“放缩法”技巧.doc

例谈“放缩法”证明不等式的基本策略
近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
例1、已知求证：
证明：

若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.

2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例2、函数f（x）=，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.
证明：由f(n)= =1-
得f（1）+f（2）+…+f（n）>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）
例3、已知an=n ，求证：＜3．
证明：=＜1＋
＜１＋=
=1＋ (－)
=1＋1＋－－＜2＋＜3．
本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.

4、放大或缩小“因式”；
例4、已知数列满足求证：
证明

本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.

5、逐项放大或缩小
例5、设求证：
证明：∵
∴
∴ ， ∴
本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
证明：

此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
7、利用基本不等式放缩
例7、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.
证明：要证，只要证 .
因为 ，，
故只要证 ，
即只要证 .
因为，
所以命题得证.
本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.

(2)由二项式定理有：
(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，
(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，
求证
证明

本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。
求证
证明

说明：若本题从第二项起放大，则左边<1+1-<2 ,这使的证明失败.

例 1 4

分析

浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧

放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。
常用的放缩技巧还有：（1）若（2）
（3）若则（4）（5）（6）或（7）等等。
用放缩法证明下列各题。
例1 求证：
证明：因为所以左边因为99＜100（放大）＜所以

例2 （2000年海南理11）若求证：
证明：因为所以因为［因为（放大），所以又所以是增函数］，所以，所以

例3 （2001年云南理1）求证：
证明：（因为）

［又因为（放大）］，所以所以

例4 已知求证：
证明：因为

例5 求证：
证明：因为（因为）（放大）所以

例6 （2000年湖南省会考）求证：当时，函数的最小值是当时，函数的最大值是
证明：因为原函数配方得又因为所以（缩小），所以函数y的最小值是。当所以（放大），所以函数y的最大值是

例7 求证：

证明：因为（分母有理化）所以原不等式成立。

例8 （2002年贵州省理21）若求证：
证明：因为而所以所以同理可证（当且仅当时，取等号）。

例9 已知a、b、c分别是一个三角形的三边之长，求证：
证明：不妨设据三角形三边关系定理有：便得所以原不等式成立。

例10 （1999年湖南省理16）求证：
证明：因为又所以原不等式成立。

例11 求证：
证明：因为左边证毕。

例12 求证
证明：因为所以左边
注：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若则。2、使用放缩法时，“放”、“缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”，都是用于不等式证明中局部放缩。

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