一类变系数抛物方程解的存在性研究应用.doc

HUNAN UNIVERSITY

毕业设计(论文)

设计论文题目：
一类变系数抛物方程解存在性

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数学与计量经济学院

指引教师：

学院院长：
蒋月评

5 月 16 日
一类变系数抛物方程解存在性

摘要
本文咱们重要研究一类变系数抛物方程在有界区域上初始值问题弱解存在性。一方面，运用Galerkin逼近法构造有限维空间上逼近解，然后运用能量预计办法证明了逼近解及上一致有界性，并由此运用弱收敛性证明变系数二阶抛物方程初边值问题弱解存在性。全文共分3章。
第一章中，简朴简介了变系数抛物方程研究背景，本文研究重要问题以及得到重要成果。
第二章中，简朴简介了本文所涉及基本概念及有关定理。
第三章中，证明了该变系数抛物方程解存在性。

核心词：抛物方程；弱解；Galerkin逼近；能量预计

The existence of a class of parabolic equations with variable coefficients

Abstract
In this paper，we focus on the existence of solutions to an initial-boundary problem for a class of parabolic equations with variable coefficients. Firstly，by using Galerkin approximation,we will obtain the approximationsolution of the problem in the finite dionsion space one.Then the boundess in andwas proved by using energy estimates method.Thus,the existence of wek solution of initial-boundary problem of the second-order parabolic equation with variable coefficients was proved . The paper includes 3 chapters.
In chapter 1，we simply introduce some works on PDE and the blow-up solution，the main problem and results which we will study and the parabolic equation which will be used in this paper.
In chapter 2，we simply present some concepts and related theorems，which will be used in the following sections of the paper.
In chapter 3，proving the existence of weak solutions of the parabolic equation with variable coefficents.

Key words:Parabolic equations;weak solutions;galerkin approximation;
energy estimates.

目录
第一章 绪论
1.1.研究背景
1.2.本文研究重要问题
1.3.本文得出重要结论
第二章 预备知识
2.1. 基本概念
2.2. 基本定理
第三章 抛物方程解存在性
3.1 逼近解构造
3.2 逼近解能量预计
3.3 弱解存在性证明
总结
道谢
参照文献

第一章 绪论
1.1．研究背景
在偏微分方程中，抛物方程是一类具备重要物理背景偏微分方程，具备广泛应用前景，已被广泛应用到了当今工业和咱们寻常生活之中。抛物型偏微分方程在研究热传导过程、某些扩散现象及电磁场传播等许多问题中均有广泛应用,已受到广泛关注。近年来，对常系数抛物方程研究已有许多成果，在工程技术领域中,特别是在地球物理及材料科学等领域,此领域应用研究受到人们越来越多关注。
二阶抛物方程是偏微分方程重要研究内容，它研究问题来源于物理、化学、半导体学及量子力学许多领域，描述是这些领域热传导和物质扩散等问题。
当前国内外数学界对抛物方程解存在性研究很活跃，获得了许多研究成果。1997年，Evans在文献[1]得到了如下抛物方程
（1.1）
其中为常系数二阶椭圆算子，证明了弱解存在性。
但据我所知，上述问题变系数情形弱解存在性还没有有关成果。由于热导率、扩散率普通与时间关于，因而，研究变系数抛物方程非常具备理论和实际意义。
1.2.本文研究重要问题
本文重要研究变系数二阶抛物方程
(1.2)
在边界条件
(1.3)
及初始条件
（1.4）
下弱解存在性。
其中且，为一有界开集。为一二阶椭圆偏微分算子。
1.3.本文所得到重要结论
本文通过Galerkin逼近法和能量预计办法,证明了抛物方程（1.2）初边值问题如下结论：
定理1.1 若,则（1.2）—（1.4）存在唯一弱解。

第二章 预备知识
本章简朴简介所需要有关概念、定理及重要不等式，为简便起见，所有结论只论述而不证明。
2.1 基本概念
定义2.1.2（抛物型算子）如果存在常数>0，使得 对于所有都成立，则称偏微分算子是抛物型。
定义2.1.2 （弱解）
是抛物方程（1.2）初始边界值问题弱解，若u满足
（i）对于任意,，均成立。
（ii）。其中
定义2.1.3 基本空间

在中闭包，为对偶空间。

2.2 基本原理
定理2.2.1 假设且
(1) 则
(2) 映射是绝对持续，且其中
(3) 此外，可以得到预计

其中，C是仅依赖于T常数。

第三章 解存在性
本章证明定理1.1，即抛物方程弱解存在性。
3.1.逼近解构造
假设光滑函数为 正交基 （3.1）
是原则正交基。 （3.2）
引理1（近似解构造）对于任意整数存在唯一形如且满足 （k=1,……m）和函数。
证明：，而为原则正交基
（3.13）
且 （3.14）
当前固定一种正整数m。咱们将寻找一种函,
形如，
， （3.10）
其中，记 则得线性常微分方程组
（3.15）
依照常微分方程存在性定理可知，存在唯一拟定持续函数在区间满足（3.15）。在区间由（3.10）所定义函数满足引理1.引理1成立。
3.2 逼近解能量预计
引理2（能量预计）存在常数C且C仅依赖于U、T和系数L，使得对于成立

证明：方程
相乘，并对k求和，得：
， （3.16）
由引理2
（3.17）
又由于

因而，存在常数 使得
（3.18）
记
， （3.19），（3.20）
则由（3.18）可推出.
因而，由Gronwall不等式（B.2）微分形式可以得出
（3.21）

(3.22)
又由（3.18）可得
（3.23）
任取且,记，其中且
。由于函数在上正交，则。运用方程，在上可推导出

（3.10）可以推导出

由可知

因而

因此
（3.24）
由（3.22）—（3.24）可知引理2成立。
3.3. 证明存在性。
接下来，证明初始边界值问题（1.2）—（1.4）弱解存在性。
依照引理2（能量预计），可知存在序列和及函数，，使得
在上，弱收敛于 （3.22）
在上，弱收敛于
接下来固定一种整数N，选用函数,且有如下形式
（3.23）
其中是给定光滑函数。选用时，将方程与相乘，对k求和，在关于t积分得
（3.24）
令则由（3.22），取弱极限得到
（3.25）
有稠密性可知均有
且 (3.26)
最后，证明u(0)=g。
一方面咱们从（3.25）可知，且，均有
（3.27）
类似地，由（3.24）中可以推导出
（3.28）
令并且再一次运用（3.22）及得到
（3.29）
由于v(0)是任意，比较（3.27）—（3.29），咱们可以得出结论。
综上所述，抛物问题（1.2）—（1.4）弱解存在。

总结
在本文中系统研究了二阶抛物问题（1.2）—（1.4）解存在性。咱们得到：运用Galerkin逼近法和能量预计法得到本文抛物问题弱解，证明了问题（1.2）—（1.4）解存在性。
但是由于能力有限，本文只证明了变系数二阶抛物方程解存在性，而没有验证解与否具备唯一性，这是本文局限性之处。

道谢
通过半年学习，本次毕业论文撰写工作已经接近尾声。作为一种本科生，由于缺少经验，难免有诸多考虑不周地方。如果没有指引教师督促指引以及同窗们大力支持，我将很难完毕这篇论文。
在这里一方面感谢我指引教师杨林，在我进行毕业设计每个阶段，无论从论文选题，设计方案拟定，还是中期检查及后期详细检查等整个过程中杨教师都予以了我悉心指引，细心地纠正了我每一处错误，令我受益匪浅。
然后还要感谢大学四年来所有任课教师，为咱们打下夯实数学专业知识基本，同步还要感谢所有同窗，正是由于有了你们勉励和支持，本次毕业论文撰写才会顺利完毕。
最后衷心感谢湖南大学数学与计量经济学院四年来对我悉心培养。

参照文献
[1]. L . C. Evans，<<Partial Differential Equations>> Springer ,1997， P351—P357.
[2]. Wu Xiaoqin,<< Existence of Solutions for Thermoelastic
Semiconductor Equations>> Springer，
[3]. 姜尚礼 《数学物理方程讲义》 科学技术出版社，1996.
[4] 程其襄，张奠宙，魏国强等.实变函数与泛函分析基本[M]. 北京：高等教诲出版社，.