基本不等式案例的研究应用.doc

“基本不等式”案例研究
早上咱们一块听了“许高”王瑞敏教师、“二高”苗付雨教师关于“基本不等式”两节“同课异构”课，与昨天也正好是一种女教师、一种男教师，一种是热情型、一种是沉稳型.我还是一方面向两位教师精心准备和辛勤快动表达感谢与尊敬．
今天交流方式与昨天同样：我、授课教师、听课教师三方互动，但愿人们多发言；昨天谈过今天我尽量不重复．我发言内容分为四某些：
（1）案例研究结识
（2）不等式教学分析
（3）案例分析实行
（4）数形结合

1 案例研究结识．
1-1 什么叫案例
“案例”一词源于法学，就是一种案件，哈佛法学院将案例应用于法律人才培养，产生案例教学；哈佛工商学院将其应用于工商管理人才教学，获得明显成效；之后，人们把“病例”用于医生培养，把“战例”用于军官培养，把“课例”用于教师培养，都叫做案例教学．教师教诲中案例教学始于20世纪70年代，随着案例教学而进行分析、反思、提炼又增进了“案例研究”发展．这里有三个词：案例、案例教学、案例研究．案例是一种教学实例，案例教学是一种教学办法，案例研究是一类研究办法．三者既有联系又有区别．
（1）案例（课例）界定：数学教诲上案例是具备典型意义教学过程描述．
对于数学教学上案例，咱们更习惯叫做课例（或个案），在形式上，可以是体现教诲理论与教学技能课堂实录，可以是学生学数学生动故事，可以是教师教数学有趣设计，还可以是教学实践中遇到意外与困惑事件．为了教学研究需要，课例论述可以对课堂信息摄取有所侧重，对课堂之外状况（如教师、学生背景）及心理活动有所描述（动机、态度、思想、意图、需要等），这就使得用于教学分析课例与记录教学实验课例略有区别．创作课例可以是一种“教诲叙事”，用记叙文体裁表达出来．
（2）案例作用：教学课例包具有充分多信息（可以代表一类事物），蕴含一定限度理论原理，反映了教学实践经验与办法，渗入着对特定教学问题深刻反思，可以协助数学教师树立一种观念，明白一种道理，理解一种概念，学到一种办法；案例是理解教学窗口，是问题解决源泉，是教学理论故乡，是教师发展阶梯．
（3）案例特性：典型性、研究性、启发性．
1-2 什么叫案例研究
（1）案例研究界定：在对典型教诲事件进行详细描述基本上，通过度析、归纳和解释，概括出具备普遍性结论研究办法，叫做案例研究．
（2）案例研究意义：在案例研究中，作为研究素材一种或各种案例自身是研究一某些，对案例收集、整顿和论述自身体现着研究者研究旨趣和研究立场，但是，案例素材自身并不是理论，需要研究者对案例素材进行分析、解释、判断和评价，形成特定理论．从这个意义上说，案例研究是从详细经验事实走向普通理论一种研究工具．（相称于生物学研究中标本）
案例研究突破了理论脱离实践困境，建构了与实际问题紧密相连知识体系，便于教师结合自己教学实际开展研究．
1-3 案例研究视角
如何开展案例研究呢？咱们建议抓住三个重要视角．
重要看数学功底与本质洞察.
（1）数学视角（重要看数学功底与本质洞察）
●内容构造：数学内容充实、完整，逻辑线路明晰．
●知识构建：原有知识经验明确，有构建新知识合理过程．
●数学概念：清晰、精确，有发生过程．
●数学论证：科学、对的，有思维揭示．
●数学思想：有数学思想办法渗入、提炼或阐明 ．
（2）教学视角（重要看教学能力与风格特点）
●教学目的：体现三维目的，定位精确，教学性质清晰．
●教学规定：恰当、适合学生近来发展区．
●教学办法：创设发现情景，勉励摸索质疑，多向交流沟通，促成意义建构．
●教学过程：有序、完整，思路清晰，使用多媒体，勉励性评价．
●教学效果：突出了重点、突破了难点，实现了教学目的．
（3）观念视角（重要看与时俱进数学教诲中华人民共和国道路）．
已经进行了十几年数学新课改课堂，咱们眼光不要停留在十几年前，观测课堂、寻找特色，应当与时俱进，有新结识：
●新课改所倡导教学理念通过十几年贯彻，必然会与数学学科特性有机结合，产生出既区别于其她学科、又区别于老式数学教学新特色．其实质是创新．
●新输入课改理念通过十几年贯彻，必然会与数学教诲中华人民共和国道路互相作用，增进中华人民共和国数学教诲在新课程背景下当代发展．其实质还是创新．
●如今数学教学大体上都是：以问题情景作为课堂教学平台，以“数学化”作为课堂教学目的，以学生通过自己努力得到结论（或发现）作为课堂教学内容重要构成，
以“师生互动”作为课堂学习基本方式．就是说，数学现实、数学化、再创造、师生互动是四个核心词．
最重要是能从这些视角里看清基本领实，并用这些事实去分析有关数学解决、解释有关教学行为．固然，课例分析共识有只能作为教师营养，间接进入课堂，而有则可以直接进入课堂，这两方面都将增进教学发展．课例分析不应是“空对空”“纸上谈兵”，而应当是“实对实”“行动研究”．

2 不等式教学分析
2-1 不等式定义
关于不等式定义，普通有两种提法．
定义1 表达不等关系式子，叫做不等式．
这个定义采用了“否定等式”办法，没有正面指出“不等关系”详细含义．随着学习进一步会体现出它局限性．
固然，在实数范畴内，任意两个实数有且只有三种关系，因而，否定，即固然是指或．从教材所浮现内容看，定义1 “不等关系”包括：，，，等关系．
当前问：是不是不等式？在求函数定义域时，的确遇到过这样式子：定义域为（否定形式）
且．
正面必定形式是．
也就是说，咱们可以把：当作是不等式，即
或；
或或．
但是，学习复数之后，并不表白或．同样
一匹马一头牛，｛奇数｝｛偶数｝，
能是数学上不等式吗？
　　事实上，不等关系并非永远等价于大小关系，对相等关系否定，并不一定是对大小关系必定，而不等式本质不但是对相等关系否定，并且是对大小关系必定．因而，不等式如下定义比较好：
定义2 用不等号“”“”连接起来式子叫做不等式．
这里说“式子”可以随着学习进一步而逐渐扩展外延．（用数学运算符号和括号把数和表达数字母连结而成，这里所说“数学运算符号”是指初等运算．初等运算包具有限次加、减、乘、除、正整多次乘方、开方(或有理多次乘方)———这些运算都叫做代数运算;此外，还涉及无理多次乘方、对数、三角和反三角等运算———这些运算都叫做初等超越运算．）
与定义1相比，这个定义长处是：
（1）直接指出不等本质是大小关系，至于，．则作为，与逻辑“或”．
（2）采用了必定论述方式，更适合中学下定义习惯．
（3）直接指出概念外延，更易于学生掌握．
例如，是或意思（不不大于），在关系中用了不等号 ，故称为不等关式．
又如，虽然表达了两个量不等关系，但不能写成或，因而不是用“”，“”连结起来式子，就不是不等式．
那么，“”，“”又是什么意思呢？证明一种不等式证到什么限度算是证出来了呢？
1-2 不等关系基本出发点．
（1）充要条件：

这个充要条件把实数大小关系转化为实数符号（正、负号）．这是不等式证明或求解基本出发点（作差比较法）．
那么，“实数符号（正、负号）”又是怎么规定呢？
（2）符号法则．
“充要条件”把实数大小关系转化为实数符号，因而正负数大小性质，也是不等性质基本，整顿如下：
①在数轴上（水平放置），位于右侧点表达实数不不大于位于左侧点表达实数，位于左侧点表达实数不大于位于右侧点表达实数，同一点表达两个实数相等．
②正数不不大于0，也不不大于负数；负数不大于0，也不大于一切正数．
③正数中，绝对值大较大，负数中，绝对值大较小．
④正数相反数是负数，负数相反数是正数，零相反数是零．
⑤两个正数之和必是正数，两个负数之和仍是负数．
⑥同号相乘得正，异号相乘得负；反之，两个数积为正，则该两数同号；两个数积为负，则该两数异号．
⑦一种数倒数与其自身同号．
⑧一种数乘（除）以一种正数，不变化符号．
⑨任何实数平方都不不大于0，（）．（非负数）
由，有，继续有诸多变形．
⑩（）．（非负数）
全量不不大于任一某些．如
‘
等号成立当且仅当．
又由
得 ，
等号成立当且仅当．
这些性质是不等式性质和证明基本．
1-3 不等式性质
不等式性质（定理和推论）基本上都是用“充要条件”来证，（也即作差比较法），而推理则用多用综合法．
（1）学生心理是，一方面以为性质“显然”，另一方面又是第一次做不等式证明，不懂得怎么证．
“显然”心理是可以理解．第一，定理的确很简朴，像是常识．第二，有性质此前学过，当时没有证明．第三，有性质此前已不自觉用过了．
正由于这些性质比较简朴，因此可以使用原理就比较少，难下手，想不到就运用实数某些正负性质．此外，第一次证明，用什么办法证也不懂得．
（2）这是培养逻辑推理能力重要机会．
许多同窗在这些证明中想固然，最佳能像平面几何证明开头同样，规定步步有据．
同步加强正反对比，反例阐明很有作用．如（学生错误）
；
;
;
，;
，；
，．
（3）这些不等式性质虽然简朴，但学生往往记不住，因素是零散，性质之间缺少逻辑关系，可作这样分类

1-4 基本不等式
（1）几何背景1
由数到形过程：

●转化1：
●构造图形：将与线段长度（距离）互化，将 （）与面积互化，将（）与体积互化，将与勾股定理沟通.
●转化2：正方形面积4个直角三角形面积
（全量不不大于它任一某些）

于是，由形到数过程或代数变形，有

但 （基本不等式一种根源，并与配办法沟通）
因此 （放缩法推理）

(2)基本不等式几何背景2.
构造图形：将与线段长度（距离）互化，
将转化为线段，
将转化为线段，
构造是核心，可以理解为直角三角形斜边不不大于直角边.
进一步，对，有
，
在变换（），
，
，
由

与三角函数沟通．
(3)不等式有用变形.
变形1：（）．
例1-1 柯西不等式．
证明 时显然成立．对，取，有 ，．
得 ．
变形2 ： ．除以
例1-2 [1984年高中数学联赛] 设… 都是正数，求证
……．
证明 由（），求和

变形3： ．除以
例1-3 （）已知…，为两两各不相似正整数，求证对任何正整数，下列不等式成立．
证明 由，求和
．
变形4：．（）
例1-4 （）设为正实数且满足，试证
．
证明 由 ，
同理 ，
，
相加 左边．
变形5：．
例1-5 证明不等式．
证明 记，由
，
求和 ，
得 ，
即 ．
变形6：为参数．
例1-6 已知为实数且，试证
．
证明 由变形6有

相加 ．
为使所求不等式成立，令
，
得．
变形7：或．
由变形7可解决许多无理不等式问题．
定理从两个方面提供重要办法，证明定理办法是典型办法，用定理去证明结论办法是重要办法（定理法）；要会定理正用、逆用、连用、变用、巧用、活用，并且懂得每种变形合用于哪种题型．

3 案例分析实行
3．1 研讨1：怎么组织定理教学过程.
授课教师发言.

我想补充是：
定理学习三个阶段．
学生是怎么学习定理呢？咱们说有三个阶段，教师设计要与这个学习过程相匹配．
①第一阶段是输入阶段．即给学生提供新学习内容，创设符合学习内容情境，提示新旧知识之间联系线索．使学生在心理上产生学习新知识需要，这是输入阶段核心．
②第二阶段是新旧知识互相作用阶段．产生学习需要之后，学生原有知识与新学习内容就发生作用，这种互相作用有两个最基本形式——同化和顺应．同化是使新内容纳入原有数学认知构造，从而扩大原有认知构造过程．当原有认知构造不能同化新内容时，就要改造原有认知构造，以使新内容能适应这种认知构造，这就是顺应．本课例学习，重要是同化，体现为从“实数平方非负性——不等式”，及从．
本课例中把定理发现与定理证明统一起来值得必定．
③第三阶段是操作阶段．这里说操作是指数学思维活动，重要有例题与练习等活动，这使刚产生新数学认知构造变得完善，其基本形式是学生解决数学问题，让学生在定理证明基本上，进行问题解决练习，从中得到体验，并获得经验．这就使新知识与原有知识联系更加密切，使数学活动经验积累更加丰富，从而起到了完善新认知构造作用．
基本构造：“图形——不等式——证明——应用”．
可见：能力：推理论证
思想：数形结合
3．2 研讨2：这节课教学目的是什么？实现了没有？
王瑞敏
一、教学目的把反思总结，整合新知关于内容放进教学目的；特别是，推理论证能力要放进去
：
1.理解重要不等式与基本不等式及其证明.
2.能对基本不等式进行灵活变形，并应用基本不等式解决简朴最值问题.
3.切实把握好应用基本不等式求最值问题前提条件.
二、教学重点：运用基本不等式求最值问题.
教学难点：如何凑成两个数和或积是定值.
三、教学办法：1.题组训练法
2.学生展写、展评，教师指引

教师依照学生回答状况完善如下：
一种不等式教学目的说两个不等式：教学目的：1.理解重要不等式与基本不等式及其证明.
：当时，（当且仅当时，等号成立）
两种思想：数形结合思想、归纳类比思想应当有推理论证
。
三个注意：基本不等式求函数最大(小)值是注意：“一正二定三相等”
意图在于通过反思、归纳，培养概括概括是指从某些具备若干相似属性事物中抽象出本质属性，扩大到具备这些相似属性一切事物.
能力；协助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.

苗付雨
【教学目的】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式几何意义，并掌握定理中不等号“≥”取等号条件是：当且仅当这两个数相等。
2．过程与办法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节学习，体会数学来源于生活，提高学习数学兴趣
【教学重点】
应用数形结合思想理解不等式，并从不同角度摸索不等式证明过程；
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
运用基本不等式.

授课教师发言（略）。我想补充是：
（1）四个知识点
不等式两点
定积求和最小值，定和求积最大值，两点
（2）能力：推理论证：分析法（由未知，找需知，靠拢已知），综合法（由已知，找可知，靠拢未知），作差法，配办法、放缩法，构造法等
（3）思想：数形结合
（4）重点：四个知识点，推理能力培养
（5）难点：构造法（渗入数形结合），应用中“一正二定三相等”
问了学生，是从定理上理解，还可以从最大（小）值含义上理解
最大值一方面是值，同步比所有值都大
（定值）且存在定义域使
●推理论证能力：依照已知事实和已获得对的数学命题，论证某一数学命题真实性初步推理能力．推理涉及合情推理和演绎推理，论证办法既涉及按形式划分演绎法和归纳法，也涉及按思考办法划分直接证法和间接证法．普通是运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明．
网上流行这样一道小学一年级题目,据说难倒了诸多人：每个中文代表一种数码，不同中文代表不同数码，已知“大白+大白=白胖胖”，求大、白、胖个代表什么数码．
每个读完一年级人都具备理解这道题知识，因此，成功解题核心在思维能力和解题经验．
对比等式两边差别可以看到，
异同点1：左边有“大”没有 “胖”，右边有“大”没有 “胖”，能沟通左右两边联系是“白”；
异同点2：左边是二位数，右边是三位数，故相加必有进位．
由于最大二位数相加（99+99）其百位才进位1，因此右边百位数“白”只能是1，进而，右边 “白”也是1，及时算出右边“胖=白+白=1+1=2”，即右边三位数是122，除以2得左边二位数是61．因此，“大”是6、“白”是1、“胖”是2．

●概括：是指从某些具备若干相似属性事物中抽象出本质属性，扩大到具备这些相似属性一切事物.
概括与抽象是有关，概括水平也就是抽象水平.
●能略去同类事物详细差别，而抽象其共同本质或特性加以反映.它不同于感觉或知觉，概括是结识第二阶段：理性结识.
抽象概括能力：对详细、生动实例，在抽象概括过程中，发现研究对象本质；从给定大量信息材料中，概括出某些结论，并能用其解决问题或作出新判断．

3．3 研讨3：若干事项解决
(1)学生6做例2 (1)设，则最小值.
时缺了验证等号，
可不可以让本人反思？

(2) 学生9第二次发言，总结了三点，都是知识性，可不可启发她想“过程与办法”

（3）板书浮现笔误，是公开还是不公开？
例1．已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
（4）图形有局限性，认知基本异化为认知障碍（苗教师较好）

（5）投影解体过程不要太快

（6）提问要详细：图标有几种图形？学生不敢回答，不知是不是剖分图形.

（7）可否阐明一下，不等式中字母，可以是单个，也可以是代数式

（8）已知x、y都是正数，求证：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
涉及连用三次，可以依照学生水平决定.

4 数形结合
4-1 数形结合结识
（1）基本含义：这是从数与形两个方面来结识和解决数学问题一种思想．
（2）初步理解：数学是研究空间形式和数量关系一门科学，数与形是中学数学中被研究得最多两个侧面，数形结合是一种极富数学特点信息转换．它把代数办法与几何办法中精华都集中了起来，既发挥代数办法普通性、解题过程程序化、机械化优势，又发挥几何办法形象直观特性，形成一柄双刃解题利剑，数轴和坐标系，函数及其图象，曲线及其方程，复数及其复平面，向量、以及坐标法、三角法、构造图形法等都是数形结合辉煌成果．详细解题中数形结合，是指对问题既进行几何直观呈现，又进行代数抽象揭示，两方面相辅相成，而不是简朴地代数问题用几何办法、或几何问题用代数办法，这两方面都只是单流向信息沟通，惟双流向信息沟通才是完整数形结合．
（3）数与形基本特性对照

数
形

抽象形式化
直观形象化

顺时离散性
共时整体性

外在逻辑性
内在直觉性

清晰、严密、精准操作、
模糊、生动、依赖直观

渐进辨认
跳跃激活

线状构造
平面构造

4-2 数形结合途径
（1）通过坐标系：涉及直角坐标系、极坐标系和复平面；如
①代数式表达点到点距离；
②代数式可看作是点与点两点连线斜率；
③方程可化“形”为两曲线交点横坐标问题；
④依照函数图像性质将数化为“形”，由图形直观性解决问题；
⑤点集可化“形”为曲线；
⑥是复数、相应点之间距离，是一条射线；
⑦由方程曲线结合曲线几何意义；
⑧不等式可化“形”为两曲线位置关系．

（2）转化：通过度析数式构造，将与距离互化，将 （）与面积互化，将（）与体积互化，将与勾股定理沟通 ，将 与余弦定理沟通，将与三角形三边沟通；

数 式 结 构
图 形 结 构
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

（3）构造：可以构造几何模型，构造函数或构造一种图等．
4-3 原则
三个原则：
（1）等价性原则，是指代数性质与几何性质转换应当是等价，否则解题会浮现漏洞．有时，由于图形局限性，不能完整地体现数普通性，这时图形性质只是一种直观而显浅阐明，但它同步也是抽象而严格证明诱导；
（2）双向性原则，就是既进行几何直观分析，又进行代数抽象摸索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或者仅对几何问题进行代数分析都是一种天真误解；
（3）简朴性原则，找到解题思路之后，至于用几何办法还是用代数办法、或者兼用两种办法来论述，取决于哪种办法更加优美、更加简朴、或更便于达到教学目，而不是像一种流行模式那样代数问题用几何办法，几何问题用代数办法．