徐德同--平面几何.doc

2012江苏省数学会夏令营讲义 江苏省常州高级中学徐德同
平面几何讲义
一、几个重要定理介绍
1、梅涅劳斯定理

2、梅涅劳斯逆定理

3、塞瓦定理

4、托勒密定理

5、西姆松定理

6、张角定理：
设A、C、B分别是平面内点P所引三条射线PA、PC、PB上的点，线段AC、CB对点P的张角分别为且，则A、C、B三点共线的充要条件是：.
推论：在定理的条件下，且，既PC平分∠APB，则A、C、B三点共线的充要条件是.
二、竞赛中的平几问题
（一）等量关系
1、在三角形ABC中，AB>AC，过点A作三角形ABC外接圆的切线，交BC延长线于D，E为AD的中点，连结BE交三角形ABC外接圆于F，求证：。

2、已知由ABC的顶点A引出的两条射线AX,AY分别于BC 交于点X,Y. 证明：成立的充要条件是.

3、已知ABC满足，D为AC上一点，且，ABC的内切圆与AB,AC分别切于点K,L，BCD的内心为J，AL与KL交于P. 证明：AP=JP .

4、已知O、I分别表示ABC的外心与内心，.求证：.

5、在ABC中，的平分线与ABC的外接圆交于点R，与边BC的垂直平分线交于点P，与边AC的垂直平分线交于点Q，设K,L分别是边BC，AC的中点.证明：与的面积相等.

6、已知ABC中，AB>AC，的一个外角平分线交ABC的外接圆于点E，过E作EFAB于F，求证：2AF=AB—AC .

7、ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC中点，O是直线AM上一点，使得OBAB，Q是线段BC上不同于B和C的任意一点，E在直线AB上，F在直线AC上，使得E,Q,F是不同的和共线的. 求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF.
8、如图，锐角ABC中，AD是BC边上的高，H是线段AD内一点，BH和CH 的延长线分别交AC，AB于E,F. 求证：.

9、四边形ABCD中，对角线AC平分，在CD上取一点E，BE与AC相交于F,延长DF交BC于G . 求证： .

10、如图，AD、BE、CF分别是锐角三角形ABC的三条高，垂足分别为D、E、F，以BC为直径的圆O和AD交于G点，过G的直径的另一端点为K，若EF、FK和BC分别交于M、N. 求证：OM=ON.

（二）点共线、线共点
11、如图，圆内接ABC为不等边三角形，过点A、B、C分别作圆的切线依次交直线BC、CA、AB与P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.

12、如图，以锐角ABC的一边BC为直径作圆O，过点A作圆O的两条切线，切点为M、N，点H是ABC的垂心，求证：M、H、N三点共线.

13、如图，凸四边形ABCD的四边与圆O相切，切点分别为P、M、Q、N，设PQ与MN交于S，证明：A、S、C三点共线.

14、如图，延长凸四边形ABCD的边AB、DC交于点E，延长AD、BC交于点F，又M、N、L分别是AC、BD、EF的中点，求证：M、N、L三点共线.
15、如图，凸四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC交于点P,作PE、PF切圆于E、F，又AC与BD交于K,证明：E、K、F三点共线.
16、如图，圆与圆内切于点P, 圆的弦AB切圆于点C，延长PC交圆于点G，PA、PB分别交圆于点E、F，EF交PC于点D，延长AD交圆于点H.求证：（1）G为中点；（2）G、F、H三点共线.

17、如图，菱形ABCD中，，圆O为的外接圆，M为其上一点，连MC交AB于E，延长AM交CB的延长线于F，求证：D、E、F三点共线.

18、如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB上的点，且DE与AB交于点R，EF与BC交于点P，FD与CA交于点Q，证明：AD、BE、CF三线共点的充要条件P、Q、R三点共线.

19、在中，，P、Q为三角形内两点，使得,求证：A、P、Q三点共线.

20、设A、B、C、D是一直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC、BD为直径的圆交于X、Y，直线XY交BC于Z，若P为XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆交于C和M，直线BP和以BD为直径的圆交于B和N，求证：AM、DN和XY共点.

21、如图，分别以的两边AB和AC为一边在形外作和，使得∽,且，求证：BE、CF和BC边上的高三线共点.
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