旨在提升思维能力的解题反思.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）作者简介院王宏兵（1981），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.旨在提升思维能力的解题反思王宏兵江苏省如皋中学226500咱摘要暂 解题反思既是解题后完善解题过程的重要环节袁也是解题过程中解析审题的重要手段.解题反思具有总结解题经验尧提升解题技能尧提升思维能力的重要作用.文章从四个方面对解题反思的具体内容和作用展开分析院重新审题袁规范思维过程曰发掘隐性条件袁优化思维路径曰探究多解袁提升思维品质曰总结规律袁发展深度思维.关键词解题反思曰思维能力曰解题习惯解题反思是对解题过程尧命题者意图尧解题方法等进行回顾和梳理袁以理解问题实质的措施.解题反思不仅是解题后完善解题过程的重要环节袁还是解题过程中遇到思维阻碍时袁对试题进行重新分析和审视的步骤.解题反思能够暴露学生的思维缺陷袁促使学生优化解题方法尧总结解题经验袁从而提升学生的思维能力袁培养学生的数学核心素养.因此袁教师在教学过程中要引导学生开展解题反思袁指导学生总结解题规律袁以跳出野题海冶袁实现学习效果的提升.重新审题，规范思维过程审题是解题的首要步骤袁对能否正确解题起着关键性作用.解题完成后回顾试题内容和结构袁再次审题袁理解命题内涵是一种重要的解题反思方法.通过重新审题袁明晰试题的关键点袁理清试题的结构和考查意图袁避免解题出现错误袁使思维过程更加完善和规范袁提高解题的正确率.例1 已知函数f渊x冤=x原4mx2+4mx+3袁该函数的定义域为R袁求实数m的取值范围.一般的解题思路 由于f渊x冤是一个分式函数袁因此其分母不能为0袁即y=mx2+4mx+3与x轴没有交点袁于是驻=16m2原12m0袁解得0m34.解题反思 上述答案准确吗钥 再次审题可以发现袁分母不为0有一个特例袁即m等于0尧分母等于3袁这时f渊x冤也不是分式函数袁而是一次函数袁故正确答案为0臆m问题探索69投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 7 月（下旬）得到正确的答案.根据平方根的性质可得1原2x逸0袁且x逸原32袁故函数y=x原1原2x 姨的定义域为原32袁12袁值域为原72袁12.在解题中出现错误往往是因为对试题条件或数学概念中一些细节的忽略袁通过解题反思袁重新审视试题条件袁仔细辨析数学概念袁能够发现被忽略的重点内容袁从而使思维方式更加完善袁并且增强数学知识的理解深度.例1和例2突出了答案的完整性袁促使学生对这一类试题的易错点有了更加清晰的认识.重新审题不仅能帮助学生提升解题技能和细致力袁同时规范了思维和答题过程袁有利于提升学生的数学素养.发掘隐性条件，优化思维路径不少数学试题中不仅有显性条件袁还有一些隐性条件藏在表面文字的背后袁或者藏在解题过程中.解题后对解题过程和解题思路进行反思袁重新审视和发掘试题中的隐性条件袁充分理解试题的内涵袁灵活运用数学知识袁优化思维路径袁寻找解题突破口袁使解题过程更加简洁和完美.例3 已知3x2+2y2=9x袁求x2+y2的最值.一般的解题思路 由3x2+2y2=9x变形可得y2=12渊9x原3x2冤袁将其代入x2+y2中袁可得x2+y2=x2+12渊9x原3x2冤=818原12x原922.因此袁当x=92时袁x2+y2的最大值为818.解题反思 反思解题过程可以发现隐性条件y2=12渊9x原3x2冤逸0袁因此0臆x臆3袁显然x=92不在此范围中袁所以答案是错误的.同时考虑到当0臆x臆3时袁函数f渊x冤=818原12x原922单调递增袁所以当x=0时袁x2+y2取最小值0曰当x=3时袁x2+y2取最大值9.通过解题反思发现隐性条件袁能够避免解题错误袁优化解题方法.例4 二次函数f渊x冤=ax2+bx+1渊a0袁b沂R冤袁设方程f渊x冤=x有两个实数根x1袁x2袁若x12x20冤袁依据条件x12x24袁可得g渊2冤0袁即4a+2b原10袁解得34原4ab12原2a袁化简可得2a原12原b4a原34.解题反思 反思解题过程即可发现这里藏着隐性条件34原4a18袁所以x0=原b2a2a原122a=1原14a1原14伊18=原1.本题之所以能够完美解决袁正是在解题过程中发现了隐性条件袁从而找到了解题突破口.试题中的隐性条件往往蕴含着数学思想和数学知识的内涵袁发掘隐性条件正是考查学生对数学知识本质的理解程度.注重解题过程与解题思路的反思不仅能够深入挖掘试题中的隐性条件袁提升解题的正确率袁而且能够培养认真观察和深入思考的习惯袁养成良好的解题规范.同时在挖掘隐性条件的过程中能够厘清知识间的联系袁提升思维能力袁从而建构起更为完善的知识体系袁不失为提升数学学习力的有效方法.探究多解，提升思维品质一题多解即采用不同的方法解题袁研究一题多解是培养学生思维发散性的重要手段袁使学生运用不同的数学知识从不同的角度去思考袁探寻多种解题方法袁发展思维的活跃性.在解题反思中重新审视试题结构袁分析题意袁既能拓宽解题思路袁还能纠正解题错误袁从而实现思维品质的有效提升.例5 假若实数x袁y满足x2+y2=1袁求2xyx+y原1的取值范围.一般的解题思路 依据条件x2+y2=1袁联想到sin2兹+cos2兹=1.令x=cos兹袁y=sin兹袁并且兹的取值范围是咱0袁2仔暂袁则2xyx+y原1=2sin兹cos兹sin兹+cos兹原1=渊sin兹+cos兹冤2原1sin兹+cos兹原1=sin兹+cos兹+1=2 姨sin兹+仔4+1.由于sin兹+仔4的取值范围是咱原1袁1暂袁故2xyx+y原1的取值范围是咱1原2 姨袁1+2 姨暂.解题反思 先反思解题方法是否存在问题.本题求解的是分式的取值范围袁故要考虑分式的分母不能为0袁即sin兹+cos兹原1屹0袁所以sin兹+cos兹+1屹2袁因此2xyx+y原1的取值范围应排除2.通过反思发现了解题中遗漏和忽略的细节袁那么在反思中能得到其他更为简洁的解法吗钥在上述解法中发现配方起到了关键性的作用袁因此问题探索70投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 7 月（下旬）可以利用配方探寻其他的解题思路.通过观察发现袁2xyx+y原1=2xy渊x+y+1冤渊x+y冤2原1=x+y+1袁于是可以将原问题转化为院假若实数x袁y满足x2+y2=1袁x+y原1屹0袁求x+y+1的取值范围.经过这样的阐释和分析袁问题变得更加明确袁我们就可以发现更多的解法.解题思路1 通过设元的方式求解.令t=x+y+1渊t屹2冤袁则y=原x原1+t袁将其代入已知条件x2+y2=1中袁可得2x2+2渊1原t冤x+t2原2t=0袁配方后得咱2渊1原t冤暂2原8渊t2原2t冤逸0袁解得1原2 姨臆t臆1+2 姨.又t屹2袁所以x+y+1的取值范围为咱1原2 姨袁2冤胰渊2袁1+2 姨暂.解题思路2 除了代数法外袁还可以采用几何法求解.将x+y+1原t=0看作一条直线袁x2+y2=1看作一个圆心为渊0袁0冤袁半径为1的单位圆.根据题意可知直线与圆有交点袁即1原t2 姨臆1袁解不等式可得1原2 姨臆t臆1+2 姨.又t屹2袁 所以x+y+1的取值范围为咱1原2 姨袁2冤胰渊2袁1+2 姨暂.研究不同解法袁让学生从不同角度灵活运用数学知识寻找解题路径袁是建构知识脉络袁深入理解数学本质的重要手段.本题通过反思袁将原本陌生的试题转化为学生熟悉的经典例题袁渗透了数学转化思想袁同时将试题化难为易尧化繁为简袁且避免了原有解法中的错误发生.在解题反思中通过问题的转化和分析袁不仅开拓了不同的解题思路袁还锻炼了思维的发散性.总结规律，发展深度思维探索数学规律是通过对数学试题的研究与类比袁进而理解数学思想袁形成总括性结论的过程.通过解题反思能够及时总结解题方法和解题经验袁强化对试题的理解袁形成具有体系化尧模块化的知识框架袁从学会一道试题的解法到掌握一类试题的解法袁提升知识迁移能力.在探索数学规律的过程中袁可以发展思维的深刻性袁使数学学习变得轻松愉悦.例6 函数f渊x冤=渊3a原1冤x+4a袁x1袁logax袁x逸1在区间渊原肄袁+肄冤上是一个减函数袁求实数a的取值范围.一般的解题思路 由于函数f渊x冤是一个分段函数袁且在区间渊原肄袁+肄冤上是一个减函数袁因此0a1袁3a原10袁即0a13.但是这并非最终答案.解题反思 反思已知条件和解题过程袁发现所得答案还须进一步完善.根据减函数的定义可知袁对于区间渊原肄袁+肄冤内的任意自变量x1袁x2袁当x1f渊x2冤.因此袁当x=1时袁渊3a原1冤x+4a的值不能小于logax的值袁即3a原1+4a逸0.这样就有0a1袁3a原1t袁无论t取任意值袁函数f渊x冤在区间渊原肄袁+肄冤上总是不单调袁求实数a的取值范围.例7的已知条件与例6不同袁由题意可排除f渊x冤为单调函数的情况.根据函数f渊x冤在t取任意值时都不是单调函数的特性可以作出f渊x冤的图象袁观察图象可得实数a的取值范围为原肄袁12.例8 函数f渊x冤=原x2+2ax袁x逸1袁2ax原1袁x1有两个实数x1和x2渊x1屹x2冤使得f渊x1冤=f渊x2冤袁那么实数a的取值范围是多少钥例8中的函数f渊x冤同样是一个分段函数袁但是已知条件与上述两个例题都不相同袁没有直接提到函数的单调性.根据题意袁x1屹x2袁f渊x1冤=f渊x2冤袁可知函数f渊x冤不是单调函数.因此袁本题同样可以用函数的单调性进行判断和分析袁从而建立相关的不等式分类讨论.根据题意可知袁当x逸1时袁f渊x冤是对称轴为x=a袁开口向下的二次函数曰当x问题探索71