丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(一)数学理科.doc

丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（一）
数 学（理科） 2011.3
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，那么
(A) 或
(B)
(C) 或
(D)
2．的展开式中常数项是
(A) -160
(B) -20
(C) 20
(D) 160
3．已知平面向量，的夹角为60°，，，则
(A) 2
(B)
(C)
(D)
4．设等差数列的公差≠0，．若是与的等比中项，则
(A) 3或-1
(B) 3或1
(C) 3
(D) 1
5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：
① 若，，则；② 若//，，则m //；
③ 若，，，则；④ 若，，，则．
其中正确命题的序号是
(A) ①③
(B) ①②
(C)③④
(D) ②③
6．已知函数 若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
x
y
O
A
C

(1,1)
B
7．从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为
(A)
(B)
(C)
(D)

8．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点x∈[0，1]称为f的阶周期点．设 则f的阶周期点的个数是
(A) 2n
(B) 2(2n-1)
(C) 2n
(D) 2n2
A
A
x
y
O
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，
点A的纵坐标为，则cosα= ．
10．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方
程为 ，渐近线方程为 ．
C
D
MB
N
O
B
A
P
11．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为 ．
12．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O
于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．
13．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：
花期（天）
11～13
14～16
17～19
20～22
个数
20
40
30
10
则这种卉的平均花期为___天．
14．将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．

16.（本小题共14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．
P
A
B
C
D
Q
M
（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ；
（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 ．

17.（本小题共13分）
某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．
（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；
（Ⅱ）设摸球次数为，求的分布列和数学期望．

18.（本小题共13分）
已知函数，为函数的导函数．
（Ⅰ）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；
（Ⅱ）若函数，求函数的单调区间．

19.（本小题共14分）
已知点，，动点P满足，记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）直线与曲线W交于不同的两点C，D，若存在点，使得成立，求实数m的取值范围．

20.（本小题共13分）
已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）令，存在m个，使得，写出m的值；
（Ⅱ）令，若，求证：；
（Ⅲ）令，若，求所有之和．

丰台区2011年高三年级第二学期数学统一练习（一）
数 学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
C
D
D
B
C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 10．， 11．2
12． 13．16天（15.9天给满分） 14．n2-n+5
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，
由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分
∵ 0<A<π ， （或写成A是三角形内角） ……………………4分
∴． ……………………5分
（Ⅱ） ……………………7分
， ……………………9分
∵ ∴
∴ （没讨论，扣1分） …………………10分
∴当，即时，有最大值是． ……………………11分
又∵， ∴
∴△ABC为等边三角形． ……………………13分
P
A
B
C
D
Q
M

16.（本小题共14分）
证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． ……………………1分
∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M在是棱PC的中点，
∴ MN // PA ……………………2分
∵ MN平面MQB，PA平面MQB，…………………3分
∴ PA // 平面MBQ． ……………………4分
（Ⅱ）∵AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ． ……………………6分
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD， ……………………7分
∴BQ⊥平面PAD． ……………………8分
∵BQ平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分
另证：AD // BC，BC=AD，Q为AD的中点
∴ BC // DQ 且BC= DQ，
∴ 四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD． ……………………6分
∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD． ……………………7分
∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ……………………8分
∵ AD平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD． ……………………9分
（Ⅲ）∵PA=PD，Q为AD的中点， ∴PQ⊥AD．
P
A
B
C
D
Q
M
N
x
y
z
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PQ⊥平面ABCD．……………10分
（不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC的法向量为；
，，，．………11分
设，
则，，
∵，
∴ ， ∴ ……………………12分
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量为． ……………………13分
∵二面角M-BQ-C为30°， ，
∴ ． …………………14分

17.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C． ……1分
则P(A)=，（列式正确，计算错误，扣1分） ………3分
P(B) （列式正确，计算错误，扣1分） ………5分
三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．
P(C)．…7分
（Ⅱ）设摸球的次数为，则． ……8分
， ，
，．（各1分）

故取球次数的分布列为

1
2
3
4

…12分
．(约为2.7) …13分

18.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）∵，
∴． ……………………1分
∵在处切线方程为，
∴， ……………………3分
∴，． （各1分） ……………………5分
（Ⅱ）．
． ……………………7分
①当时，，

0

-
0
+

极小值

的单调递增区间为，单调递减区间为． ……………………9分
②当时，令，得或 ……………………10分
（ⅰ）当，即时，

0

-
0
+
0
-

极小值

极大值

的单调递增区间为，单调递减区间为，；……11分
（ⅱ）当，即时，，
故在单调递减； ……12分
（ⅲ）当，即时，

0

-
0
+
0
-

极小值

极大值

在上单调递增，在，上单调递 ………13分
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（“综上所述”要求一定要写出来）
19.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为的椭圆．……2分
∴，，． ……3分
W的方程是． …………4分
（另解：设坐标1分，列方程1分，得结果2分）
（Ⅱ）设C，D两点坐标分别为、，C，D中点为．
由 得 ． ……6分
所以 …………7分
∴， 从而．
∴斜率． ………9分
又∵， ∴，
∴ 即 …10分
当时，； ……11分
当时，． ……13分
故所求的取范围是． ……14分
（可用判别式法）
20.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）； ………3分
（Ⅱ）证明：令，
∵或1，或1；
当，时，
当，时，
当，时，
当，时，
故
∴

………8分
（Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为
∵的共有个，的共有个．
∴
=
= ……13分
∴=．
法二：根据（Ⅰ）知使的共有个
∴=
=
两式相加得 =

（若用其他方法解题，请酌情给分）
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