（ ）
A、－1 B、1 C、－2 D、2
3、若是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A、24 B、12 C、±12 D、±24
4、已知可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A、61、63 B、61、65 C、61、67 D、63、65
一、填空题：
1、（1）；(2)；(3)＝ 。
2、分解因式：
(1)＝ ；
4、若，那么＝ 。
5、如果为完全平方数，则＝ 。
三、解答题：
1、因式分解：
（1）; （2）;

（3）; （4）

（5）.

2、已知，求的值。

3、计算：

4、观察下列等式：

……
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。
5、已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状。
阅读下面解题过程：
解：由得：
①
②
即 ③
∴△ABC为Rt△。 ④
试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题的结论应为 。

【课后思考】
1.已知a,b,c是△ABC的三边，且满足关系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，试说明△ABC是等边三角形.

2.当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值
参考答案
一、填空题：
1、，，；2、，，
3、3 999 996 610；4、0；5、10或4；6、
二、选择题：DADD
三、解答题
1、（1）； （2）
（3）； （4）
（5）
2、
3、5050
4、
5、不正确，③，等式两边除以了可能为零的数，等腰或直角三角形。

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