基本不等式的灵活应用.doc

题目：基本不等式的灵活应用
题目：熟能生巧，活能制胜
衡东县第一中学：覃春艳
前言：重要不等式（当且仅当时取“”）与基本不等式（当且仅当时取“”）是教材中的定理，它们都是重要的不等式，对于它及各种变式的掌握与熟练应用是求解很多与不等式有关问题的重要方法。
常见的变式及应用：
1，变式：
①（当且仅当时取“”）
②
③（当且仅当时取“”）
④或（当且仅当时取“”）
⑤或（当且仅当时取“”）
⑥（当且仅当时取“”）
2，应用：
例1：
（1）设若，，则的最大值为（ ）

（2）若实数满足，则的最小值是（ ）

解：（1），则，，又，
故（当且仅当时取“”）
故选
（2）方法1：，当且仅当时取“”。
方法2：由得：，
，当且仅当，即时取“”。
运用基本不等式求最值：
（1）“和定积最大”， （当且仅当时取“”）
（2）“积定和最小”， （当且仅当时取“”）
运用基本不等式求最值要注意必须满足三个条件：即一正、二定、三相等。
例2：
（1）已知，求证：
（2）已知，求证：
（3）已知，，则的最小值是（ ）

证明：（1）
， ，
三式相加得：
即，当且仅当时取“”
证明（2）

，，
三式相加得
即，当且仅当时取“”。
解（3）
，，

当且仅当时取“”。故选答案。
点评：利用不等式和时，关键是把式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用，注意在多次使用时等号成立的条件。

例3：
（1）求函数（）的最大值；
（2）已知，，且，求的最小值。
解（1） ，，
，当且仅当，即时取“=”

当时，函数（）的最大值为。
（2）方法1：，且，

当且仅当，又，即时上式取“=”
故当时，的最小值为16.
方法2：由，得（定值）
又，，，，即，

当且仅当，即时上式取“=”。
故当时，的最小值为16.
方法3：，，又，
，，同理可得，
由得：

当且仅当，即时，等号成立。此时。
即当当时，的最小值为16.
点评：在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，更重要的是需要拆、凑、构出定值求解。即通过恰当变形，合理拆分项或配凑因式从而构造出定值（和为定值或积为定值）求解。
例4：（应用题）
如图所示，

例题5：
当时，不等式恒成立，求的最大值。
解
当时，上述三个不等式等号同时成立。
解：
可以看出，基本不等式的各种变式及其灵活应用给予我们带来了不仅仅是一个又一个的问题被“攻克”了，而是一次又一次的体验数学的真谛，一次又一次地充分享受数学解题的乐趣。
4