高三数学第二轮复习数列部分.doc

高三数学第二轮复习数列自助餐1设是首项为1，公比为2的等比数列. 对于满足的整数k,数列确定. 记.（I）当k=1时，求M的值；（II）求M的最小值及相应的k的值.（I）解：显然 1分当 3分所以， 6分 （II）解： 9分 12分当所以，M的最小值为 14分2设Sn为等差数列an的前n项和（nN*） （1）若数列an单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，求证： （2）数列an的公差为d，且问是否存在正的常数c，使得等式对任意正整数n都成立.若存在，求c（用d表示）；若不存在，请说明理由.解：记等差数列an的公差为d，由题意得解得d=2a12分所以4分于是故6分（2）假设存在正常数c，使得等式恒成立7分又8分所以当n=1时，有整理变形得两边平方化简得10分接下来证明：当时，对任意正整数n都成立存在正常数使得等式对任意正整数n都成立13分3已知数列R）对于 （I）当 （II）若a满足，求数列的通项； （III）证明：满足3的自然数n存在.解：（I）因此，4分 （II）猜想对于任意正整数l有6分下面用数学归纳法证明对 （i）满足对 （ii）假设当由（i）（ii）可知对任意8分同理可证10分 （III）假设对所有的n，知数列是首项为a，公差为3的等差数列.对于充分大的n，会有，这与假设矛盾，假设错误，有满足的自然数n存在14分4设数列an的各项都是正数，且对任意nN+，都有，记Sn为数列an的前n项和. （1）求证：=2Snan； （2）求数列an的通项公式； （3）若（为非零常数，nN+），问是否存在整数，使得对任意 nN+，都有bn+1bn.解：（1）在已知式中，当n=1时， a10 a1=11分 当n2时， 得，3分 an0 =2a1+2a2+2an1+an， 即=2Snan a1=1适合上式 =2Snan(nN+)5分 （2）由（1）知=2Snan(N+) 当n2时， =2Sn1an1 得=2(SnSn1)an+an1=2anan+ an1= an+ an1 an+an10 anan1=18分数列an是等差数列，首项为1，公差为1，可得an=n9分 （3） 11分当n=2k1，k=1，2，3，时，式即为 依题意，式对k=1，2，3都成立，bn14分5如图,将圆分成个扇形区域,用3种不同颜色给每一个扇形区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为. ()求, ,； ()求与的关系式； ()求数列的通项公式,并证明.解：（） 当n=1时，不同的染色方法种数a1=3 ，1分当n=2时，不同的染色方法种数a2 =6 ，2分当n=3时，不同的染色方法种数a3=6 ，3分当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形不同的染色方法种数a4=3122+3211=184分（）依次对扇形区域1,2,3,n,n+1染色，不同的染色方法种数为32n，其中扇形区域1与n+1不同色的有an+1种，扇形区域1与n+1同色的有an种an+ an+1=32n （n 2）6分（）an+ an+1=32n （n 2）a2+a3 =322 a3 +a4 =323an-1+ an=32n-1 将上述n-2个等式两边分别乘以(-1)k (k=2,3, n-1)，再相加，得，an=2n +2 (-1)n，9分从而10分（）证明：当n=1时，a1=3 21,当n=2时，a2=6 22，当n 3时，故an2n (nN*).14分6如图所示的树形图形.第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层.设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形图的高度.（）求第三层及第四层树形图的高度H3，H4；（）求第n层树形图的高度Hn；（）若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”.显然，当时是“矮小”的，是否存在.使得当时，该树形图是“高大”的?解：()设题中树形图（从下而上）新生的各层高度所构成的数列为，则， 所以，第三层树形图的高度. 第四层树形图的高度. （）易知，所以第n层树形图的高度为， 所以，当为奇数时，第n层树形图的高度为； 当为偶数时，第n层树形图的高度为. （）不存在.由（）知，当为奇数时，； 当为偶数时， 由定义，此树形图是永远是“矮小“的.所以不存在.使得当时，该树形图是“高大”的.7我们把数列叫做数列的k方数列（其中an0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。 （1）比较S（1，2）S（3，2）与S（2，2）2的大小； （2）若数列的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求数列的k方数列通项公式。 （3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。解：（1）S（1，2）= 2分S（1，2）S（3，2）S（2，2）2= 4分= 5分（2）设 7分则 得 2d2=0，d=p=0 9分 11分（3）当an=n时，恒等式为S（1，n）2=S（3，n） 15分证明：相减得： 相减得： 18分8在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列.aij表示位于第i行第j列的数，其中a11a12a13a14a15a1ja21a22a23a24a25a2ja31a32a33a34a35a3ja41a42a43a44a45a4jai1ai2ai3ai4ai5aij （I）求q的值； （II）求aij的计算公式； （III）设数列bn满足的前n项和为Sn，试比较 的大小，并说明理由.解：（I）设第4列公差为d，则故.由于3分 （II）在第4列中，. 由于第i行成等比数列，且公比， 所以，6分（III）由（II）可得设，所以又，所以在因此函数单调递增所以是递增数列 10分同理设，所以是递减数列 12分容易计算，显然，所以当 9已知递增数列满足：，且成等比数列（）求数列的通项公式，（）若数列满足： 证明：，记，证明：10在数列中，（）若对于，均有成立，求的值； （）若对于，均有成立，求的取值范围； （）请你构造一个无穷数列，使其满足下列两个条件，并加以证明： ； 当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.（）解：依题意，所以，解得，或，符合题意. . 3分（）解： 解不等式，即， 得所以，要使成立，则 . 4分（1）当时，而，即，不满足题意. . 6分（2）当时，满足题意.综上，. . 8分（）解：构造数列：， . . 10分那么 . 不妨设取，那么，. .由，可得， （，）.因为，所以.又，所以数列是无穷数列，因此构造的数列符合题意. 14分11已知数列的前项和 满足：数列的通项公式为 （I）求数列的通项公式； （II）试比较与的大小,并加以证明；（III）是否存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在圆C上?说明理由.解：（I）两式相减得2分又即数列是首项为公比为的等比数列,其通项公式是 4分另解一: 即数列是首项为公比为的等比数列,通项公式是2分当时, 又 4分（II）(1)当时, 6分(2)当时, 7分(3)当时, 即 9分（III）不存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在圆C上 10分假设存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点即落在圆C上不妨设设圆C的方程为: 从而 由, 得 即 由得整理得, 12分作函数由知函数是增函数 产生矛盾故不存在圆心在轴上的圆C及互不相等的正整数使得三点落在圆C上 14分