二次函数综合.doc

1.已知抛物线．（1）求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点；
（2）在抛物线上有一点P（m，n），n<0，OP=，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的正弦值为，
求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M，当直线与图形M有四个交点时，求b的取值范围.

2.二次函数的图象与x轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与x轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数．求（1）n的值；（2）二次函数的图象与x轴交点的坐标．

3.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由.

4.已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等 的实数根； （2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．

5.已知关于m的一元二次方程=0.（1）判定方程根的情况；
（2）设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．

6.已知，抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.①求t的取值范围②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.

7.二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)．(1)求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共点时，求的取值范围．

8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点的坐标为．
（1）求点坐标；（2）直线经过点.①求直线和抛物线的解析式；
②点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为．将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是 ．

9. 已知关于x的方程．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根;
（2）若二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，，求正整数k的值;
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，直线y=－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.

10.已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，方程都有两个实数根；
（2） 当时，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；
x
y
1
1
O
（3）在（2）的条件下，过点C作直线∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．

11.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点M（-3,0）.
(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出抛物线关于轴的对称图形的解析式；
(3)如果点是点A关于原点的对称点，点是图形的顶点，那么在轴上是否存在点P，使得△与△是相似三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

12.已知关于的一元二次方程．
(1) 求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线．求抛物线的解析式；
(3) 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式
的值．

13.已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.

14.已知二次函数的图象与x轴分别交于点、，且<<．
（1）求的取值范围； （2）设二次函数的图象与轴交于点M， 若，求二次函数的表达式； （3）在(2)的条件下，若点N是x轴上的一点，以N、A、M为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F在二次函数的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.

15.已知：抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为．点在图象上，且． ①求的取值范围；
②若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 ．

16.已知：关于的一元二次方程（m为实数）.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）求证：抛物线总过轴上的一个定点；
（3）若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

17.已知关于的方程. （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y= -x的对称点恰好是点M，求的值.

18.已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+1-m = 0． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．

19.在平面直角坐标系xOy中， A，B两点在函数的图象上，
其中．AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，且 AC=1．
(1) 若=2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 ；
(2) 如图1，若点B的横坐标为，且，当AO=AB时，求的值；
(3) 如图2，OC=4，BE⊥轴于点E，函数的图象分别与线段BE，
BD交于点M，N，其中．将△OMN的面积记为，△BMN的面积记为，若，求与的函数关系式以及的最大值．
图2

图1

参考答案
1.（1）证明：当y=0时，得. ∵.
∵，∴.∴无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点.
（2）解：如图，过点P作PA⊥x轴于A,则∠OAP=90°，依题意得：.
∴.∵n<0,∴.
∵P在抛物线上，∴.∴.
∴抛物线解析式为.
（3）当y=0时，.∴，
∴抛物线与x轴相交于点
当直线y = - x + b经过点C（-2，0）时，b = -2.
当直线y = - x + b与抛物线 ，∴△ = .∴ b = .
∴ 当＜b＜-2时，直线与图形M有四个交点.
2.解：(1)∵的图象与x轴只有一个交点，
∴令，即.∴.解得n=1.
(2)由(1)知，.
∵的图象与x轴有两个交点，
∴. ∵，
∴.又∵且m是整数，∴m=4或3.
当m=4时，的图象与x轴的交点的横坐标不是整数； 当m=3时，，令，即，解得，.综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）.
3.解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
， 解得.∴ 抛物线为y=﹣x2+2x+3 .
又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得,
，解得. ∴ 直线AC为y=x+1 .
（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
∴ 直线DN′的函数关系式为y=﹣x+ 当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小
则m=﹣×=
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）
① 当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）
∵F在抛物线上， ∴x+3=﹣x2+2x+3 解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）
② 当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）
由F在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=，∴ E（，）或（，）
满足条件的点E为E（0，1）、（，）或（， ）.
4.解：(1)证明： Δ== ＞0．
∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根.
（2） 解关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，得 . 要使原方程的根是整数，必须使得是完全平方数.
设，则.∵ +和的奇偶性相同，
可得或解得或. 将m=-1代入，得符合题意. ∴ m=-1
5.解：（1）
所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.
(2)设．∵ 的两根都在和之间，
∴ 当时，，即： ．
当时，，即：．∴ ．
∵ 为整数，∴ ．
① 当时，方程， 此时方程的根为无理数，不合题意．
②当时，方程，，不符合题意．
③当时，方程，符合题意．
综合①②③可知，．
6.解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）
∴，解得. ∴抛物线的解析式为.
（2）∵的图象过A（，m）和B（4，n）两点
∴ m=，n=3 ， ∴A（，）和B（4，3）
∵直线（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点
∴，解得.∴直线的解析式为.
（3）①根据题意，解得t2
②根据题意E（t，），F（t+2，）
H（t，），G（t+2，），
∴EH=，FG=.
若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即=
解得t=， ∵t=满足t2.
∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.
7.（2013.丰台一模23）解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，

所以 ………………………1分
令解之得.
∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）……………………3分
(2) 如图1，当直线经过A点时，可得
当直线经过B点时，可得
由图可知符合题意的的取值范围为 ------------------- 7分

8.（2013.海淀一模23）解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为.…………1分
∵抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，
∴点的坐标为 ．………………………2分
（2）∵点B在直线上，
∴①.
∵点A在二次函数的图象上，
∴②. ………………………3分
由①、②可得，. ………………………4分
∴ 抛物线的解析式为y＝，直线的解析式为y＝． ……………5分
（3）． ………………………7分

9.（2013.怀柔一模23）(1)证明：
①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根.…… 1分
②当k≠0时,
=
=
= ………………………………2分
所以,方程有实数根
综上所述，无论k取任何实数时，方程总有实数根
（2）令，则
解关于的一元二次方程，得x1=-3 ，x2= ……………………3分
∵ 二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，
∴k=1………………４分
（3）由（2）得抛物线的解析式为
配方得y=(x＋2)2－1
∴抛物线的顶点M（－2，－1）
∴直线OD的解析式为y=x
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），………5分
∴平移后的抛物线解析式为y=（x－h）2＋h．
①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h2＋h=9，
 解得h=． 
∴ 当 ≤h＜ 时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点．
………………………………………………………………6分
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组y=（x－h）2＋h，y=－2x＋9．   
得 x2＋（－2h＋2）x＋h2＋h－9=0，
∴△=（－2h＋2）2－4（h2＋h－9）=0，
 解得h=4．
此时抛物线y=（x－4）2＋2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意
…………………………………………………………………………7分
综上：平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或 ≤h＜．

10.（2013.门头沟一模23）解：（1）根据题意，得．
∵无论m为任何实数时，都有(m－4)2≥0，即≥0，
∴方程有两个实数根．…………………………………………………………2分
（2）令y=0，则．
解得 x1=6－2m，x2=－2．
∵ m＜3，点A在点B的左侧，
∴ A（－2，0），B（，0）．……………………………………………3分
∴ OA=2，OB=．
令x=0，得y=2m－6．
∴C（0，2m－6）．
∴OC=－(2m－6)=－2m+6．
∵ 2AB =3 OC，
∴ ．
解得．…………………………………………………………………………4分
（3）当时，抛物线的解析式为，
l
B
O
A

C
x
y
1
1
点C的坐标为（0，－4）．
当直线经过C点时，可得b=－4．
当直线（b＜－4）与函数
（x＞0）的图象只一个公共点时，
得．
整理得
由，解得．
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为b－4或．………………7分

11.（2013.石景山一模23）解：（1）设抛物线的解析式为：
∵直线交轴于A点，交轴于B点，
∴A点坐标为（1,0）、B点坐标为（0,3）. ………………1分
又∵抛物线经过A、B、M三点，
∴ 解得：.
∴抛物线的解析式为：．………………2分
（2）抛物线关于轴的对称图形的解析式为：. ……3分
（3）点的坐标为（-1,0），∵，
∴该抛物线的顶点为．………………………………4分
若△与△相似，
①当=时，，点坐标为或……………5分
②当=时，，点坐标为或…………6分
∴当△与△是相似三角形时，
点坐标为或或或 ………………7分

12.（2013.西城一模23）（1）证明：∵， …………………1分
而，
∴，即.
∴无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分
（2）解：∵当时，，
∴.
∴，即.
∵，
∴. ………………………………………………………… 3分
∴抛物线的解析式为.
∴抛物线的顶点为.
∴抛物线的顶点为.
∴抛物线的解析式为. …………………………4分
（3）解：∵点A（，）和B（，）都在抛物线上，
∴，且.
∴.
∴.
∴.
∵A、B两点不重合，即，
∴.
∴. ……………………………………………………… 5分
∵，，
∴

………………………………………………………………6分
. ………………………………………………………………7分

13.（2013.顺义一模23）
（1）证明：①当时，方程为，所以 ，方程有实数根.… 1分
②当时,
=
=
= ………………………………2分
所以,方程有实数根
综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分
（2）令，则
解关于的一元二次方程，得 ， ……………………5分
二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，
所以只能取1，2
所以抛物线的解析式为或………………7分

14.（2013.通州一模23）解：(1)令，则
解方程得：或， ……………… 1分；
由题意得：，，
∴ ，
∴. ……………… 2分；
(2)令，则，
∴，
∵，
∴ ， ……………… 3分；
∴ ，
∴. ……………… 4分；
或∵，，
∴，
把点M的坐标分别代入中，
∴， ………… 3分；
∴ ，
∴. ………… 4分；
(3)，，. （每个答案各1分） ………… 7分．

15.（2013.海淀二模23）解：（1）∵抛物线过点，
∴．
解得 ．
∴抛物线的解析式为． --------------2分
（2）①当时，．
∴或.
∴抛物线与轴交于点， .-----3分
当时，．
∴或．
∴抛物线与直线交于点, .
∴,关于直线的对称点，.----4分
∴根据图象可得≤≤0或≤≤．----------------5分
②的取值范围为≥4或≤．----------------7分

16.（2013.东城二模23）解：（1）.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴.……………………………………………………………………………1分
∵，
∴m的取值范围是.………………………………………………………2分
（2）证明：令得，.
∴.
∴，. …………………………………4分
∴抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.
∴无论m取何值，抛物线总过定点（）.……5分
（3）∵是整数 ∴只需是整数.
∵是整数，且,
∴.…………………………………………………………………………6分
当时，抛物线为．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为
.…………………………………………………7分

17.（2013.丰台二模23）
（1）证明： ，----------- 1分
∴此方程总有两个实数根. ------------------------- 2分
（2）解：抛物线与y轴交点为M（0，）．---------------------3分
抛物线与x轴的交点为（1,0）和（,0），它们关于直线的对称点分别为（0,）和
（0, ）.-----------------5分
由题意，可得：
，即m=2或m=3. -------------------------7分

18.（2013.朝阳二模23）
（1）证明：∵△=.……………………………………………… 1分
=
=…………………………………………………………2分
∴△＞0. …………………………………………………………………3分
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）把x=-3代入原方程，解得m=1. …………………………………………………4分
∴.
即.
依题意，可知新的抛物线的解析式为. ………………………5分
即
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴..…………………………………………………………………6分
即.
∵△=0.
∴.
解得b= -4. ……………………………………………………………………7分

19.（2013.西城二模23）
解：(1) AO的长为，△BOD的面积为 1； ………………………… 2分
(2) ∵A，B两点在函数的图象上，
∴点A，B的坐标分别为，. ………………… 3分
∵AO=AB，由勾股定理得，，
∴ 解得或. ……… 4分
∵，∴. ………………… 5分
(3) ∵OC=4，
∴点A的坐标为. ∴.
设点B的坐标为，
∵BE⊥轴于点E，BD⊥轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且，
点M的纵坐标为，点N的横坐标为.
∵点M，N在函数的图象上，
∴点M的坐标为，点N的坐标为.
∴.
∴.
∴.
∴， ………………………… 6分
其中.
∵，而，
∴当时，的最大值为1. …………………………………… 7分