高三数学第二轮复习教案3.doc

高三数学第二轮复习教案
第5讲 解析几何问题的题型与方法（二）

七、强化训练
1、已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、已知△ABC的顶点A（3，－1），AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在直线的方程为：x－4y+10=0，求边BC所在直线的方程。

3、求直线l2：7x－y+4=0到l1：x+y－2=0的角平分线的方程。
4、已知三种食物P、Q、R的维生素含量与成本如下表所示。

食物P
食物Q
食物R
维生素A（单位/kg）
400
600
400
维生素B（单位/kg）
800
200
400
成本（元/kg）
6
5
4

现在将xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg的食物R混合，制成100kg的混合物.如果这100kg的混合物中至少含维生素A44 000单位与维生素B48 000单位，那么x，y，z为何值时，混合物的成本最小？
5、某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
6、已知△ABC三边所在直线方程AB：x－6=0，BC：x－2y－8=0，CA：x+2y=0，求此三角形外接圆的方程。
7、已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点A的坐标。
8、已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2－2y－8=0，求椭圆方程和直线的方程。
9、求以直线为准线，原点为相应焦点的动椭圆短轴MN端点的轨迹方程。
10、若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程。
11、已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上。
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程。
12、设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离，r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。
13、 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
14、已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若，，求证：离心率；（2）若，求证：的面积为。
15、在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变。
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，

试确定实数的取值范围。
16、 （2004年北京春季高考） 已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）。

（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标；
（III）求BC所在直线的方程。

八、参考答案
1、解：设c为为椭圆半焦距，∵　
∴
又 ∴
解得：
选（D）。
说明：垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此类问题的关键是利用向量垂直的充要条件：“”，促使问题转化，然后利用数形结合解决问题。

2、解：设B（a， b），B在直线BT上，
∴a－4b+10=0 ①
又AB中点在直线CM上，
∴点M的坐标满足方程6x+10y－59=0
∴ ②
解①、②组成的方程组可得a=10，b=5
∴B（10， 5），又由角平分线的定义可知，
直线BC到BT的角等于直线BT到直线BA的角，
又
∴
∴ ，
∴BC所在直线的方程为即2x+9y－65=0。

3、解法一：设l2到l1角平分线l的斜率为k，
∵k1=－1，k2=7。
。
∴，解之得k=－3或，由图形可知k<0，
∴k=－3，又由解得l1与l2的交点，
由点斜式得 即6x+2y－3=0。
解法二：设l2到l1的角为θ，则，所以角θ为锐角，而，由二倍角公式可知 ∴或 为锐角，
∴，
∴k=－3等同解法一。
解法三：设l：（x+y－2）+λ（7x－y+4）=0 即（1+7λ）x+（1－λ）y+（4λ－2）=0①。
∴，由解法一知，
∴，代入①化简即得：6x+2y－3=0。
解法四：用点到直线的距离公式，设l上任一点P（x， y），则P到l1与l2的距离相等。
∴整理得：6x+2y－3=0与x－3y+7=0，又l是l2到l1的角的平分线，
k<0，∴x－3y+7=0不合题意所以所求直线l的方程为6x+2y－3=0。

4、分析：由x+y+z=100，得z=100－x－y，所以上述问题可以看作只含x，y两个变量.设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100－x－y）=2x+y+400，于是问题就归结为求k在已知条件下的线性规划问题。

解：已知条件可归结为下列不等式组：
。
即 ①。
在平面直角坐标系中，画出不等式组①所表示的平面区域，这个区域是直线x+y=100，y=20，2x－y=40围成的一个三角形区域EFG（包括边界），即可行域，如图所示的阴影部分。
设混合物的成本为k元，那么k=6x+5y+4（100－x－y）=2x+y+400。
作直线：2x+y=0，把直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域上的点E，且与原点的距离最小，此时2x+y的值最小，从而k的值最小。
由 得
即点E的坐标是（30，20）。
所以，=2×30+20+400=480（元），此时z=100－30－20=50。
答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元。

5、解：设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x、y满足。
图4
，x，y∈N，
且 z=200x+150y。
所以，x，y∈N，
作出可行域及直线：200x+150y=0，即4x+3y=0。（如图4）。
把直线向上平移至的位置时，直线经过可行域上的点B，且与原点距离最大.此时，z=200x+150y取最大值.但解6x+5y=60与5x+3y=40联立的方程组得到B（，）。由于点B的坐标不是整数，而x，y∈N，所以可行域内的点B不是最优解。
为求出最优解，同样必须进行定量分析。
因为4×+3×=≈37.1，但该方程的非负整数解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域内，所以应取4x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时z取最大值1800元. 。

6、解：解方程组可得A（6，－3）、B（6，－1）、C（4，2）设方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则：

解之得：D=，E=4，F=30。
所以所求的△ABC的外接圆方程为：。

7、分析：若直线y=kx+b与圆锥曲线f（x，y）=0相交于两点P（x1，y1）、Q（x2、y2），则弦PQ的长度的计算公式为，而。
，因此只要把直线y=kx+b的方程代入圆锥曲线f（x，y）=0方程，消去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解：设A（x0，0）（x0＞0），则直线的方程为y=x－x0，设直线与椭圆相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由 ，可得3x2－4x0x+2x02－12=0，
，，则

∴，即
∴x02=4，又x0＞0，∴x0=2，∴A（2，0）

8、解：圆方程x2+y2－2y－8=0即x2+（y－1）2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。

设正方形的边长为p，则，
∴，
又O＇是正方形ABCD的中心，
∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=－2或k=4。
（1）设 由
得A（3，1）B（0，－2），又点A、B在椭圆上，
∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为。
（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（－3，1）
代入椭圆方程得，此时b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。

9、分析：已知了椭圆的焦点及相应准线，常常需要运用椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率e，而该题中短轴端点也是椭圆上的动点，因此只要运用第二定义结合a、b、c的几何意义即可。

解：设M（x，y），过M作于A，，，
∴，
又过M作轴于O＇，因为点M为短轴端点，则O＇必为椭圆中心，
∴，，
∴，
∴化简得y2=2x，
∴短轴端点的轨迹方程为y2=2x（x≠0）。

10、解：若椭圆的焦点在x轴上，如图，∵四边形B1F1B2F2是正方形，且A1F1=，由椭圆的几何意义可知，解之得：，此时椭圆的方程为，同理焦点也可以在y轴上，综上所述，椭圆的方程为或。

11、解：（1）设A、B两点的坐标分别为 得
，
根据韦达定理，得

∴线段AB的中点坐标为（）
由已知得
故椭圆的离心率为。
（2）由（1）知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为
解得
由已知得
故所求的椭圆方程为

12、分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e（0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆，椭圆上任一点P（x1，y1）到左焦点F1的距离|PF1|=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2|=a－ex1；同理椭圆上任一点P（x1，y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a－ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式，它们在椭圆中有着广泛的运用。
解：由椭圆方程可知a2=2，b2=1则c=1，
∴离心率，
由焦半径公式可知，。
又直线的方程为：
即x1x+2y1y－2=0，
由点到直线的距离公式知，，
又点（x1，y1）在椭圆上，
∴2y12=2=x12，
∴，
∴为定值。

13、解：以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则。
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|，
即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50，
，
∴M在双曲线的右支上。
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工。
相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

14、分析：的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此，|F1F2|=2c，所以我们应以为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。

证明：（1）在中，由正弦定理可知，则。
∴
∴

（2）在中由余弦定理可知。

∴
∴

15、解： （1）建立平面直角坐标
系， 如图所示 .
∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | =
∴动点P的轨迹是椭圆
∵
∴曲线E的方程是
（2）设直线L的方程为 ， 代入曲线E的方程，得

设M1（， 则
①

②

③

i） L与y轴重合时，
ii） L与y轴不重合时，
由①得 又∵，
∵ 或
∴0＜＜1 ， ∴
∵
而
∴
∴
∴ ， ，

∴的取值范围是

16、分析：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。
解：（I）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得。
所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）。
（II）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则
解得 所以点M的坐标为。

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。
设BC所成直线的方程为 。
由消x得 。
所以 由（II）的结论得 解得。
因此BC所在直线的方程为 即。