数学必修2第四章知识点小结及典型习题.doc

第四章 圆与方程
一、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合(或点的轨迹)叫圆，
定点为圆心，定长为圆的半径.
二、圆的方程：（标准方程和一般方程）
（一）标准方程：，圆心，半径为
圆的参数方程（还未学习，暂作了解）
，为参数
，为参数
1、求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径
①待定系数法：往往已知圆上三点坐标，例如教材例2
②利用平面几何性质：往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交。
相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线
相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理
2、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）
条件 方程形式
圆心在原点
过原点
圆心在轴上
圆心在轴上
圆心在轴上且过原点
圆心在轴上且过原点
与轴相切
与轴相切
与两坐标轴都相切
（二）圆的一般方程：
1、圆的一般方程的特点：
(1)①和的系数相同，且不等于0．
　 ②没有xy这样的二次项．
(2) 求圆的一般方程采用待定系数法：圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．如教材例4
(3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
2、表示圆方程，则

3、常可用来求有关参数的范围。
4、（1）当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为； （2）当时，表示一个点；
（3）当时，方程不表示任何图形。
例：若方程表示圆，则实数a的取值范是（ ）。
A、 B、 C、 D、
（三）注意求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
三、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系：
1、判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系
点在圆内；点在圆上；点在圆外
2、涉及最值：
（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

、
思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）
例：若点(1，1)在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ）。
A. —1<a<1 B. 0<a<1 C.a<—1或a>1 D.a=±1
四、直线与圆的位置关系的判定及弦长公式：
（一）直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，判断方法如下：
1、设直线，圆，圆心到直线l的距离为，则有
直线与圆相离；直线与圆相切； 直线与圆相交；
这一知识点可以出题：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.
2、设直线，圆，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有
；；
注：如果圆心的位置在原点，可使用公式去解直线与圆相切的问题，其中表示切点坐标，r表示半径。
（二）直线与圆相切
1、知识要点
①基本图形
②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等
问题：直线与圆相切意味着什么？
圆心到直线的距离恰好等于半径
2、常见题型——求过定点的切线方程
（1）切线条数：点在圆外——3条；点在圆上——1条；点在圆内——无
（2）求切线方程的方法及注意点
i）点在圆外
如定点，圆：，[]
第一步：设切线方程
第二步：通过，从而得到切线方程
特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了！
ii）点在圆上
1） 若点在圆上，则切线方程为
会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.
2） 若点在圆上，则切线方程为

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.
由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数。
如：1、过点作圆的切线，求切线方程。（答案：和）
2、经过点P(1，—2)点作圆的切线，则切线方程为
3、经过点P(—4，—8)点作圆的切线，则切线方程为
4、经过点P(1，—2)点且与圆相切的直线方程为
（3）求切线长：利用基本图形，
求切点坐标：利用两个关系列出两个方程
（三）直线与圆相交
1、求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——很常用
弦长公式：（暂作了解，无需掌握）
2、判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.
3、关于点的个数问题
如：1、若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________.答案：
2、已知直线：3x +4y－12=0与圆C：C：(x—3)2 + (y—2)2=4.请选择适当的方法判断直线与圆C的位置关系;若直线与圆C相交，请求出直线被圆C截得的弦长。
解法1：（代数法） 解法2：（几何法）
总结：(1)代数法：设直线与圆的方程连立方程组，消元后所得一元二次方程为，其两个不等实根为，.则其两点弦长为|AB|=。
(2)几何法；设直线：Ax+By+C=0，圆C：，圆心C(a，b)到直线的距离=，弦长|AB|=2。
3、圆的上点到直线x+y—14=0的最大距离和最小距离为
和 。最大距离和最小距离的差为
五、圆与圆的位置关系：
1、判定方法：常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆C1：(x—a1)2+(y—b1)2=r 2，C2：(x—a2)2+(y—b2)2=R 2 (设R>r)
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含； 当时，为同心圆。
注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连接圆心与切点或者连圆心与弦中点
如：已知圆C1：和圆C2：，试判断圆和位置关系，若相交，试求出它们的交点坐标。
2、两圆公共弦所在直线方程
圆：，圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
补充说明：若与相切，则表示其中一条公切线方程；
若与相离，则表示连心线的中垂线方程.
※两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例：已知圆C1：和圆：，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
3、圆系问题
（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）
说明：①上述圆系不包括；②当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（2）过直线与圆交点的圆系方程为
※数学思想方法简介——方程思想与坐标法
直线方程Ax+By+C=0与圆的方程有三个方面的应用：
（1）通过研究直线与圆或圆与圆的方程联立所得的方程组的解的情况来确定直线与圆之间的交点情况，从而判定直线与圆的之间位置关系，圆与圆之间位置关系及求它们的交点坐标。
（2）通过点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离=，并比较d与半径r的大小解决圆与直线的有关性质问题。或圆心距与圆半径的和或差大小的比较，解决圆与圆之间的性质问题。
(3) 利用已知方程，任给一个坐标x的值，就可以求另一个坐标y的值解决实际问题
专项练习：
(1) 过原点且倾斜角为60°的直线被圆截得弦AB长为
(2) 已知一圆上的两点A(2，—3)、B(—2，—5)，且圆心C在直线x—2y—3=0上，求此圆C的方程.
(3) 求以点M(2，—1)为圆心且与直线3x—4y+5=0相切的圆M的方程.
(4) 求圆心在直线3x—y=0上，与x轴相切，且被直线x—y=0截得弦长为2的圆C的方程。
(5) 已知过点M(—3，—3)的直线被圆C：截得弦长为4，求直线的方程。
(6) 求圆心在直线x—y—4=0上，并且经过圆和圆的交点的圆C方程。
(7) 求过点M(3，—1)，且与圆C：相切于N(1，2)的圆C方程.
(8) 求圆心在直线2x+y=0上，并且经过点A(2，—1)，与直线x+y=1相切的圆方程.
(9) 已知圆C与圆：相外切，并且与直线：x+y=0相切于点P(3，—)的圆C的方程.
(10) 已知以点P为圆心的圆经过点A(—1,0)和B(3，4)，线段的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=4.(1)求直线CD的方程。(2)求圆P的方程。
(11) 一条光线从点A(—2，3)射出，经x轴反射后，与圆相切，求反射后的光线所在直线的方程。
(12) 一条光线从点A(—1，1)射出，经x轴反射后，照射到圆C：的一点上，求这条光线由A点入射、反射到圆上的最短路程。
六、空间直角坐标系：
1、空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条 且有 单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做 ，x轴、y轴、z轴叫做 。在画空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。
2、坐标平面：通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为xOy平面、yOz平面、
zOx平面。
3、在空间直角坐标系中，空间一点M的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点M在空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做 坐标，y叫做 坐标，z叫做 坐标.
4、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，让右手大拇指指向为x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
注意：
(1)在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上非原点的坐标有什么特点？
(2)在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上非原点的坐标有什么特点？
5、空间两点间的距离公式:
（1）空间中任意一点到点之间的距离公式：

（2）在空间直角坐标系O-xyz中，设点P(x，y，z)、、，
则：点P到原点O的距离|OP|=
A与B两点间距离公式|AB|=
点A与B的中点坐标公式：
专题例题与练习：
例1. 在空间直角坐标系中，到点M(3，—1，2)，N(0，2，1)距离相等且在y轴上的点的坐标为___________
例2. 与点P(1,3,5)关于原点对称的点是( )
A、(—1，—3，5) B、(1，—3，5) C、(—1，3，—5) D、(—1，—3，—5)
例3. 已知空间两点M(2，3，6)，N(—m，3，—2n)关于xOy平面对称，则m+n=_________
例4. 如图右侧，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，
|BM|=|2MD’|，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN的长．
练习
1．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为(　　)
A．4 B．2 C．4 D．3
例4图

2．在空间直角坐标系中，点P(－5，－2,3)到x轴的距离为(　　)
A．5 B. C. D.
3．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)满足方程(x＋2)2＋(y－1)2＋(z－3)2＝3，
则点P的轨迹是(　　)
A．直线 B．圆 C．球面 D．线段
4．已知点A(－3，1，4)，B(5，－3，－6)，则点B关于点A的对称点C的坐标为________．
5．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为(　　)
A.(，1，1). B.(1，，1). C. (1，1，). D. (，，1).
6．空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为的点有(　　)
A．2个 B．1个 C．0个 D．无数个
7．已知A(1，－2,11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
8．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是(　　)
A. B. C. D.
七、求最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程
1.已知实数，满足方程，求：
（1）的最大值和最小值；——看作斜率；（2）的最小值；——截距（线性规划）
（3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方
2.已知中，，，，点是内切圆上一点，求以，，为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.（数形结合和参数方程两种方法均可！）
3.设为圆上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是____________. 答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）
八、相关应用
1.若直线（，），始终平分圆的周长，则的取值范围是______________.
2.已知圆：，问：是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程，若不存在，说明理由.（提示：或弦长公式。答案：或）
3.已知圆：，点，，设点是圆上的动点，，求的最值及对应的点坐标.
4.已知圆：，直线：（）。（1）证明：不论取什么值，直线与圆均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.
5.若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围.
6.已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.