抛物线12例题.doc

抛物线

一、选择题
1．抛物线y＝4x2的准线方程为 (　　)
A．y＝－　　　　　　　B．y＝
C．y＝ D．y＝－
解析：由x2＝y，∴p＝.
准线方程为y＝－.
答案：D
2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为 (　　)
A．4 B．－2 C．4或－4 D．12或－2
解析：设标准方程为x2＝－2py(p>0)，
由定义知P到准线距离为4，
故＋2＝4，∴p＝4，
∴方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.
答案：C
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 (　　)
A．y＝12x2 B．y＝－36x2
C．y＝12x2或y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
解析：分两类a>0，a<0可得
y＝x2，y＝－x2.
答案：D
4．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是 (　　)
A．y2＝12x B．y2＝8x C．y2＝6x D．y2＝4x
解析：如图，分别过点A、B作抛物线准线的垂线，垂足分别为M、N，由抛物线的定义知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四边形AMNB为直角梯形，故AB中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线的方程为x＝－，所以有4＝2＋⇒p＝4.
答案：B
5．抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长为 (　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：过点A作抛物线的准线x＝－1的垂线，垂足为B，由抛物线定义，有|AB|＝|AF|，易知AB平行于x轴，∠AFx＝，∠BAF＝，三角形ABF是等边三角形，过F作FC垂直于AB于点C，则|CA|＝|BC|＝p＝2，故|AF|＝|AB|＝4.
答案：B
6．[理]已知A、B是抛物线y2＝4x上两点，且·＝0，则原点O到直线AB的最大距离为 (　　)
A．2 B ．3 C．4 D．8
解析：设直线AB的方程为x＝my＋b，代入抛物线方程可得y2－4my－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋b)(my2＋b)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋mb(y1＋y2)＋b2＝(m2＋1)(－4b)＋4m2b＋b2＝b2－4b＝0，解之得b＝4或b＝0(舍去)，即直线AB的方程为x＝my＋4, 原点到直线AB的距离为d＝，当m＝0时，
d最大值＝4.
答案：C
[文]如图，F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于 (　　)
A．6 B．4 C．3 D．2
解析：由F(1,0)且＋＋＝0知F为△ABC的重心，
∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
∴x1＋x2＋x3＝3.
又||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝3＋3＝6.
答案：A
二、填空题
7．(2010·洛阳模拟)过点M(1,0)作直线与抛物线y2＝4x交于A、B两点，则＋＝________.
解析：设直线方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，
∴＋＝＋
＝＝1.
答案：1
8．对于抛物线y2＝2x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．
解析：设抛物线y2＝2x上任意一点Q(，y)，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，若a≤0，显然适合；若a>0，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，即a2≤(a－)2＋y2，即a≤＋1，此时0<a≤1.∴a的取值范围是(－∞，1]．
答案：a≤1
9．连结抛物线x2＝4y的焦点F与点M(1,0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则△OAM的面积为________．
解析：线段FM所在直线方程x＋y＝1与抛物线交于A(x0，y0)，则⇒y0＝3－2或y0＝3＋2(舍去)．
∴S△OAM＝×1×(3－2)＝－.
答案：－
三、解答题
10．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)过点P(2，－4)；
(3)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解：(1)双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，
∴方程为y2＝－12x.
(2)由于P(2，－4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx或x2＝ny.
代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.
(3)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义得5＝|AF|＝|m＋|.
又(－3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
11．(2010·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直线l过定点(2,0)．
12．已知A、B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.
(1)求证：⊥；
(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.
①求证：点N在一条定直线上；
②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，lAB：y＝kx＋4与x2＝4y联立得x2－4kx－16＝0，
Δ＝(－4k)2－4(－16)＝16k2＋64>0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，
(1)证明：·
＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)
＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16
＝(1＋k2)(－16)＋4k(4k)＋16＝0，
∴⊥.
(2)①证明：过点A的切线：
y＝x1(x－x1)＋y1＝x1x－x，①
过点B的切线：y＝x2x－x，②
联立①②得点N(，－4)，
所以点N在定直线y＝－4上．
②∵＝λ，∴(x1，y1－4)＝λ(－x2,4－y2)，
联立
可得k2＝＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，
∴≤k2≤.
直线MN：y＝x＋4在x轴的截距为k，
∴直线MN在x轴上截距的取值范围是
[－，－]∪[，]．