2023年新高考数学选填压轴题汇编(解析版).docx

2023 年新高考数学选填压轴题汇编 (六)
一、单选题
1. (2022 · 福建省福州华侨中学高三阶段练习) 函数 f x = Asin(ωx + 4(π) (ω >0 的图象与 x 轴的两个相邻交点间的 距离为 3(π)，要得到函数 g x = Acosωx 的图象，只需将 f x 的图象 ( )
A. 向左平移 12(π) 个单位 B. 向右平移 4(π) 个单位
C. 向左平移 4(π) 个单位 D. 向右平移 4(3π) 个单位
【答案】A
【解析】由题意，函数 f x = Asin(ωx + 4(π) (ω >0 的图象与 x 轴的两个相邻交点间的距离为 3(π)
∴ 周期 T = 3 ，由周期公式： T = ω
2π 2π
3 ω
2π 2π

∴ T = =
解得： ω = 3
∴ f x = Asin(3x + 4(π) (= Asin3(x + 12(π) (
要得到 g x = Acos3x，即 g x = Acos3x = Asin(3x + 2(π) (= Asin3(x + 6(π) (
π
由题意，可得 f x 向左平移 12 个单位可得 g x .
故选： A.
2. (2022 · 福建省福州屏东中学高三开学考试 ) 若函数 f x = ex - a - 1 x +1 在 (0，1) 上不单调， 则 a 的取值范围是 ( )
A. 2,e + 1 B. [2,e + 1 [
C. -∞,2 [ ∪ [e + 1,+∞ D. -∞,2 ∪ e + 1,+∞
【答案】A
【解析】 ∵ f(x) = ex - (a - 1)x + 1，∴ f (x) = ex - a + 1，
若 f(x) 在 (0,1) 上不单调，则 f (x) 在 (0,1) 上有变号零点，
又 ∵ f (x) 单调递增， ∴ f 0 ∙ f 1 < 0，即 (1 - a + 1) (e - a + 1) < 0，解得 2 < a < e + 1．
∴ a 的取值范围是 (2,e + 1)．
故选： A．
3. (2022 · 福建省福州第二中学高三阶段练习 ) 已知圆 C:x2 + y2 - 10y + 21 = 0 与双曲线 x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) 的 a2 b2
渐近线相切，则该双曲线的离心率是

A.
2
5
B .
3
5
C .
2
D.
5
【答案】C
【解析】由双曲线 a(x)2(2) - b(y)2(2) = 1(a >0,b >0)，可得其一条渐近线的方程为 y = a(b)x，即 bx - ay = 0，
又由圆 C:x2 + y2 - 10y + 21 = 0，可得圆心为 C(0,5)，半径 r = 2，
则圆心到直线的距离为 d = b a)2 = c(5a)，则 c(5a) = 2，可得 e = a(c) = 2(5) ，
故选 C．
4. (2022 · 福建省福州第一中学高三开学考试) 过圆 x2 + y2 = 64 上的动点作圆 C:x2 + y2 = 16 的两条切线，两个切点之 间的线段称为切点弦，则圆 C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 ( )
A. 4π B. 6π C. 8π D. 12π

【答案】A
【解析】
设圆 x2 + y2 = 64 的动点为 P (m,n (，过 P 作圆C 的切线，切点分别为A,B，
则过 P,A,B 的圆是以 PO 直径的圆，该圆的方程为： x (x - m (+ y (y - n ( = 0.
由〈y (y - n ( = 0 可得 AB 的直线方程为： mx + ny = 16.
原点到直线 mx + ny = 16 的距离为 m2 + n2 = 64 = 2，
|16 | |16 |

故圆 C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π，
故选： A.
5. (2022 · 福建省福州第一中学高三开学考试 ) 某学生到工厂实践， 欲将一个底面半径为 2，高为 3 的实心圆锥体工件
切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内. 若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是

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16π
A .
9

8π
B .
9

16π
C .
27

8π
D .
27

【答案】A
【解析】设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，
则由题意可得 2 = 3 ，
3
r 3 - x

∴ x = 3 - 2 r，
∴ 圆柱的体积为 V(r) = πr2 (3 - 2(3) r ((0 < r < 2)，
则 V(r) = 9(16) π ∙ 4(3) r ∙ 4(3) r ∙ (3 - 2(3) r (≤ 1 9(6)π ∙ 4(3) r + 4(3) r3+ 3 - 2(3) r 3 = 1 9(6)π．
3 3 4
当且仅当 4 r = 3 - 2 r，即 r = 3 时等号成立．
16π
∴ 圆柱的最大体积为 9 ，
故选： A．
6. (2022 ·福建省福州延安中学高三开学考试) 已知 2sin2x +cos2y = 1，则 sin2x +cos2y 的取值范围是 ( )
A. (0, 2(1) B. 2(1) ,1 C. 22 ,1 D. (
【答案】B
【解析】 ∵ 2sin2x + cos2y = 1，
∴ cos2y = 1 - 2sin2x，
∴ 0 ≤ 1 - 2sin2x ≤ 1，
∴ 0 ≤ sin2x ≤ 2，
1
又 sin2x + cos2y = sin2x + 1 - 2sin2x = 1 - sin2x ∈ 2(1) ,1 ，
∴ sin2x + cos2y 的取值范围是 2(1) ,1 .
故选：B
7. (2022 · 福建 · 福州十八中高三开学考试 ) 设函数 f(x) 的定义域为 R，f(x + 1) 为偶函数， f(x + 2) 为奇函数， 当 x ∈ [1,2 ] 时，f(x) = ax + b. 若 f(0) + f(3) = 4，则 f( 2(9) (= ( )

A. - 2

3
B .
2

7
C . -
2

7
D .
2

【答案】A
【解析】因为 f(x + 1) 为偶函数，则 f(x + 1) 的图像关于 y 轴对称，
所以 f(x) 关于 x = 1 对称，则 f(0) = f(2)，

因为 f(x + 2) 为奇函数，则 f(x + 2) 的图像关于原点对称，且 f(2) = 0，
所以 f(x) 关于 (2,0) 对称，则 f(3) = -f(1)，
因为当 x ∈ [1,2 ] 时，f(x) = ax + b，
所以 f(1) = a + b，f(2) = 2a + b = 0，
因为 f(0) + f(3) = 4，所以 f(2) - f(1) = a = 4，
故f(2) = 2a + b = 8 + b = 0 ⇒ b = -8，
从而当 x ∈ [1,2 ] 时，f(x) = 4x - 8，
故f( 2(9) (= -f (- 2(1) (= -f ( 2(5) (= f ( 2(3) (= 4 × 2(3) - 8 = -2.
故选： A.
8. (2022 · 福建 · 闽江学院附中高三开学考试) 设函数 fp x 是奇函数 f x x ≠0 的导函数， f -1 = -2．当 x >0 时， fp x > 2，则使得 f x >2x 成立的 x 的取值范围是 ( )
A. -∞,-1 ∪ 0,1 B. -1,0 ∪ 1,+∞ C. -∞,-1 ∪ 1,+∞ D. -1,0 ∪ 0,1
【答案】B
【解析】因为当 x >0 时，fp x > 2，所以 f' x - 2 > 0，
故令 g x = f x - 2x，则 g' x = f' x - 2 > 0，故 g x 在 0,+∞ 上单调递增.
因为 f -1 = -2，所以 g -1 = f -1 + 2 = 0，
又因为 f x 为奇函数，所以 g x = f x - 2x 为奇函数，
所以 g 1 = 0，且在区间 -∞,0 上， g x 单调递增.
所以使得 f x >2x，即 g x >0 成立的 x 的取值范围是 -1,0 ∪ 1,+∞ .
故选：B
9. (2022 · 江苏 · 常州市平陵高级中学高三开学考试 ) 若函数 f x = x2 + ax + b 在区间 [0,1 ] 上的最大值是 M, 最小值 是 m, 则 M - m 的值
A. 与 a 有关，且与 b 有关 B. 与 a 有关，但与 b 无关
C. 与 a 无关，且与 b 无关 D. 与 a 无关，但与 b 有关
【答案】B
【解析】因为最值在 f(0) = b,f(1) = 1 + a + b,f (- 2(a) (= b - 4(a2) 中取，所以最值之差一定与 b 无关，选 B．
10. (2022 · 江苏 · 常州市平陵高级中学高三开学考试 ) 设函数 f(x) 的定义域为 R，f(x + 1) 为奇函数， f(x + 2) 为偶函 数，当 x ∈ [1,2 ] 时，f(x) = a ⋅ 2x + b．若 f(0) + f(3) = 6，则 f log296 的值是 ( )
A. - 12 B. - 2 C. 2 D. 12
【答案】B
【解析】f(x + 1) 为奇函数，即其图象关于 (0,0) 点对称，所以 f(x) 的图象关于 (1,0) 点对称， f(x + 2) 为偶函数，即其图象关于 y 轴对称，因此 f(x) 的图象关于直线 x= 2 对称，
所以 f(1) = 0，f(0) = -f(2)，f(3) = f(1)，
所以 f(1) = 2a + b = 0，f(0) + f(3) = -f(2) = - (4a + b) = 6，由此解得 a = -3，b = 6，
所以 x ∈ [1,2 ] 时，f(x) = -3 ⋅ 2x + 6，
由对称性得 f(x + 2) = f(2 - x) = -f(1 - (1 - x)) = -f(x)，
所以 f(x + 4) = -f(x + 2) = f(x)，f(x) 是周期函数，周期为 4，
6 < log 96 < 7，
2
f(log296) = f(log296 - 4) = f(4 - log296 + 4) = f (log2 96(256) (= f (log2 3(8) (= -3 × 3(8) + 6 = -2，
故选： B．
11. (2022 · 江苏 · 盐城市伍佑中学高三开学考试 ) 已知函数 f x =〈o2(a > 0，且 a ≠ 1) 在 R 上 单调递减，且关于 x 的方程 |f x | = 2 - x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 ( )

A. ∪〈 4(3)〈 B. ( C. ∪〈 4(3)〈 D. (
【答案】C
【解析】函数 f (x (在 R 上单调递减，
3 -24a ≥ 0 1 3
则〈 解得 3 ≤ a ≤ 4 ，
在同一直角坐标系中，画出函数 y = |f (x (| 和函数 y = 2 - x 的图象，如图：
由图象可知，在 [0,+∞ (上， |f (x (| = 2 - x 有且仅有一个解，
故在 ( -∞,0 (上， |f (x (| = 2 - x 有且仅有一个解，
当 3a > 2 即 a > 3(2) 时，
由 x2 + (4a - 3 (x + 3a = 2 - x，
即 x2 + (4a - 2 (x + 3a - 2 = 0,x < 0，则 Δ = (4a - 2)2 - 4 (3a - 2 ( = 0，
解得 a = 4(3) 或 1(舍去)，
当 a = 4(3) 时，方程可化为 (x + 2(1) (2 = 0,x = - 2(1) 符合题意；
当 1 ≤ 3a ≤ 2，即 3(1) ≤ a ≤ 3(2) 时，由图象可知，符合条件，
综上： a 的取值范围为 ∪〈 4(3)〈 .
故选： C.
12. (2022 · 江苏 · 盐城市伍佑中学高三开学考试) 已知正实数 a,b 满足 abea + lnb + 1 = 0，则 ( )
e b
A. b > 1 B. a < 1 C. ab = 1 D. ea < 1
【答案】D
【解析】因为 abea + lnb + 1 = 0，所以 aea = -lnb(b) - 1 > 0，故 lnb + 1 < 0，
即 0 < b< e(1)，故选项 A 错误；
若 a = 1，则 eb + lnb + 1 = 0，作出函数 y = lnx 与y = -ex - 1 的图象如图
所示：

显然有交点，则方程 eb + lnb +1 = 0 有解，故选项 B 错误；
若 ab = 1，则 ea - lna + 1 = 0，即 ea = lna - 1，作出函数 y = ex 与 y = lnx -
1 的图象如图所示：

显然无交点，则方程 ea - lna +1 = 0 无解，故选项 C 错误；
因为 abea + lnb + 1 = 0，则 aea + b(1) = - l b(n)b = -lnb ⋅ e-lnb > aea，
且 -lnb > 0，令 f (x ( = xex (x > 0)，则 fp (x ( = (x + 1 (ex > 0，
所以 f (x (在区间 (0,+∞ (上单调递增，所以 f ( -lnb (> f (a (，即 -lnb>
a
，
因此 ea < b，故选项 D 正确.
故选：D
1

13. (2022 · 江苏 · 睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习 ) 已知函数 f (x ( = 若 f (x ( < m - x(1)2 在 (0,+∞) 上 恒成立， e = 2.71828 ⋅⋅⋅ 为自然对数的底数，则实数 m 的取值范围是 ( )

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B. -∞,1
D. 0,1 [

A. m >e B. m > 2(e) C. m > 1 D. m > e
【答案】B
【解析】若 f x < m - x(1)2 在 (0,+∞) 上恒成立，即 f x + x(1)2 < m 在 (0,+∞) 上恒成立，
令 g(x) = f(x) + x(1)2 = 故只需 g(x)max < m 即可，
1 ⋅ x2 - (lnx + 1) ⋅ 2x
x4 x3
gp (x) = x = -2lnx - 1，令 gp (x) = 0，得 x = e- 2(1)，
当 0 < x < e- 2(1) 时，gp (x) > 0；当 x > e- 2(1) 时，gp (x) < 0，
所以 g(x) 在 0，e- 2(1) 上是单调递增，在 e- 2(1),+∞上是单调递减，
所以当 g(x)max = g e- 2(1) = 2(e) ，
所以实数 m 的取值范围是 m > 2 .
故选： B.
e

14. (2022 · 河北省唐县第一中学高三开学考试) 定义运算 a * b，a * b = { 例如 1 * 2 = 1，则函数 y = 1 * 2x 的值
域为
A. 0,1
C. [1,+∞
【答案】D
【解析】当 1 ≤ 2x 时，即x ≥ 0 时，函数 y = 1 * 2x = 1
当 1 > 2x 时，即x < 0 时，函数 y = 1 * 2x = 2x
∴ f(x) =〈((
由图知，
函数 y = 1 * 2x 的值域为： (0，1 ]．
故选 D．
15. (2022 · 重庆 · 临江中学高三开学考试) 已知函数 f x =〈3|lx,(o)g3x |若函数 g x = [f x [2 - m + 2 f x + 2m 恰好有 5 个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 ( )
A. 0,1 [ B. 0,1 C. [1,+∞ D. 1,+∞
【答案】A
【解析】画出函数的大致图象，如下图所示：
∵ 函数 g x = [f x [2 - m + 2 f x +2m 恰好有 5 个不同的零点， ∴ 方程
[f x [2 - m + 2 f x + 2m = 0 有 5 个根，设 t = f(x)，则方程化为 t2 -
m + 2 t +2m = 0，易知此方程有两个不等的实根 t1，t2，结合 f(x) 的图象可知，
t1情得(0,)：(1)[〈，2(2- 8(，令)0(=)t，解(2 -) 则由二次函数的根的分布
h(1) ≤ 0
故选：A
16. (2022 · 重庆 · 临江中学高三开学考试) 已知定义在 (-3,3) 上的函数 f(x) 满足 f(x) + e4xf(-x) = 0,f(1) = e2 ,fp (x) 为 f(x) 的导函数，当 x ∈ [0,3) 时，fp (x) > 2f(x)，则不等式 e2xf(2 - x) < e4 的解集为 ( )
A. (-2,1) B. (1,5) C. (1,+∞) D. (0,1)

【答案】B
【解析】令 g x 所以 f x = e2xg x ，因为 f x + e4xf -x = 0，所以 e2x ⋅ g x + e4x ⋅ e-2xg -x = 0，化简 得 g x + g -x = 0，
所以 g x 是 -3,3 上的奇函数；
gp x = e4x = e2x ，
fp x e2x - 2e2xf x fp x - 2f x
因为当 0 ≤ x < 3 时，fp x > 2f x ，
所以当 x ∈ [0,3 时， gp x >0，从而 g x 在 [0,3 上单调递增，又 g x 是 -3,3 上的奇函数，所以 g x 在 -3,3 上单调递增；
考虑到 g 1 = e(e)2(2) = 1，由 e2xf 2 - x < e4，
得 e2xe2 2-x g 2 - x < e4，即 g 2 - x < 1 = g 1 ，
由 g x 在 -3,3 上单调递增，得〈 解得 1 < x < 5，
所以不等式 e2xf 2 - x <e4 的解集为 1,5 ，
故选： B.
17. (2022 · 重庆南开中学高三阶段练习 ) 公元 656 年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术 . 祖暅在求球体积
时，使用一个原理： “幂势既同， 则积不容异”，意思是两个同高的立体， 如在等高处的截面积恒相等， 则体积相等 .
上述原理在中国被称为祖暅原理， 我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体 积 . 如图，将双曲线 C:y2 - x2 = 5 与直线 x = ±2 所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体 Γ，下列平面图形绕其对称轴 (虚线所示) 旋转一周所得几何体与 Γ 的体积相同的是 ( )

A. 图①，长为 6、宽为 4 的矩形的两端去掉两个弦长为 4、半径为 3 的弓形
B. 图②，长为 2 5、宽为 4 的矩形的两端补上两个弦长为 4、半径为 3 的弓形
C. 图③，长为 6、宽为 4 的矩形的两端去掉两个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形
D. 图④，长为 2 5、宽为 4 的矩形的两端补上两个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形
【答案】B
【解析】由〈 得：y = ±3，
则当 y = t 5 < t <3 与 C 相交于两点时， 内圆半径 r = t2 - 5，则在该位置旋转一周所得圆环面积为 4π - t2 - 5 π = 9 - t2 π；
将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，

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19. (2022 · 辽宁 · 沈阳市第四中学高三阶段练习)
A. —AI = 1 (—AB+ AC)

—
cAC
C. AI = a + b + c + a + b + c
【答案】C
—

对于③，双曲线实轴长为 2 5，③中 y 轴的最短距离为 6 - 2 32 - 22 = 6 - 2 5，不合题意，③错误； 对于④，几何体 Γ 母线长为 6，④中 y 轴的最长距离为 2 5 + 2 32 - 22 = 4 5，不合题意，④错误； 对于①，在 y 轴的最短距离为 6 - 2 × 3 - 32 - 22 = 2 5，母线长为 6，与几何体 Γ 吻合；
当 y = t 5 < t <3 与①中图形相交时，两交点之间距离为 2 32 - 3+ 5 - t 2，
此时圆环面积为 4π - 32 + 3 + 5 - t 2 π = -t2 + 2 3 + 5 t - 14 - 2 5 π，不合题意，①错误 对于②，在 y 轴的最长距离为 2 5 + 2 × 3 - 32 - 22 = 6，矩形高为 2 5，与几何体 Γ 吻合；
当 y = t 5 < t <3 与②中图形相交时，两交点之间距离为 2 32 - t2 = 2 9 - t2，
此时圆面积为 9 - t2 π，与圆环面积相同，满足题意，②正确.

故选： B.
18. ( 2022 · 辽宁 · 高三开学考试 ) 已知函数 f x 满足：f 1 = 4(1) ，4f x f y = f x + y + f x - y x,y ∈R ，则 2022f(k) =( )
k=0
1 1 1 1
A . B . C . - D . -
2 4 4 2
【答案】A
【解析】4f x f y = f x + y + f x - y x,y ∈R ，
令 x = 1,y = 0 得：4f 1 f 0 = 2f 1 ，
1 1
因为 f 1 = 4，所以 f 0 = 2，
令 x = n，y = 1 得：4f n f 1 = f n + 1 + f n - 1 ，
即 f n = f n + 1 + f n - 1 ，
则 f n + 1 = f n + 2 + f n ，
上面两式子联立得： f n +2 = -f n - 1 ，
所以 f n - 1 = -f n - 4 ，
故f n + 2 = f n - 4 ，
故f x 是以 6 为周期的函数，
且 f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5
= f 0 + f 1 + f 2 - f 0 - f 1 - f 2 = 0，
所以 2022f(k) =3375 f(k) + f 2022 = 0 +f 2022 = f 0 = 2(1)
k=0 k=0
故选：A

3
—
bAB



a
—
cAB
a + b

a
—
bAC
已知 △ABC，I 是其内心，内角 A,B,C 所对的边分别 a,b,c，则 ( )
— —
B. AI = +
— cAB bAC

D. AI = + a + c
—

【解析】延长 AI,BI,CI，分别交 BC,AC,AB 于 D,E,F. 内心是三角形三个内角的角平分线的交点.
在三角形 ABD 和三角形 ACD 中，由正弦定理得：

BD c CD b
sin ( 2(1) ∠BAC ( = sin ∠ADB , sin ( 2(1) ∠BAC ( = sin ∠ADC，
由于 sin∠ADB =sin∠ADC，所以 c(BD) = = b(c)， BDCD = b c , a(BD) = b c ,BD = b c，
同理可得 BD = DI， BD + c = DI + AI = AD，
c AI c AI AI
AI = B(c) = b c(c) + c ⋅ AD = a b(+)c ⋅ AD.
所以 AD = AB(—今)+ BD(—今) = AB(—今)+ b c BC(—今) = AB(—今)+ b c (AC - AB(—今)(
= b c AB(—今)+ b c AC，
则 AI(—今) = a b(+)c ⋅ AD = a b(+)c ⋅ (b c AB(—今)+ b c AC(= a + b(b) + c AB(—今)+
a + b + c AC.
c
—今

故选：C
20. (2022 · 辽宁 · 东北育才学校高三阶段练习 ) 已知不等式 xlnx + (x + 1)k< 2xln2 的解集中仅有 2 个整数， 则实数k 的取值范围是 ( )
A. (0, 4(3) ln 3(4) ( B. ( 4(3) ln ln2 ( C. 3(2) ln2,+∞( D. 4(3) ln ln2 (
【答案】D
【解析】由 xlnx + x(k - ln4) + k <0 可得： k(x + 1) < xln4 - xlnx，设 f(x) =
k(x + 1),g(x) = xln4 - xlnx，g, (x) = ln4 - lnx - 1，x ∈ (0, e(4) ( 时，g, (x) > 0，
g(x) 单调递增， x ∈ (e(4) ,+∞(时，g, (x) <0，g(x) 单调递减，则当x = e(4) 时函
数 g (x (取得最大值，如示意图：
由图可知， 当 k ≤0 时，整数解超过了2 个，不满足题意； 当 k >0 时，需满足
〈f3(2) g(g)3(2) 得： 4(3) ln 3(4) ≤ k < 3(2) ln2．
故选择： D．
21. (2022 · 辽宁 · 东北育才学校高三阶段练习 ) 若 α，β ∈ (0， 2(π) (，且 (1 + cos2α) (1 + sinβ) = sin2αcosβ，则下列结论正 确的是 ( )
A. α + β = 2(π) B. α + 2(β) = 2(π) C. 2α - β = 2(π) D. α - β = 2(π)
【答案】C
【解析】 ∵ α，β ∈(0， 2(π) (，∴ cosα ≠ 0.
由 (1 + cos2α) (1 + sinβ) = sin2αcosβ，可得 2cos2α(1 + sinβ) = 2sinαcosαcosβ，
即 cosα(1 + sinβ) = sinαcosβ .
∴ cosα = sinαcosβ - cosαsinβ = sin (α - β (，∴ sin (α - β ( = sin ( 2(π) - α (.
∵ α，β ∈ (0， 2(π) (，∴ - 2(π) < α - β < 2(π)，且 0 < 2(π) - α < 2(π) .
由于函数 y = sinx 在 x ∈( (上单调递增， ∴ α - β = 2(π) - α，即 2α - β = 2(π) .
故选:C.
二、多选题
22. (2022 · 福建省福州华侨中学高三阶段练习 ) 海水受日月的引力， 在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐 . 早潮叫潮， 晚潮叫汐 . 在通常情况下， 船在涨潮时驶进航道， 靠近船坞； 卸货后， 在落潮时返回海洋 . 一艘货船的吃水深度 (船 底到水面的距离) 为 4m. 安全条例规定至少要有 2.25m 的安全间隙 (船底到海底的距离)，下表给出了某港口在某

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季节每天几个时刻的水深 .

水深 /m
5.0

2.5

5.0
水深 /m
2.5

5.0

7.5
水深 /m
5.0

7.5

5.0
时刻
18：00
21：00
24：00
时刻
9：00
12：00
15：00
时刻
0：00
3：00
6：00
)
若选用一个三角函数 f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有 (
A. f x = 2.5cos ( 6(π) x (+ 5 B. f x = 2.5sin ( 6(π) x (+ 5
C. 该货船在 2：00 至 4：00 期间可以进港 D. 该货船在 13：00 至 17：00 期间可以进港
【答案】BCD
【解析】依据表格中数据知，可设函数为 f x = Asinωx+ k，
2π π
由已知数据求得 A = 2.5，k = 5，周期 T = 12，所以 ω = T = 6 ﹐
所以有 f x = 2.5sin ( 6(π) x (+ 5，选项 A 错误；选项 B 正确；
由于船进港水深至少要 6.25，所以 2.5sin ( 6(π) x (+ 5 ≥ 6.25，得 sin( 6(π) x (≥ 2(1) ，
又 0≤ x ≤ 24 ⇒ 0 ≤ 6(π) x ≤4π，则有 6(π) ≤ 6(π) x ≤ 6(5π) 或 1 6(3)π ≤ 6(π) x ≤
从而有 1≤ x ≤5 或 13≤ x ≤ 17，选项 C，D 都正确.
故选： BCD
23. (2022 · 福建省福州屏东中学高三开学考试 ) 已知函数 f x = 3sin 2x + φ (- 2(π) < φ < 2(π) (的图像关于直线 x = 3(π) 对称，则 ( )
A.