广东省珠海一中等六校2015届高三第二次联考（理科）数学试题Word版.doc

广东省珠海一中等六校2015届高三第二次联考（理科）数学试题
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）

1．已知集合,,则
A. F B. R C. (0，1) D. (-¥，1)

2． 命题：“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，

3．设是等差数列的前项和，已知49，则的等差中项是
A. B. 7 C. D.

4．函数在点(0，1)处的切线的斜率是
A. B. C. 2 D. 1

5. 已知等边的边长为1，则
A． B． C． D．

6. 已知角终边上一点的坐标是，则
A. B. C. D.

7．数列中，(N*，是常数)，则是数列成等比数列的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件

8. 已知向量不共线，向量，则下列命题正确的是
A. 若为定值，则三点共线.
B. 若，则点在的平分线所在直线上.
C. 若点为的重心，则.
D. 若点在的内部（不含边界），则.

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）

x

y
O
3

9．已知函数，则＝ ．

10. 已知函数是定义在上的奇函数，则= .

11. 右图是函数的部分图象，则 .

12． .

13. 已知，且依次成等比数列，设，则这三个数的大小关系为 .

14.给出下列命题：
(1)设是两个单位向量，它们的夹角是，则；
(2)已知函数，若函数有3个零点，则0<<1；
(3)已知函数的定义域和值域都是，则＝1；
(4)定义在R上的函数满足，则.
其中，正确命题的序号为 .

三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

15.（本小题满分12分）
在中，设角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求边的大小．

16.（本小题满分12分）
已知正项等比数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.

17．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期和单调增区间；
（3）说明的图像是如何由函数的图像变换所得.

18.（本小题满分14分）
已知数列的首项，其前和为，且满足(N*)．
(1)用表示的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)对任意的N*，，求实数的取值范围．

19.（本小题满分14分）
已知函数，设曲线过点，且在点处的切线的斜率等于，为的导函数，满足．
（1）求；
（2）设，，求函数在上的最大值；
（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围．

20.（本小题满分14分）
设函数R，且为的极值点．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）若恰有两解，试求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，证明：．

参考答案
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）

1．已知集合,,则C
A. F B. R C. (0，1) D. (-¥，1)
2． 命题：“，”的否定是B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3．设是等差数列的前项和，已知49，则的等差中项是 B
A. B. 7 C. D.
4．函数在点(0，1)处的切线的斜率是 C
A. B. C. 2 D. 1
5. 已知等边的边长为1，则 A
A． B． C． D．
6. 已知角终边上一点的坐标是，则 A
A. B. C. D.
7．数列中，(N*，是常数)，则是数列成等比数列的 D
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件

8. 已知向量不共线，向量，则下列命题正确的是 D
A. 若为定值，则三点共线.
B. 若，则点在的平分线所在直线上.
C. 若点为的重心，则.
D. 若点在的内部（不含边界），则.

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共计30分.）
x

y
O
3

9．已知函数，则＝ ．

10. 已知函数是定义在上的奇函数，则= 0 .

11. 右图是函数的部分图象，则 .

12． .

13. 已知，且依次成等比数列，设，则这三个数的大小关系为 .

14.给出下列命题：
(1)设是两个单位向量，它们的夹角是，则；
(2)已知函数，若函数有3个零点，则0<<1；
(3)已知函数的定义域和值域都是，则＝1；
(4)定义在R上的函数满足，则.
其中，正确命题的序号为 (1)(2)(3) .

三、解答题（本大题共六个小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

15.（本小题满分12分）
在中，设角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求边的大小．
解：(1)因为，所以

………………………………4分
即，
又因为，所以，
所以，
又因为
所以． ………………………………8分
(2) 因为，
即
所以，解得（舍），． ………………………………12分

16.（本小题满分12分）
已知正项等比数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
解：(1)设等比数列的公比为q，
由成等差数列知，，
∴∵∴ ………………………………4分
∵ ∴ ………………………………6分
(2)∵，
∴
∴ ……………8分
∴

∴ ………………………………12分

17．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期和单调增区间；
（3）说明的图像是如何由函数的图像变换所得.
17．解：（1）∵

………………………4分
………………………6分
（2） 的最小正周期为 ………………………8分
当(Z)，
即(Z)时，函数单调递增，
故所求单调增区间为每一个(Z). ………………………11分
（3）解法1：
把函数的图像上每一点的向右平移个单位，
再把所得图像上的每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
就得到函数的图像. .………………………14分
解法2：
把函数的图像上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
再把所得图像上的每一点的向右平移个单位，
再把所得图像上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，
就得到函数的图像. .………………………14分

18.（本小题满分14分）
已知数列的首项，其前和为，且满足(N*)．
(1)用表示的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)对任意的N*，，求实数的取值范围．
解析：(1)由条件得， . ………………………2分
由条件得， ………………………3分
两式相减得，
解法1：(2)
故，
两式再相减得，
构成以为首项，公差为6的等差数列；
构成以为首项，公差为6的等差数列；………………………………5分
由(1)得；
由条件得，得，
从而，
………………………………9分
解法2：
设，即
则
有
时，即
………………………………9分
(3)对任意的N*，，
当时，由，有得………①；
当时，由，有
，即
若为偶数，则得………②；
若为奇数，则得………③.
由①、②、③得 . …………………………………………14分

19.（本小题满分14分）
已知函数，设曲线过点，且在点处的切线的斜率等于，为的导函数，满足．
（1）求；
（2）设，，求函数在上的最大值；
（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）求导可得 ………………………………………1分
∵， ∴的图像关于直线对称，∴ ……………2分
又由已知有：∴ ………………………………4分
∴ ………………………………………5分
（2），
………………………………………7分

其图像如图所示．
当时，，根据图像得：
（ⅰ）当时，最大值为；
（ⅱ）当时，最大值为；
（ⅲ）当时，最大值为． …………………………………10分
（3），
记，有 …………………………………………11分
当时，，
只要，
实数的取值范围为， …………………………………………14分

20.（本小题满分14分）
设函数R，且为的极值点．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）若恰有两解，试求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，证明：．
解：（1）由已知求导得： ，
为的极值点，， ． ………………2分
当时，，
进而，
函数的定义域为，
的单调减区间为． ………………………………4分
（2）由，得，则 ，，
，，
（ⅰ）当时，在递减，在递增，则的极小值为，
，，
则当时，，
又当时，， 要使恰有两解，须，即．
因此，当时，恰有两解．
（ⅱ）当时，在、递增，在递减，
则的极大值为，的极小值为．
，
当时，，此时不可能恰有两解．
（ⅲ）当时，在、递增，在递减，
则的极大值为，的极小值为．
，当时，不可能恰有两解．
（ⅳ）当时，在单调递增，不可能恰有两解．
综合可得，若恰有两解，则实数的取值范围是． ………………9分
（3）当时，，
即证：．
（方法一）先证明：当时，．
设， ，
当时，，则在递减，，
，，即，
，，即．
．
令，得，
则． …………14分

（方法二）数学归纳法：
1.当时，左边=，右边=，
，， ，即时，命题成立．
2.设时，命题成立，即．
当时，左边=
右边=，
要证，即证，
即证，也即证．
令，即证：，（证法见方法一）
因此，由数学归纳法可得命题成立． …………………………………………14分