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数学组图式

一元一次方程
定义方程前先定义等式，将等式与实际生活中的天平联系起来，天平的左、右两边分别表示等式的左、右两边，当天平左边砝码质量与右边物体质量相等时，天平保持平衡，此时，等式成立。
平面图形的认识
引导学生从生活中提炼垂直、平行的定义。通过实际动手操作得出角平线定义，并且给出几何语言，让学生结合图形结合图形进行简单说理。
解方程的一般步骤
有括号先去括号，有分母先去分母，如果既有括号又有分母一般先去分母再去括号。
有理数的图式
一. 有理数的概念

1．正数和负数： 大于零的数叫正数,在正数前加一个“-”号为负数.零既不是负数,也不是正数．
2．整数 和 分数 统称为有理数． 有理数的分类为：

3．数轴： 规定了 原点 、 单位长度 和 正方向 的直线叫数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但并不是所有的点都表示有理数．数轴上的原点表示数___0_____，原点左边的数表示_负数____，原点及原点右边的数表示 正数 ．
4． 有理数的大小比较：
⑴在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大 ．
⑵正数都 大于 0，负数都 小于 0，正数 大于 一切负数；
⑶两个负数比较大小， 绝对值大的反而小 ．
5． 数a的相反数是 —a ．数a的倒数是．负数 的相反数大于它本身，正数的相反数小于它本身， 0 的相反数等于它本身． 1和—1 的倒数等于它本身．
6． 一个数a的绝对值是指数轴上表示数a的点与 原点 的 距离，记作 |a| .
①一个正数的绝对值是 它本身 ； 即：如果a>0，则|a|= a ；
②一个负数的绝对值是 它的相反数 ； 如果a<0，则|a|= -a ；
③0的绝对值是 0 ． 如果a=0，则|a|= 0 ．
反之：若一个数的绝对值是它本身，则这个数是 非负数 ；若一个数的绝对值是它相反数，则这个数是 非正数 ；即若|a|=a，则a 0；若|a|=－a，则a 0．
二．有理数的运算

1．有理数的运算法则略
2．有理数的运算顺序：
有理数的运算顺序是先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；如果有括号，那么先算 括号内的运算 。
案例：计算：
1、 (-23)+(+58)+(-17) 2、（-2.8)+(-3.6)+(-1.5)+3.6

3、

在加法运算中顺序：首选相反数，其次找同分母，最后找同号相加。

图式案例

一、新旧理念下数学概念教学模式的转变
传统的数学概念教学通常分为以下几个步骤：
1、揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；
2、对概念的进行特殊分类，揭示概念的外延；
3、巩固概念，利用概念解决的定义进行简单的识别活动；
4、概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的联系。
 这种教学过程简明，使学生可以比较直接地学习概念，节省时间，被称为是“学生获得概念的最基本方式”。但是，仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念是远远不够的。数学概念具有过程——对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。
新课改理念下的数学概念教学要经过四个阶段：1、活动阶段；2、探究阶段；3、对象阶段；4、图式阶段。
以上四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活动”阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“探究”阶段是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；“对象”阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动；“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。
例如有理数加法法则的概念教学的四个阶段是：
（1）活动阶段：（运算操作）计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结的各种不同情形：
(+3)+(+2)——+5          (-2)+(-1)——-3
(+3)+(-2)——+1          (-3)+(+2)——-1
(+3)+ 0——+3             …………
（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。
（2）探究规律：把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。
（3）形成对象：把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：
有理数+有理数=①符号②数值
这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。
（4）形成图式：有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。
二、两种教学模式下学生学习方式的对比分析。
与新课改理念相比，传统的教学模式下学生的学习缺少“活动”阶段，对概念的形成过程没有充分体验，学生数学概念的建立靠教师代替快体验、快抽象。反映出的情况有：
（1）过快的抽象过程使得只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。例如学生学习有理数运算很长时间，还经常出现符号运算错误，这就是学生对有理数运算没有理解而造成的。
（2）由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。例如学生学习了代数式的概念，经常出现a+a+a×2=3a×2,25x-4=21x,5yz-5z=y等错误，这是因为学生没有进行必要的“活动”，使“探究”的体验不完整造成的。又如在求解方程中出现(x+2)2=1=x2+4x+4=1=……等错误，说明学生还停留于运算过程层面，对方程对象的结构特征不理解。
（3）学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面。例如，为什么要学习解方程？解方程的本质是什么？

1.一元一次不等式的图式
类比一元一次方程的步骤处理一元一次不等式的问题（解法，应用）。只需强调2者的区别即可.
2.特殊的四边形的图式
1）引导学生从未知向已知进行过渡，从边，角，对角线的3个固定方向去探究特殊四边形的性质和判定。
2）从三角形旋转180度得四边形探究特殊四边形的性质及判定。
3.画函数图像的图式
先列表描点连线（通式），探究出图像形状，在简化取点个数简单作图（特式）
不等式教学中的两个图式案例
问题1、解不等式：
学生已有的图式：解一元一次方程的一般步骤，即：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.但仅以此解决问题还不行，这是因为不等式与等式的区别造成的。对于等式，两边乘以或除以的数只要不为0就行；对于不等式，还应根据这个数的数性区别对待。所以，在原来图式的基础上，再追加一句：除负变号（通常只在第5步系数化为1时遇到），这样就形成解不等式的完整图式。

问题2、某工厂现有A种原料44千克，B种原料65千克，计划用这两种原料生产甲、乙两种产品共16件，已知生产一件甲产品需A种原料2千克，B种原料5千克；生产一件乙种产品需A种原料4千克，B种原料2千克.问：有哪几种生产方案？请你帮助设计出来.
学生已有图式：列方程或不等式解应用题的一般步骤，即：①审题，②设未知数，③列方程不等式，④解方程或不等式，⑤检验，⑥答.大家都知道应用题的关键在于寻求数量关系，从而列出方程或不等式。但此类问题中，数量关系不明显，即没有表示明确数量关系的关键词，这是学生解题过程中的难点所在，因此，教学中应引导学生构建新的图式。这个问题中的“生产方案”就是一类事件的图式。“生产方案”一般包括原料配给，产品数量，以后还有利润获取。隐含其中的与解决问题有关的数量关系是原料消耗总量不超过（即小于或等于）现有原料总数，这是一个不等关系。与此相类似的，还有“运输方案”，这其中的数量关系是总运量不小于货物数量。当学生明确这一类型的数量关系后，就可以得到解决问题的方法了。
解一元二次方程的图式

解一元二次方程的图式：
（1）开平方法
方程的左边是完全平方式,右边是非负数; 　
即形如x2=a(a≥0),
则

（2）“配方法”解方程的基本步骤：
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;
4.变形:化成
5.开平方，求解.
（一除、二移、三配、四化、五解.）

（3）公式法
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.

（4）因式分解法
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;

一般地，应先考虑开平方法,
再用因式分解法,
最后才用公式法和配方法.

图式思维在“平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定”中的运用
现代心理学认为：人脑中的知识不可能独立地储存，总要通过与其他知识建立某种关系而储存。而且只有通过一定的网络系统储存的知识才能被有效地提取利用。这意味着，运用图式理论指导数学教学，帮助形成知识结构，可以提高教学效果。我在教学中进行了图式教学的探索与实践。
１、 帮助学生形成知识网络。
帮助学生将知识加以梳理、沟通，使知识点之间发生联结，形成知识的网络系统，这样形成的认知图式便于学生理解、记忆和提取运用。例如在“课题 1.3（1）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质”和“ 课题 1.3（2）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定”的课前预习（见下表）就采用了直观地给以图形，便于学生比较和理解记忆。
回忆已学的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，在下表相应的空格内打“√”

平行四边形

矩形

菱形

正方形

对边平行

对边相等

四边相等

对角相等

四个角是直角

对角线互相平分

对角线相等

对角线互相垂直

两条对角线分别平分两组对角

中心对称图形

轴对称图形

回忆我们已经知道的平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，完成下表的填空.
判定方法
平行四边形
矩形

菱形

正方形

一（定义）
___组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
有一个角是直角的____________叫做矩形
有____组邻边相等的平行四边形叫做菱形
有___角是直角且有___组邻边相等的平行四边形叫正方形
二
对角线互相平分的______是平行四边形
对角线______的平行四边形是矩形
对角线互相垂直的_______是菱形

三
一组对边_______的四边形是平行四边形
有三个角是直角的_______是矩形
四边都_____的四边形是菱形
有一个角是直角的_______是正方形
四
两组对边分别______的四边形是平行四边形

有一组邻边相等的_______是正方形
２、 以旧引新，比较分析。
教学中教师要促使学生大脑中的图式有效地活动起来并被启用。如果学生原有知识不清晰或没有形成稳定的图式，学生难以应用，或者他们对新旧知识之间的关系辨别不清时，则可以设计指出新旧知识异同的知识点，来激活大脑中不清晰的图式，这样既可以巩固旧知，又便于旧知被提取运用，同化新知识。
如例5中（1）是原型，（2）平移GE，（3）平移GE、HF 均可转化为（1）类型
例5在正方形ABCD中:（1）已知，如图点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M.求证：AE=BF.（2）如图，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足为M，那么GE、BF相等吗？证明你的结论.（3）如图，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足为M，那么GE、HF相等吗？证明你的结论.

正所谓“以其所知，喻其不知，使其知之”。 运用图式理论，形成图式教学模式，能帮助学生理清知识的纵横联系和内涵外延，有助于积极迁移，形成图式，促进学生对知识的理解、记忆、巩固、提取，从而提高教学效率。

《圆》的图式案例

一、垂径定理
1.图形语言：如右图

2.文字语言：垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分这条弦所对的弧.
3.几何语言:如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．则有AE=BE，
= ， = ．
学法指导：
如图（1），圆的半径、弦AB的一半长AE、弦心距OE这三个量组成了直角△ABC,且
,三个量中知道其中两个量，就可以利用勾股定理求出第三个量.
即：（1） （2） (3),
利用第（2）个等式还可以进一步求出弓高CE (CE=OC-OE)的长.
利用第（3）个等式还可以进一步求出弦AB的长.

（1） （2）

二、切线长的定义、性质
定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线
长.
性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
学法指导：
题目中如有切线的条件，都要连接过切点的半径，构造直角三角形。
图中：PA、PB是圆的两条切线，∠PAO=∠PBO=,则 (1)PA=PB; (2) ∠APO=∠BPO; (3) ∠AOP=∠BOP;(4)AC=BC
从而求出一些线段长和角的度数.

图式教学案例《二次函数》
1. 二次函数的概念及图象特征
（1）二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．
（2）通过配方可写成，它的图象是以直线x＝为对称轴，以为顶点的一条抛物线．
学法指导：
将一般式化为顶点式有2种方法，是直接代入顶点坐标公式或配方法.
如：
求下列抛物线的顶点坐标：
(1) (2)
a=2,b=-2,c=1
,
抛物线的顶点坐标是（-1,1） 抛物线的顶点坐标是

2. 二次函数的图像和性质
值
函数的图象及性质
＞0
⑴开口向上，并且向上无限伸展；
⑵当x＝时，函数有最小值；
　当x＜时，y随x的增大而减少；
当x＞时，y随x的增大而增大．

＜0
⑴开口向下，并且向下无限伸展；
⑵当x＝时，函数有最大值；
　当x＜时，y随x的增大而增大；
当x＞时，y随x的增大而减小．

学法指导：研究二次函数的图像和性质时应首先求出对称轴
x＝，再结合抛物线的开口方向，考虑对称轴两侧的增减性。

3. 二次函数图象的平移规律
学法指导：
抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．

4. 、、及的符号与图象的关系
⑴a决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．
⑵a、b决定抛物线的对称轴的位置：
a、b同号，对称轴x＝＜0在y轴的左侧；
a、b异号，对称轴x＝＞0在y轴的右侧；
b=0时，x＝=0，对称轴是y轴.
⑶c决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：
抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）
　　c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；
　　c＝0，抛物线经过原点；
　　c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
⑷b2－4ac决定抛物线与x轴交点的个数：
求抛物线与x轴的交点坐标：
令y=0，则得方程，方程的解的　情况决定了抛物线与x轴交点个数.
①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
在三角函数教学中应用图式理论
解直角三角形的概念的教学，是要让学生能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形.尤其是对其关系式的选择这一问题中，学生能够清楚地找到有效的关系式，从而使得解题能够简便。
如图，在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，
其余5个元素之间有以下关系：
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝
(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝
(3)边与角关系sinA＝ ＝，cosA＝sinB＝，
tanA＝ ＝ .
上面(3)中的边与角关系应该有另外的形式:a=c sinA b=c sinB 等，那么在什么情况下用什么关系式可以和学生展开讨论，并在讨论中求得最佳答案。