高校(理工类)数学牛顿法求方程根教学(课堂讲义)-PPT.ppt

,Klicken Sie,um das Format des Titel-Masters zu bearbeiten.,Klicken Sie,um die Textformatierung des Masters zu bearbeiten.,Zweite Ebene,Dritte Ebene,Vierte Ebene,Fnfte Ebene,Foil,*,2.5,牛顿法,牛顿法是求解方程,f,(,x,)=0,的一种重要的迭代法。这种方法的基本思想是设法将非线性方程,f,(,x,)=0,逐步转化为某种线性方程来求解。,牛顿法原理,设已知方程,f,(,x,)=0,的一个近似根,x,0,，则函数,f,(,x,),在点,x,0,附近可用一阶泰勒多项式,p,1,(,x,)=,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,),来近似，因此方程,f,(,x,)=0,在,x,0,附近可近似地表为,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,)=0,这个近似方程是个线性方程，设,f,(,x,0,)0,，解之得,x,=,x,0,f,(,x,0,)/,f,(,x,0,),我们取,x,作为原方程的新的近似根,x,1,。这种迭代方法称牛顿法。,牛顿迭代公式,牛顿法的迭代公式是：,x,k,+1,=,x,k,f,(,x,k,)/,f,(,x,k,),这个公式可改写成：,f,(,x,k,)+,f,(,x,k,)(,x,k,+1,x,k,)=0,可见迭代值,x,k,+1,实际上是线性方程,f,(,x,k,)+,f,(,x,k,)(,x,x,k,)=0,的根。,牛顿法的几何含义,牛顿法有很明显的几何解释。,方程,f,(,x,)=0,的根,x*,在几何上表示曲线,y,=,f,(,x,),与,x,轴的交点。设,x,k,是交点,x*,的某个近似位置，过曲线,y,=,f,(,x,),上的对应点,P,k,(,x,k,f,(,x,k,),引切线，并将该切线与,x,轴的交点作为根,x*,新的近似位置,(,图,2-8),。,牛顿法的几何含义,注意到该切线的方程为：,y,=,f,(,x,k,)+,f,(,x,k,)(,x,x,k,),这样得到的交点,x,k,+1,必满足方程,(13),，因而就是牛顿公式,(12),的计算结果。正是由于这个缘故，牛顿法亦称切线法。,牛顿法举例,例,2-5-1,解方程,xe,x,1=0,解,用牛顿公式,取,x,0,=0.5,，迭代结果列于表,2-6,中。,例,2-5-1,所给方程,xe,x,1=0,实际上是方程,x,=,e,-,x,的等价形式。同,例,2-3-2,和,例,2-4-1,的结果比较，我们看到，牛顿法收敛速度是很快的。,牛顿法的收敛性,下面就一般方程,f,(,x,)=0,研究牛顿法的收敛性与收敛速度。,设将所给方程,f,(,x,)=0,成下列等价形式,那么，对这一方程建立的迭代格式,x,k,+1,=,g,(,x,k,),显然就是牛顿公式,(12),。,牛顿法的收敛性,由于,如果,x*,是,f,(,x,)=0,的一个单根，即,f,(,x,*)=0,，,f,(,x,*)0,，则由,(14),式知,g,(,x,*)=0,，可见在单根,x*,的附近，牛顿法恒收敛，而且收敛的速度很快。,牛顿法的收敛性,再考察误差,e,k,=,x,k,x,*,的性态。,对一般的迭代格式,x,k,+1,=,g,(,x,k,),，由,x,k,+1,x,*=,g,(,x,k,),g,(,x,*),利用中值定理知,e,k,+1,=,g,(,),e,k,这里,为,x,k,与,x*,之间的某一点。,牛顿法的收敛性,因而当,x,k,在根,x*,的附近时，将有,e,k,+1,g,(,x,*),e,k,即误差,e,k,+1,是,e,k,的线性函数，这时称迭代过程,x,k,+1,=,g,(,x,k,),具有线性收敛性。,显然，,g,(,x,*),越小，格式,x,k,+1,=,g,(,x,k,),收敛的速度越快。,平方收敛性,对牛顿法有,g,(,x,*)=0,，这时,代入,(15),得,对,(14),求导知,x,k,+1,x,*=,g,(,x,k,),g,(,x,*),牛顿法的收敛性,于是有：,由此可见，牛顿法的误差,e,k,+1,与,e,k,的平方成正比。由于误差的这一特点而称牛顿法具有平方收敛性。,牛顿法的应用,牛顿法的应用：,对给定的正数,a,，应用牛顿法解二次方程,x,2,a,=0,我们得到求开方值 的计算格式：,牛顿法的应用,用初等方法不难证明，迭代公式,(16),对任意初值,x,0,都是收敛的。这里，前述平方收敛性具体表现为：,例,2-5-2,例,2-5-2,求,解,取初值,x,0,=10,，按迭代,3,次便得到精度为,10,-6,的结果（表,2-7,）,由于格式（,16,）对任意初值均收敛，并且收敛速度很快，因此我们可以取确定初值如,x,0,=1,编写通用程序。用这个通用程序求，也只要迭代,7,次便得到了上面的结果,10.723805,。,牛顿法小结,对于给定的函数,f,(,x,),，将其无限的泰勒级数截取两项,p,1,(,x,)=,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,),作为近似函数，并用近似函数,p,1,(,x,),的零点,x,1,作为所求零点,x*,的近似值，这就得到牛顿公式（,12,）。,牛顿公式仅仅是个近似公式，简单地应用这个公式并不能获得精确的结果。但是，如果我们在无限的迭代过程中使用它，那么所得到的近似值,x,k,将会无限逼近所求的精确值,x*,（如果迭代过程收敛的话）。,x,k,+1,=,x,k,f,(,x,k,)/,f,(,x,k,),牛顿法小结,在实际计算时，我们不可能穷尽这个无限的逼近过程。然而对给定的精度,，我们可以找到某个有限的近似值,x,k,，使其误差,|,x*,x,k,|,。这样，在给定的精度,的范围内，所得到的,x,k,就是“精确化”了的近似值，于是，“近似”与“精确”终于在一定条件下等同起来了。,