第7讲高一第一学期期末复习题——必修2.doc

高一第一学期期末复习题——必修2
一、选择题
1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
①正方形
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥

A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.
2．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【答案】：B【分析】：如图，

3．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，
则球的体积与三棱锥体积之比是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】：D【分析】：如图，

4．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，
且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、
三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥的各棱长为，
则四棱锥的各棱长也为，
于是

5．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

【解析】逐一判除,易得答案(D).
6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
可得该几何体的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积.
从三视图可以看出该几何体是由一个球和
一个圆柱组合而成的，其表面及为
选D.
7．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
解析：本小题主要考查圆与直线相切问题.
设圆心为由已知得选B.
8．已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：化成标准方程 ，过点的最长弦为
最短弦为

9．点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（ ）
A. [0，5] B. [0，10] C. [5，10] D. [5，15]
【试题解析】：根据题意可知点Ｐ在线段上，有线段过原点，故点Ｐ到原点最短距离为零，最远距离为点到原点距离且距离为１０，故选Ｂ；
10．已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点A∈α，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β
【标准答案】：Ｄ【试题解析】：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然，但ＡＣ不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，故不一定垂直；
11．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A． B． C． D．
解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图
设长方体的高宽高分别为，由题意得
，
，，所以
，
当且仅当时取等号.
12.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分
别是三边的中点）得到的几何体如图2，则
该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为（ ）

【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.
二、填空题
1．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
【分析】：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为.
2.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程： .
【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图，由对称性可猜想.
事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程.答案.
3．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _________
【标准答案】：【试题解析】∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径 ∴ ∴球的体积
4．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．
解：令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且
5．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ．
【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为.
B
C
D
A

三、解答题
1． 如图，在直四棱柱中，已知
，．
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，
使平面，并说明理由．
B
C
D
A

（1）证明：在直四棱柱中，
连结， ，四边形是正方形．
．
又，，
平面，平面，
．
平面，且，
平面，
又平面，．
B
C
D
A

M
E
（2）连结，连结，设，
，连结，
平面平面，
要使平面，须使，
又是的中点．是的中点．
又易知，．
即是的中点．
综上所述，当是的中点时，可使平面．
2．如图,在直四棱柱中,已知
,,.
(I)设是的中点,求证: ;
(II)求二面角的余弦值.
解：:(I)连结，则四边形为正方形，，且，
为平行四边形，.

(II) 以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则

设为平面的一个法向量，由得，
取，则.
设为平面的一个法向量，由得，
取,则.
由于该二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦值为
3．如图，为空间四点．在中，．

等边三角形以为轴运动．
（Ⅰ）当平面平面时，求；
（Ⅱ）当转动时，是否总有？
证明你的结论．
解：（Ⅰ）取的中点，连结，
因为是等边三角形，所以．

当平面平面时，
因为平面平面，
所以平面，可知
由已知可得，在中，．
（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：（ⅰ）当在平面内时，因为，
所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．又因，所以．
又为相交直线，所以平面，由平面，得．综上所述，总有．
4．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点
且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．求的取值范围
解： 圆的方程可写成，所以圆心为，过
且斜率为的直线方程为．代入圆方程得，
整理得．直线与圆交于两个不同的点等价于

，
解得，即的取值范围为．
5．如图，在三棱锥中，侧面与侧面
均为等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．
证明：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，
所以，且，
又为等腰三角形，故，
且，从而．
所以为直角三角形，．
又．所以平面．
（Ⅱ）解法一：取中点，连结，
由（Ⅰ）知，得．
为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，故．
所以二面角的余弦值为．
解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，
建立如图的空间直角坐标系．
设，则．
的中点，．

．
故等于
二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为．
6．
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该儿何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
【解析】画出直观图并就该图作必要的说明.
(1) (2)

7．在平面直角坐标系xOy巾，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0．求圆C的方程.
【解析】(1)设圆的方程为
依题意,,
解得,故所求圆的方程为
8．A
B
C
M
P
D
如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
（Ⅰ）证明：在中，由于，，，
所以．故．
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
A
B
C
M
P
D
O
又平面，故平面平面．
（Ⅱ）解：过作交于，
由于平面平面，所以平面．
因此为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形．因此．
在底面四边形中，，，
所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，
此即为梯形的高，所以四边形的面积为．
故．
P
B
E
C
D
F
A
9．如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．
解：（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
因为为的中点，所以．又，因此．
因为平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，所以．
（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．
P
B
E
C
D
F
A
H
O
S
由（Ⅰ）知平面，则为与平面所成的角．
在中，，所以当最短时，最大，
即当时，最大．
此时，
因此．又，所以，所以．
解法一：因为平面，平面，
所以平面平面．过作于，则平面，
过作于，连接，则为二面角的平面角，
在中，，，
又是的中点，在中，，
又，
在中，，即所求二面角的余弦值为．
P
B
E
C
D
F
A
y
z
x
解法二：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以
，
，
所以．
设平面的一法向量为，则因此
取，则，
因为，，，所以平面，
故为平面的一法向量．又，
所以．
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．
10．在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，
求证（I）直线； （II）.
证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点
.
（II）
又，所以
11.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
（1） 求实数的取值范围；
（2） 求圆的方程；
（3） 问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.
【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法.
（1）
（1） 设所求圆的方程为.
令得
又时，从而.
所以圆的方程为.
（3）整理为，过曲线
与的交点，即过定点与.
12．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG.

【试题解析】(1)如图

（２）所求多面体的体积

（３）证明：如图，在长方体中，连接，则∥因为Ｅ，Ｇ分别为中点，所以∥，从而∥，又, 所以∥平面ＥＦＧ
13．已知m∈R，直线l：和圆C：.
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
【试题解析】（１）直线的方程可化为，此时斜率
因为，所以，当且仅当时等号成立
所以，斜率k的取值范围是；
（２）不能.由（１知的方程为，其中；圆Ｃ的圆心为，半径；圆心Ｃ到直线的距离，由，得，即，从而，若与圆Ｃ相交，则圆Ｃ截直线所得的弦所对的圆心角小于，所以不能将圆Ｃ分割成弧长的比值为的两端弧；
14．如图，已知点P在正方体的对角线上，．
A
B
C
D
P

（Ⅰ）求DP与所成角的大小；
（Ⅱ）求DP与平面所成角的大小．
解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
A
B
C
D
P

x
y
z
H
则，．连结，．
在平面中，延长交于．
设，由已知，
由
可得．解得，
所以．
（Ⅰ）因为，
所以．即与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为， 所以．
可得与平面所成的角为．
15.如图5所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，.
（1）求线段PD的长；（2）若，求三棱锥P-ABC的体积.
【解析】（1） BD是圆的直径 又 ,
, ;
(2 ) 在中，
又
底面ABCD

三棱锥的体积为 .
16．F
C
P
G
E
A
B
图5
D
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；
（3）当时，求的面积．

【解析】（1）在中，，
而PD垂直底面ABCD，
,
在中，,即为以为直角的直角三角形.
设点到面的距离为,由有,即
;
(2),而,即,，
,是直角三角形；
（3）时,,
即,
的面积