基本不等式及应用.doc

(完整word)基本不等式及应用基本不等式及应用一、考纲要求：1.了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题3了解证明不等式的基本方法-综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a0，b0ab三、常用的几个重要不等式（1)a2b22ab(a，bR) (2)ab（)2（a，bR）（3)()2(a,bR） (4)2（a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是ab。四、算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a，b的算术平均数为，几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四个“平均数”的大小关系；a，bR+：当且仅当ab时取等号。五、利用基本不等式求最值:设x，y都是正数（1)如果积xy是定值P，那么当xy时和xy有最小值2.(2)如果和xy是定值S，那么当xy时积xy有最大值S2.强调：1、在使用“和为常数，积有最大值和“积为常数,和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值.当条件不完全具备时,应创造条件。 正：两项必须都是正数; 定:求两项和的最小值，它们的积应为定值;求两项积的最大值，它们的和应为定值。等:等号成立的条件必须存在.2、当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？（若最值取不到可考虑函数的单调性）想一想：错在哪里?3、已知两正数x，y满足xy1，则z(x）(y）的最小值为_解一：因为对a0，恒有a2，从而z(x）(y）4，所以z的最小值是4.解二：z（xy)2222（1）,所以z的最小值是2(1)【错因分析】错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件，只有等号成立时,所求出的最值才是正确的【正确解答】z(x)（y）xyxyxy2,令txy，则0txy(）2,由f(t)t在（0，上单调递减，故当t时, f(t)t有最小值,所以当xy时z有最小值.误区警示：(1）在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足,极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因如函数y12x（x0）有最大值12而不是有最小值12。（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性,否则就会出错课堂纠错补练：若00，b0，ab1，求证:4。【证明】(1)a0,b0,ab1，2224(当且仅当ab时等号成立)4。原不等式成立练习：已知a、b、c为正实数,且abc1，求证:（1)（1）（1)8。证明:a、b、c均为正实数，且abc1，（1)（1)（1）8。当且仅当abc时取等号考点2利用基本不等式求最值 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值(2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法例4： （1）设0x2，求函数的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值，然后确定取得最值的条件【解】（1）0x0,y，当且仅当x2x即x1时取等号，当x1时,函数y的最大值是.(2) x0，求f（x)3x的最小值；（3）已知：x0,y0。且2x+5y=20,求 xy的最大值。(4）已知a，求的取值范围显然a2，当a2时，a20，a（a2)2226，当且仅当a2，即a4时取等号，当a2时,a20,且xy1，求的最小值 x0，y0，且xy1，(）(xy）77274，当且仅当,即2xy时等号成立，的最小值为74。练习：求下列各题的最值（1）已知x0,y0,lgxlgy1，求z的最小值；解:（1)由x0，y0，lgxlgy1,可得xy10.则2。zmin2.当且仅当2y5x，即x2,y5时等号成立(2）x0,求f（x)3x的最大值；x0，f(x）3x212，等号成立的条件是3x,即x2,f(x)的最小值是12.（3）x3，求f（x）x的最大值x3，x30，3x0，f（x)x(x3)3(3x）3231，当且仅当3x,即x1时，等号成立故f（x）的最大值为1.(4），求的最大值。考点3利用基本不等式求最值的解题技巧1.代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式。2拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值例3：（1）已知，求的最小值。（2）已知，求的最大值。（3）已知,求的最大值。（4）求函数的最大值。（5）设abc0，求2a210ac25c2的最小值。A2B4C2D5【分析】通过拆、拼、凑创造条件,利用基本不等式求最值，但要注意等号成立时的条件【解析】原式(a210ac25c2)aba(ab）a2aba（ab)(a5c)2aba（ab)0224，当且仅当，即a，b，c时,等号成立【答案】B练习：（1）（2011年浙江）设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_解析:4x2y2xy1，4x24xyy23xy1(2xy)213xy2xy()2(2xy)21(2xy)2(2xy)2即2xy当且仅当2xy时取等号，（2xy)最大值。(2）已知，求的最大值。（3）已知，求的最小值及相应的的值.考点4基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤是：(1)仔细阅读题目，透彻理解题意;(2）分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量设为函数；（3）应用基本不等式求出函数的最值；（4)还原实际问题，作出解答例4 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m。设利用的旧墙长度为x（单位:m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）(1)将y表示为x的函数；（2）试确定x使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【分析】(1)首先明确总费用y旧墙维修费建新墙费，其次，列出y与x的函数关系式；（2）利用基本不等式求最值,最后确定取得最值的条件，作出问题结论【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a m。则y45x180（x2)1802a225x360a360.由已知xa360,得a，所以y225x360(x2）(2）x2，225x210800。y225x36010440。当且仅当225x时，等号成立即当x24 m时,修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元方法归纳：（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息,理解题意，明确其中的数量关系,并引入变量，依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解(2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时,等号取不到，可利用函数单调性求解练习：1、有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段,为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d（m)与车速v（km/h)和车长l(m）的关系满足：dkv2ll(k为正常数),假定车身长都为4 m，当车速为60 km/h时，车距为2。66个车身长（1）写出车距d关于车速v的函数关系式；(2)应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解:（1）当v60 km/h时，d2。66l，k0.0006，d0。0024v22。（2）设每小时通过的车辆为Q，则Q,即Q.0.0024v20.24,Q.当且仅当0.0024v，即v50时,Q取最大值.答:当v50 km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多2、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840，画面的宽与高的比为，画面的上下各留8的空白，左右各留5空白，怎样确定画面的高于款的尺寸,使宣传画所用纸张面积最小？如果要求，那么为何值时使宣传画所用纸张面积最小？归纳提升:1创设应用基本不等式的条件：(1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目的是使“和式或“积式”为定值，且每项为正值；(2）在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法 2常用不等式：以下不等式在解题时使用更直接(1)a2（a0，且aR）,当且仅当a1时“”成立（2)2(a0,b0，a,bR)，当且仅当ab时“成立 （3)使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数yax,当a0,b0时函数在，0)，(0, 上是减函数，在(，)，( ，)上是增函数;当a0,b0时，可作如下变形：y（ax)（）来解决最值问题第 7 页 共 7 页