二次函数综合.doc

1.已知抛物线（1）求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P（m，n），n0，OP=，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的正弦值为，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M，当直线与图形M有四个交点时，求b的取值范围.2.二次函数的图象与x轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与x轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数求（1）n的值；（2）二次函数的图象与x轴交点的坐标3.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.4.已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等 的实数根； （2）当m为何整数时，原方程的根也是整数5.已知关于m的一元二次方程=0.（1）判定方程根的情况；（2）设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值6.已知，抛物线，当1x5时，y值为正；当x1或x5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.求t的取值范围是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.7.二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)(1)求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共点时，求的取值范围8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点的坐标为（1）求点坐标；（2）直线经过点.求直线和抛物线的解析式； 点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是 9. 已知关于x的方程（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，求正整数k的值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=2x9与y轴交于点C，与直线OM交于点D现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.10.已知关于x的一元二次方程（1）求证：无论取任何实数，方程都有两个实数根； （2） 当时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；xy11O（3）在（2）的条件下，过点C作直线x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G请你结合图象回答：当直线与图象G只有一个公共点时，b的取值范围11.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点M（-3,0）. (1)求抛物线的解析式；(2)直接写出抛物线关于轴的对称图形的解析式；(3)如果点是点A关于原点的对称点，点是图形的顶点，那么在轴上是否存在点P，使得与是相似三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.12.已知关于的一元二次方程 (1) 求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2) 抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线求抛物线的解析式；(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式的值13.已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.14.已知二次函数的图象与x轴分别交于点、，且 （1）求的取值范围； （2）设二次函数的图象与轴交于点M， 若，求二次函数的表达式； （3）在(2)的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.15.已知：抛物线过点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为点在图象上，且 求的取值范围；若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 16.已知：关于的一元二次方程（m为实数）.（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）求证：抛物线总过轴上的一个定点；（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式17.已知关于的方程. （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y= -x的对称点恰好是点M，求的值.18.已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m = 0 （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值19.在平面直角坐标系xOy中， A，B两点在函数的图象上，其中AC轴于点C，BD轴于点D，且 AC=1 (1) 若=2，则AO的长为 ，BOD的面积为 ；(2) 如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；(3) 如图2，OC=4，BE轴于点E，函数的图象分别与线段BE，BD交于点M，N，其中将OMN的面积记为，BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值图2图1参考答案1.（1）证明：当y=0时，得. . ，.无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点. （2）解：如图，过点P作PAx轴于A,则OAP=90，依题意得：.n0,.P在抛物线上，.抛物线解析式为. （3）当y=0时，.，抛物线与x轴相交于点当直线y = - x + b经过点C（-2，0）时，b = -2. 当直线y = - x + b与抛物线 ， = . b = . 当b-2时，直线与图形M有四个交点. 2.解：(1)的图象与x轴只有一个交点，令，即.解得n=1. (2)由(1)知，.的图象与x轴有两个交点，. ，.又且m是整数，m=4或3.当m=4时，的图象与x轴的交点的横坐标不是整数； 当m=3时，令，即，解得，.综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）. 3.解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得， 解得. 抛物线为y=x2+2x+3 . 又设直线为y=kx+n过点A（1，0）及C（2，3）得, ，解得. 直线AC为y=x+1 . （2）作N点关于直线x=3的对称点N，则N（6，3），由（1）得D（1，4）， 直线DN的函数关系式为y=x+ 当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小则m= （3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+1） 当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）F在抛物线上， x+3=x2+2x+3 解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1） 当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x1）由F在抛物线上，x1=x2+2x+3解得x=或x=， E（，）或（，）满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（， ）.4.解：(1)证明： = 0 无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. （2） 解关于x的一元二次方程x2(m3)xm10，得 . 要使原方程的根是整数，必须使得是完全平方数.设，则. +和的奇偶性相同，可得或解得或. 将m=-1代入，得符合题意. m=-1 5.解：（1） 所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根. (2)设 的两根都在和之间， 当时，即： 当时，即： 为整数， 当时，方程， 此时方程的根为无理数，不合题意当时，方程，不符合题意当时，方程，符合题意 综合可知，6.解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0），解得. 抛物线的解析式为. （2）的图象过A（，m）和B（4，n）两点 m=，n=3 ， A（，）和B（4，3） 直线（k0）过A（，）和B（4，3）两点，解得.直线的解析式为. （3）根据题意，解得t2 根据题意E（t，），F（t+2，） H（t，），G（t+2，），EH=，FG=. 若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即= 解得t=， t=满足t2. 存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.7.（2013.丰台一模23）解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，所以 1分令解之得.A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）3分(2) 如图1，当直线经过A点时，可得 当直线经过B点时，可得由图可知符合题意的的取值范围为 - 7分 8.（2013.海淀一模23）解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为.1分抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，点的坐标为 2分（2）点B在直线上，.点A在二次函数的图象上，. 3分由、可得，. 4分 抛物线的解析式为y，直线的解析式为y 5分（3） 7分9.（2013.怀柔一模23）(1)证明：当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根. 1分当k0时, = = = 2分 所以,方程有实数根综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根 （2）令，则解关于的一元二次方程，得x1=-3 ，x2= 3分 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，k=1分（3）由（2）得抛物线的解析式为配方得y=(x2)21抛物线的顶点M（2，1）直线OD的解析式为y=x于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），5分平移后的抛物线解析式为y=（xh）2h当抛物线经过点C时，C（0，9），h2h=9，解得h=当h时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点6分当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y=（xh）2h，y=2x9得x2（2h2）xh2h9=0，=（2h2）24（h2h9）=0，解得h=4此时抛物线y=（x4）22与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意7分综上：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或h10.（2013.门头沟一模23）解：（1）根据题意，得无论m为任何实数时，都有(m4)20，即0，方程有两个实数根2分（2）令y=0，则 解得 x1=62m，x2=2 m3，点A在点B的左侧， A（2，0），B（，0）3分 OA=2，OB= 令x=0，得y=2m6C（0，2m6）OC=(2m6)=2m+6 2AB =3 OC， 解得4分 （3）当时，抛物线的解析式为，lBOACxy11点C的坐标为（0，4）当直线经过C点时，可得b=4当直线（b4）与函数（x0）的图象只一个公共点时，得整理得由，解得 结合图象可知，符合题意的b的取值范围为b4或7分11.（2013.石景山一模23）解：（1）设抛物线的解析式为：直线交轴于A点，交轴于B点，A点坐标为（1,0）、B点坐标为（0,3）. 1分又抛物线经过A、B、M三点， 解得：.抛物线的解析式为：2分（2）抛物线关于轴的对称图形的解析式为：. 3分（3）点的坐标为（-1,0），该抛物线的顶点为4分若与相似，当=时，点坐标为或5分当=时，点坐标为或6分当与是相似三角形时，点坐标为或或或 7分12.（2013.西城一模23）（1）证明：， 1分 而， ，即. 无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. 2分（2）解：当时， . ，即.， . 3分抛物线的解析式为.抛物线的顶点为.抛物线的顶点为.抛物线的解析式为. 4分（3）解：点A（，）和B（，）都在抛物线上， ，且. . . . A、B两点不重合，即， . . 5分， 6分. 7分13.（2013.顺义一模23）（1）证明：当时，方程为，所以 ，方程有实数根. 1分 当时, = = = 2分 所以,方程有实数根综所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根 3分（2）令，则 解关于的一元二次方程，得 ， 5分 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数， 所以只能取1，2 所以抛物线的解析式为或7分14.（2013.通州一模23）解：(1)令，则解方程得：或， 1分；由题意得：， ，. 2分； (2)令，则， ， ， ， 3分； ， . 4分；或， ，把点M的坐标分别代入中， ， 3分； ， . 4分； (3)，. （每个答案各1分） 7分15.（2013.海淀二模23）解：（1）抛物线过点， 解得 抛物线的解析式为 -2分（2）当时，或.抛物线与轴交于点， .-3分当时，或抛物线与直线交于点, .,关于直线的对称点，.-4分根据图象可得0或-5分的取值范围为4或-7分16.（2013.东城二模23）解：（1）. 方程有两个不相等的实数根，.1分，m的取值范围是.2分（2）证明：令得，. ，. 4分抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.无论m取何值，抛物线总过定点（）.5分（3）是整数 只需是整数.是整数，且,.6分当时，抛物线为把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为.7分17.（2013.丰台二模23）（1）证明： ，- 1分此方程总有两个实数根.- 2分（2）解：抛物线与y轴交点为M（0，）-3分抛物线与x轴的交点为（1,0）和（,0），它们关于直线的对称点分别为（0,）和（0, ）.-5分由题意，可得：，即m=2或m=3. -7分18.（2013.朝阳二模23）（1）证明：=. 1分 = =2分 0. 3分无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）把x=-3代入原方程，解得m=1. 4分 . 即. 依题意，可知新的抛物线的解析式为. 5分即抛物线与直线只有一个公共点，.6分即.=0.解得b= -4. 7分19.（2013.西城二模23）解：(1) AO的长为，BOD的面积为 1； 2分(2) A，B两点在函数的图象上， 点A，B的坐标分别为，. 3分AO=AB，由勾股定理得， 解得或. 4分，. 5分(3) OC=4， 点A的坐标为. . 设点B的坐标为， BE轴于点E，BD轴于点D， 四边形ODBE为矩形，且，点M的纵坐标为，点N的横坐标为.点M，N在函数的图象上，点M的坐标为，点N的坐标为. .， 6分其中.，而，当时，的最大值为1. 7分