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让计算教学富有数学味
---------《整数乘法运算定律推广到分数乘法》教学片断反思评析
内蒙古赤峰市喀喇沁旗十家满族乡上烧锅学校 吕艳杰
案例背景：
本案例的教学内容是人教版第十一册“整数乘法运算定律推广到分数乘法。”在教学过程中，我尝试着从单纯的计算技能教学走出去，运用“再创造”原理对教材进行了二次开发，取得了良好的教学效果。现撷取其中的几个片段，供大家评价。
片断一：
教师在黑板上出示两道乘法算式：12×4 4×12
提问：他们相等吗？（学生回答后教师用等号连接两个算式）12×4=4×12
师：看到这个算式你回忆起了什么知识？
生：乘法交换律。
师：你能用字母表示乘法交换律吗？
生：a×b=b×a
师：这里的字母可以表示什么数？
生：字母a和b可以表示分数、小数、整数。
师：字母a和b表示分数，你能举例说明吗？
学生思考片刻后-----
生1：1／2×1／3=1／6，1／3×1／2=1／6，所以1／2×1／3=1／3×1／2。两个分数交换他们的位置，积不变。
生2：1／4×4／5=1／5，4／5×1／4=1／5，所以1／4×4／5=4／5×1／4。我认为分数乘法也有乘法交换律。
生3：1／2×3／5=3／10，3／5×1／2=3／10，所以1／2×3／5=3／5×1／2。乘法交换律在分数乘法中同样适用。
师：对，整数乘法运算定律在分数乘法中同样适用。
………
反思：从学生熟悉的字母公式入手，变直接出示题目计算验证为学生自己举例验证，既训练了学生的思维能力，有培养了学生的口头表达能力。学生能够有条理较清晰地述说自己的思考过程，并在教师的引导下，很快完成了其余两个定律的举例验证，能有理有据地说出自己的思考过程。
片段二：
出示题组：（3／4+1／5）×4 （1／3+2／7）×5
师：请同学们仔细观察这两道题中每一个数的特点，动笔前先思考怎样比较简便？
生1：第一题运用乘法的分配律可以使计算简便。（3／4+1／5）×4=3／4×4+1／5×4。
生2：第二题这样计算比较简便。（1／3+2／7）×5=1／3×5+2／7×5。
生3：我认为第二题这样计算不简便。先算括号里的加法比较好，而第一题用分配律做简便。
师：第一题简便的方法大家意见一致，第二题有两种不同意见。老师建议每个人把这两种方法都试一试，自己体验怎么做比较好。
学生完成计算后交流。
生1：我认为两种方法都可以，随便选择那一种。
生2：我认为用乘法分配律做反而麻烦，先算括号里的加法比较好。通分时分母小，好计算。
生3：我认为用分配律做这一题并不简便。
师：第二题的数怎么改用乘法分配律做就比较简便呢？
生1：1／3改成1／5。
生2：2／7改成1／5。
生3：两个数都改，1／3改成1／5，2／7改成2／5。
生4：把乘5改成乘7或乘5改成乘3.
师：如果括号里的分数不变，括号外面的数怎么改可以使计算变得更简便？
生5：我想可以改成21，但不知对不对。
生6：对！对！应该是3和7的公倍数。
生7：应该是3和7的最小公倍数，是分母的最小公倍数。
反思：以题组行事出示两道例题，引导学生先观察后计算，有利于培养学生良好的计算习惯。封闭的计算题实施开放式教学，为计算教学注入了活力，学生兴趣高涨，思维活跃。
评析：
一、重组教材内容，顺着学生的认知结构安排教学顺序，引导学生经历“再创造”的过程。教材内容是按“出示题目-----计算验证-----应用”这样的顺序进行编排的。这样编排，内容缺乏挑战性和探索性，按不就班地教学如同让学生在不口渴时因一杯白开水，难以激起学生的学习兴趣。学生在学习此内容前，已经经历了整数乘法运算定律推广到小数乘法的过程，能较熟练地运用定律进行简便计算，并且学生已经掌握了“用字母表示乘法的运算定律”这一知识，知道字母可以表示数。因此，学生能够轻松地吧这些运算定律迁移到分数乘法。摸清学情后，我对教材作了处理；从学生的最近发展区入手，在回忆旧知识的基础上引导学生“发现”新知，自己举例证明。这样教学，避免了平铺直入的乏味，激发了学生学习的兴趣。
二、简算是一种技能，更是一种意识。我们在教学中发现：具有明显简算特征的计算题，学生能够熟练地运用定律进行简便计算；而特征不明显，需要转化之后才能简算的题目，学生不知道如何去寻求简算，部分学生往往不假思索地或按部就班地计算，或不能简算的却在生拼硬凑乡简算。技能熟练意识欠缺，是简便计算教学中的一个常见现象。在这节课中，以题组的形式出示两道题，引导学生在比较重发现问题并解决问题，培养了学生的简算意识。

“玩”出来的角
内蒙古赤峰市喀喇沁旗十家满族乡上烧锅学校 娄显贵
人教版《义务教育课程标准实验教课书·数学》二年级上册《角的初步认识》一课，教材先是出示一幅学校生活的情景图：足球场上，小朋友在踢足球；旁边有一位手拿三角板的老师正经过操场；不远处，有位老爷爷拿着一把大剪刀正在修剪树木。然后从一些生活中的“角”的实例抽象出“角”的图形。但对于刚上二年级的小朋友来说，“角”的知识比较抽象，学起来有些困难。为了让学生既轻松愉快地掌握这部分知识，又能较好地培养学生的抽象概括能力，经过反复斟酌，我设计了用多重形式的“玩”贯穿整个“角”的教学环节。
一、玩--------“拼角”
数学概念是抽象的，而学生的思维以具体形象思维为主。所以，教学时，我先让学生做拼图游戏：先拿出4根小棒，能围成什么图形？拿掉1根小棒，能围成什么图形？如果只有2根小棒，有呢围成什么呢？
二、玩------------“摸角’
把角的概念放到实践操作中感知，让学生摸摸角的各部分，说说触摸后的感觉，从而使学生体会到角有顶点和边。同时，也培养了学生手脑并用的能力和对事物的感知能力。
三、玩-----------“找角”
认识了数学概念的角，接下去就让学生回归到实际生活中，找一找周围什么地方有角？教师用数码相机把学生找到的角拍摄下来。运用现代多媒体手段借助电脑再把拍摄下来的角播放出来，请找到角的学生说说顶点和边分别在哪儿。教师随机把小数指出的顶点和边在拍摄下来的图中标出来。这样，学生学起来既好奇有兴奋。
四、玩-----------“活动角”
学生人手一个活动角，玩一玩，变一变，与同桌比一比谁的角大？并说一说自己的发现：怎样的情况下，角会变大；怎样的情况下，角会变小。这一切是谁在作怪？最后，学生讨论、实践操作得知：角的大小与边无关，与角的叉开的大小有关。
五、玩-------------“折角”
给学生一张不规则的纸，在不借助工具的情况下，能折出多少个角？怎样数才能一个不漏地把角的个数数数完？这样，在角的“折、数“的过程中，学生通过眼、手等感官直接感觉到了顶点与边的特征，思维得到升华，头脑中已深刻地留下了角的形象。
六、玩-------------“画角”
在折角的基础上抽象角。让学生将折后的角，画在纸上，说出你所画的角的形状。虽然学生的画法不一，但都能说出角有两条边和一个顶点，从而使实物的角抽象成概念的角。
七、玩----------------“欣赏角”
播放校园里的典型景物、国内外的知名建筑物等，让学生在神奇的景物和清幽的音乐声中，感受角给我们的生活带来的美感。
整堂课，学生在多变得“玩”法中学会了“角”的有关知识，达到了手指尖上除智慧的目的。

开放促生成，意外更精彩
-------------------『鸡兔同笼』教学案例与反思
内蒙古赤峰市喀喇沁旗十家满族乡上烧锅学校 娄显贵
案例
一、创设情境，引出问题
师：同学们，老师给大家经一个小故事：从前，有一位老猎人，每次进山打猎都是满载而归。一天，他进山打了几只山鸡和野兔，高高兴兴地往家走。在村口。几个小孩子围了过来，“老爷爷，老爷爷，今天你打了多少猎物呀？”老爷爷捋了捋胡子，笑眯眯地说：“今有雉兔同笼，上有八头，下有二十六足，问雉兔各几何？（屏幕出示题目）谁知道老爷爷的话是什么意思？这就是我们今天要研究的中国历史上著名的数学趣题--------“鸡兔同笼”问题。
二、自主探索，解决问题
1、猜测激趣，初谈想法
师：你从这句话中获得了那些信息？你能猜一猜鸡和兔各有几只吗？
生1：我从“上有八头”知道鸡和兔一共有8只，还知道鸡和兔共有26条脚。
生2：我知道一只鸡有2条腿，一只兔有4条腿；鸡和兔一共有8只，即一共有26条腿，求分别有几只。
师：他发现了隐藏条件，审题真细心。猜猜看，鸡和兔各有几只呢？
生3：我猜不可能都是鸡，因为如果都是鸡就会有16条腿，而题目中有26条腿；也不可能都是兔，因为如果都是兔就会有32条腿。
生4；我猜有4只鸡、4只兔，那么共有8只鸡脚加16只兔脚共是24只脚，还差2只脚……
生5：我猜测有5只鸡、4只兔，共有26只脚。
生6：不对，5只鸡和4只兔共有9个头了。
生7：我猜最多有6只兔，因为26里最多有6个4，剩下2只脚是鸡，但是合起来只有7个头，所以兔应该少一只，鸡就有3只，刚好是26只脚。
生8：我发现鸡和兔的头数固定式8，如果算出来的脚数比26多就应把兔子的只数减少，如果合起来的脚数比26少就应把兔的只数增加。
师：同学们说的都有道理。这样吧，老师给你们一些时间，各组去尝试寻找解决办法，待会告诉大家好吗？
2、小组合作，探究方法
（教师引导学生用不同的方法解决问题，突出假设法）
3、同桌交流：把你的想法和同桌交流一下。
4、汇报。
师：谁愿意展示你的方法？（生1出示下表）
鸡的只数
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔的只数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
共有腿数
16
18
20
22
24
26
28
30
32
师：谁和他的方法一样？能再讲讲吗？
生2：因为鸡和兔的只数是固定的，每增加一只兔就减少一只鸡。腿的总只数就增加2；反之依然，所以列表列得特别快。
师：像这样采用列表的方法，不重复、不遗漏地写出所有可能的答案，这种逐一列举的方法在数学中称为“牧举法”。
师：除了像这样逐一列举法外，还有不同的列表方法吗？
生3：从中间确定。假设鸡兔各有4只，4×4+4×2=24，少了，就增加兔子只数，减少鸡的只数，即5只兔子，3只鸡，5×4+2×3=26.
师：你们觉得这种方法怎么样？
生：简便、快捷。
师：还有别的方法吗？
生4：我用的是画图法。给每只动物先装上2条腿（也就是都看成鸡），这样一共用16条腿，还剩下10条腿，一次增加2条腿，一只鸡就变成了一只兔，要把10条腿装完，即把5只鸡变成兔。
师：画图的方法非常便于观察，容易理解。
生5：我用列式的方法。假设全是鸡，2×8=16（条），26-16=10（条）即兔子有10÷2=5（只），鸡有8-5=3（只）。
师：除了可以假设都是鸡，还可以怎样假设呢？
生：假设全都是兔。
生6：我用砍腿法。假设吧所有的鸡和兔各砍去一半的脚，鸡就只剩一只脚，兔子只剩两只脚，这时鸡和兔的脚数比头数多的部分就是兔的只数。兔子有26÷2-8=5（只）鸡有8-5=3（只）。（教师同时告诉学生这正是古人所用的“抬脚法”，又称“减半法”）
生7：我用方程法……
5、师（小结）同学们，刚才我们用很多方法解决了同一个问题，你觉得这些方法的核心思想是什么？（假设，所以“鸡兔同笼”问题又叫做假设问题）。
6、了解“鸡兔同笼“的历史。
7、师（小结方法）：刚才我们用这么多的方法解决了“鸡兔同笼“问题，你最喜欢那一种方法，说说你的理由。
生8：我最喜欢减半法，因为这种方法简便、快捷。
………
三、应用方法，解决问题
1、师：“鸡兔同笼”问题从我国传到日本，就变成了“龟鹤问题”。（出示“做一做”第一题）用你喜欢的方法解答龟鹤问题。
2、师：在我们的生活中也有这样的“鸡兔同笼”题目。（出示“做一做”中的“租船问题”）你能解决吗？
3、师(小结)：生活中，“鸡兔同笼”的问题又许多变式，我们重在掌握其中的数学思想和方法，要学会灵活应用，感受数学的魅力。
四、畅谈收获，全课总结（略）
反思：开放促生成，意外更精彩
教学时教师与学生交往、互动的过程。在这个过程中，师生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容。获得新的发展。课堂教学虽然课前进行预设，但具有很强的动态性、不可预设性，是动态生成的。随着教学的不断展开，学生的认识和体验不断加深，创造的火花不断迸发，这一切都需要教师不断地调整预案，生成新的目标。只有这样，才能促进学生的发展。
“鸡兔同笼”问题具有很强的抽象性，学生学习会有一定的难度。所以，我预设引导学生按照课本的列表法，再配合假设法，充分运用动手操作这个手段，让学生弄懂“鸡兔同笼”问题的基本解题思路。在课堂教学实践中，我发现吧更多的时间留给学生独立思考、互动发言，可以促动课堂生成，获得意外的精彩。
学生是学习的主体，不同的学生有不同的想法。课堂上应该多让学生发表自己的见解，教师可以从中发现很多的东西，把他作为学生的个性化学习、创新性思维、真实的内心体验，这样才能将显示富有个性色彩的知识作为教学的切入点，促进课堂生成。如课本提出问题后让学生猜测“鸡兔各有多少只”，学生的多向猜想提出了教师的预设，而学生的发现更让我感到意外，正是这个意外发现为学生的探究理清了头绪。又如，在自主探究解决方法时，由于学生原有认知背景的不同，他们对解答本课时的题目存在较大的差异。所以，在教学过程中，我并没有按部就班，提出统一的要求，而是允许不同的学生采用不同的解题方法。在交流时，意外发现有两个学困生用逐一列表的方法独立解决这个问题，我肯定了他们想出的好方法，并在此基础上引导他们理解假设法的思路。而有的形式则是应用了课外阅读中学到的“砍脚法”，让其他同学领略了这种解法的优越性，同时拓宽了学生的思维，催生了有一个问题资源“砍脚法”与假设法有什么联系？这种解法在应用上有什么条件限制，再一次吧课堂教学推向了高潮。
本节课从学生的角度调整教学过程，改进预设，把学习的主动权交给学生，让学生在合作学习的活动中主动完成认识结构的建构过程，使学生的主体意识和探究精神得到培养，创新潜能得到开发，让学生获得亲自参与探究学习的积极体验。