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第十五章“整式”简介人教版初中数学新课标实验教科书第十五章是“整式”，本章属于全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“数与代数”领域。整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前已经学习了有理数运算、列简单的代数式和一次方程及不等式的基础上引进的。本章共安排了5个小节及两个选学内容，教学时间约需13课时，大体分配如下（既供参考）：151 整式的加减 2课时152 整式的乘法 3课时153 乘法公式 2课时154 整式的除法 2课时155 因式分解 2课时数学活动小结 2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章的主要内容是单项式、多项式、整式的有关概念，合并同类项、添括号法则、整式的四则运算、乘法公式以及因式分解。这些知识是以后学习分式、根式运算以及函数等知识的基础。同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。全章共包括五节：151 整式的加减本节分为2个小节，教科书先讲单项式，后讲多项式，再归纳出整式概念。关于单项式，依次讲了单项式的意义，单项式的系数和次数；关于多项式，依次讲了多项式的意义，多项式的项、常数项，多项式的次数。此后，由学生熟悉的实例出发引出同类项，并在对同一个多项式的各项进行比较的基础上给出合并同类项的概念。在引进合并同类项的基础上，介绍了整式的加减法。152 整式的乘法本节分为4个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数、整式加减等知识的基础上学习的。其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的前提条件，教科书把它们作为本节的预备知识依次安排在前3个小节中。教学时，应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第4小节的开始安排了单项式乘法。我们知道，运用多项式乘法法则进行多项式乘法的关键，是熟练地进行单项式乘法，对此应该予以高度重视。在学生掌握了单项式乘法的基础上，利用分配律等就能进一步引进单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法，这样就使得整式乘法的运算从简到繁，由易到难，层层递进，环环相扣。153 乘法公式本节分为2个小节。乘法公式是在学习整式乘法的基础上得到的，在第1小节的开始，教材以“探究”的形式安排了3个题目，这些题目，按照多项式的乘法法则计算并不困难。通过总结三个题目结果的共同点，我们选取上述形式的多项式乘法并直接写出结果，把它们作为公式，即平方差公式，今后遇到该形式的多项式乘法时，可以直接写出结果。用类似的方式，第2小节引进了乘法的完全平方公式。在引进完全平方公式后，适时引进添括号法则，以满足整式运算的需要。154 整式的除法本节也分为2个小节。同底数幂的除法是学习整式除法的基础，因此教科书在第1小节中首先介绍同底数幂的除法性质。熟练地进行单项式除法是学好多项式除以单项式的关键，在第2小节，教科书根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除法的法则。对于多项式除以单项式，教科书是从计算 来导出运算法则的，根据是乘、除法互为逆运算及分配律。可以看出，法则的基本点是把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，而单项式除法是已经学习并掌握了的。155 因式分解本节的内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法。两种方法分别安排在第1和第2小节。（三）课程学习目标本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：1使学生理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。掌握单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念，明确它们之间的区别与联系；2使学生在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号与添括号。使学生做到在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算；3使学生掌握正整数幂的乘除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。使学生能熟练地运用乘法公式（平方差公式和完全平方公式）进行乘法运算；4使学生会进行整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；5使学生理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，让学生掌握什么是公因式，掌握提公因式（字母的指数是数字）和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。二、本章编写特点（一）强调重要的数学思想方法的渗透根据数与式之间的联系，教材通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律。体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性，强调整式乘法与因式分解是相反方向的变形。在编写在整式乘法法则时，注意“转化”的思想方法。例如，多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，而单项式乘法则“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法。教科书的安排为这种“转化”的思想和方法提供了极大的方便。我们知道，幂的运算性质是整式运算的基础，它们是集中安排的，要打好这基础。而单项式乘法则是整式乘法的关键，它是作为幂的三个运算性质的直接运用安排的，这是通向本章的主要内容之一多项式乘法的“桥梁”，然后依次安排多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘。在整式除法的教学中也要注意“转化”的思想方法。例如，多项式与单项式相除的法则，第一步是“转化”为单项式与单项式相除，第二步则是“转化”为有理数的除法与同底数幂的除法。可以看出，在整式的乘除法的学习中，只有打好基础，才能够熟练地进行后面的运算；只有在熟练运用“转化”方法的前提下，才能够顺利地取得较好的效果。在编写本章教材时，注意了代数与几何之间的联系，在整式乘法和乘法公式部分，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一。（二）充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程从具体的实际问题出发，归纳出相关的数学概念，或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律，这是本章的一个突出特点。密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，这是编写本章时高度重视的一个中心课题。以第152节为例，无论同底数幂相乘、幂的乘方还是积的乘方，都是从几个具体的、简单的题目的运算出发，最后归纳出运算性质。然后，再利用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题。而整式的加、减、乘、除法无不是从具体的问题出发，最后归纳出运算法则，再进一步用于解决实际问题。这种从具体到抽象，再由抽象到具体的编排方式，可以循序渐进地向学生呈现教学内容，有助于学生的理解和掌握，符合现阶段学生的认知水平。三、几个值得关注的问题（一）发挥整式承前启后的作用在小学和七年级，已经学习了用字母代替数，列代数式表示现实世界中简单的数量关系、根据数量关系列方程和解方程，有了这些基本知识，学生已经对整式具有了一定的感性认识。学习整式的有关概念以及运算，都必须以已学过的数学知识为基础，比如整式的乘方离不开实数的乘方，整式的加、减、乘、除运算离不开实数的加、减、乘、除运算法则。整式中的字母表示数，整式的运算都是建立在数的运算的基础之上，在整式运算的教学中要强调运用数的运算律。通过对数与式运算的对比分析，使学生理解认识事物的过程是由特殊（具体）到一般（抽象），又由一般（抽象）到特殊（具体），在不断重复中得到提高，培养学生初步的辨证唯物主义观点。因式分解是本章的重要内容之一，它与前面的整式和后续的分式联系极为密切，而因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。因式分解在解方程和函数变形等方面也经常使用，所以要足够重视。（二）充分发挥学生的积极性和主动性充分信任学生，努力发挥他们的主观能动性，让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。勤于思考，善于思考，是学好数学的先决条件。在本章中，教材安排了大量的“探究”“讨论”和“思考”栏目。通过“探究”栏目让学生体验研究问题，解决问题，最后探求出一般结论的过程，加深学生对问题的理解，使其既知其然，又知其所以然。本章共安排了9个“探究”栏目，许多重要结论或概念都是通过这个栏目归纳和总结出来的。在教学过程中应该尽可能地发挥“探究”栏目应有的作用。通过这个栏目，学生一方面可以体验获得结论的过程，另一方面可以获得成功的喜悦。“讨论”栏目为学生提供一个合作交流、互相启发以及相互促进的机会和平台，通过积极讨论和思想交流，可以拓展思维空间，促进数学思考，加深对问题的认识。例如，在1531节，通过对面积的讨论，可以发现平方差公式与面积之间的内在联系，从而感受到几何与代数之间内在的统一性。再比如，在1542节，通过“讨论”栏目，鼓励学生自觉地在讨论实例的基础上归纳出单项式相除的法则。总之，通过“讨论”栏目，学生可以共同探索，共同发现，共同发展。通过该栏目，学生可以感受到集体智慧的强大力量，进而培养集体意识和团队精神。课程改革的目的之一是促进学习方式的转变，加强学习的主动性和探究性，而“思考”栏目的安排也是为实现上述目标所做的设计之一。通过“思考”栏目，可以强有力地培养学生的创新精神和自学意识。在本章的教学中，要有意识地鼓励学生寻找“富有挑战性”的学习材料，并更多地进行数学活动和相互交流，在探究、讨论、思考的过程中获得知识，培养能力。在本章的“数学活动”和“拓广探索”栏目中都设计了许多探究性的问题，教师应该适当地安排这些问题，鼓励学生积极思维，努力探索，努力提高数学思维水平。（三）把握好教学要求本章要求学生会进行简单的整式的加、减运算，会进行简单的整式乘法（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）运算和除法运算。会推导平方差公式和完全平方公式，并了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算。会用提公因式法和公式法进行因式分解（指数是正整数）。多项式（升幂或降幂）的排列方式，不作为重点，但要适当渗透。整式是代数式中最基本的式子，为避免概念过分集中，本章介绍整式概念时不要求对代数式进行分类，避免过早地出现分式、有理式、无理式等概念。单项式的系数是对式中的字母来说的，有数字系数与字母系数的不同。单项式的次数是式中所有的字母的指数的总和，而且次数仅仅与字母有关。要注意规定为，指数1不写出，切不可把的指数当作0。单独一个非零的数，也是单项式，叫做零次单项式。数0也可看作单项式，它没有任何确定的次数。这些不要讲给学生，以免概念太多，引起学生思维的混乱，反而影响教学效果。教学时，要注意使学生掌握单项式与多项式的关系，重点在于使学生认识多项式是几个单项式的和，每个单项式是该多项式的一个项。各项都应包括它前面的符号，这一点在教学时一定要特别予以强调。添括号法则是在去括号法则的基础上建立的，而去括号法则已经在第一、二章学过。教科书根据第二章中应用去括号法则得到的两个等式，再把它们反过来，分析等式两边对应项的符号变化，得到添括号法则。教学时要向学生指出，应该把添上括号（或去掉括号）与括号前面的符号看成统一体，不能拆开。这对正确地运用法则，熟练地进行计算有很大帮助。要特别地向学生强调，添括号与去括号恰好是互逆的过程，检查添括号是否正确，可以用与去括号检验，反之亦然。本章系统地介绍了幂的运算性质、乘除运算法则以及乘法公式的知识，每个知识的发生过程都叙述得清晰明确。在教学过程中，要以教科书为基础，探讨知识发生的过程，并和学生一起研究如何经过由具体到抽象概括得到性质、法则以及公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法。对于乘法公式，要使学生领会平方差公式和完全平方公式都是有几何意义的。对于因式分解部分，只要求学生会灵活地运用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）两种分解方法，对分组分解法和十字相乘法则不做要求。对于其他因式分解方法，教材只在选学栏目中给出了一种，即型式子的因式分解（十字相乘法），仅供学有余力的同学参考。在教学时可以适时向学生提出几个（应用因式分解）解方程的问题，这样可以使学生感受到学习因式分解的重要意义。（四）把握并突破知识的重点、难点和关键在本章，有较多的知识点属于重点或难点，有的知识点既是重点又是难点，下面分三部分进行具体分析。整式的加减合并同类项是重点，也是难点。合并同类项是整式加减的知识基础，整式的加减主要是通过合并同类项把整式化简。熟练进行合并同类项，必须抓好三个关键环节的教学。首先要使学生掌握同类项的概念，会辨别同类项，准确地掌握判断同类项的两条标准（字母和字母指数）；其次，要明确合并同类项的含义是把多项式中同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，这样多项式就得到了简化；最后，要使学生明确“合并”是指同类项的系数的增加，把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。进行整式的加减，关键是使学生明确整式加减的作用是把整式化简，化简的主要方法是合并多项式中的同类项。整式的乘除这部分内容的重点是整式的乘除法，尤其是其中的乘法公式。从整式乘除的地位和作用可知，如果掌握不好这部分内容，将会给以后的学习带来极大的困难。因此要有针对性地加强练习，务必使学生对整式的乘除运算，特别是其中运用乘法公式进行计算达到熟练的程度。乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握，运用时容易混淆，因此乘法公式的灵活运用是本部分的难点。在教学中要引导学生分析公式的结构特征，并在练习中与所运用公式的结构特征联系起来，对所发生的错误多做具体分析，以加深学生对公式结构特征的理解。添括号（或去括号）时，括号中符号的处理是本部分的另一个难点。添括号（或去括号）是对多项式的变形，要根据添括号（或去括号）发法则进行。掌握法则的关键是把添上括号（或去掉括号）与括号前面的符号看成统一体，不能拆开，学生不易理解这一点，要结合例题分析。学生在学习添括号（或去括号）时，感觉添括号难于去括号，括号前是“”号难于括号前是“+”号。遇到括号前是“”号时，学生容易漏掉括号中一部分项的变号，教师在讲解例题时要强调法则中“各项”的含义。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键。这是因为其他乘除都要“转化”为单项式的乘除。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基石。因式分解因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢牢地掌握。因式分解的理论比较多（如因式分解的因子存在性与唯一性），分解因式的方法很多，变化技巧较高，这是本部分知识的难点，教学时一定要按照教学要求教学，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。（五）利用好选学内容教学中除了要关注学生在数学知识和数学能力方面的提高外，还要考虑在传承数学史知识及数学文化修养方面做出努力，以使学生在获得数学知识的同时人文精神也得到陶冶。本章安排了“阅读与思考”“观察与猜想”两个选学栏目，这些选学内容是本章有关内容的拓展与延伸。不失时机地安排感兴趣的学生阅读这些材料，可以开阔他们的视野，拓展他们的知识面。“阅读与思考”栏目中的“杨辉三角”，不但可以使学生了解一些二项展开式中各项系数规律的知识从而增强他们的数学修养，还可以潜移默化地培养他们的爱国情怀。“观察与猜想”栏目，可以使学生初步感受另一种分解因式的方法十字相乘法，这对于促进学生理解必修内容是不无裨益的。1511整式教学目标1使学生理解、掌握单项式的有关概念，能准确地说出给定单项式的系数和次数；2初步培养学生的观察分析和归纳概括能力，使学生初步认识特殊与一般的辩证关系教学重点和难点重点：单项式的定义；单项式的系数和次数难点：单项式的系数和次数课堂教学过程设计一、提出问题，引入“单项式”概念1列出代数式(1)若用x表示正方形的边长，则正方形的周长为_，面积为_(2)若长方形的长、宽分别是a，b，则它的面积为_.(3)若用n表示一个有理数，则它的相反数为_答案：(1)4x，x2； (2)ab； (3)-n.2提出问题：以上几个代数式有什么共同特征？引导学生对上述几个代数式进行观察、分析，让他们自己得出以下结论：4x这个代数式表示的是数字4与字母x的乘积；x2表示的是字母x与x的乘积；ab表示的是字母a与b的乘积；-n表示的是-1与n的乘积，也就是说，上面几个代数式的共同特点是：都表示数与字母的积在学生回答的基础上，教师进行总结：这就是我们今天所要学习的一种最简单的代数式单项式二、新知识的学习1单项式的定义：表示数字与字母积的代数式，叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式此定义前半部分由学生总结，后半部分由教师补充练习 指出下列代数式中，哪些是单项式：此练习让学生回答，通过此练习，一方面巩固刚刚学过的单项式定义，另一方面是让学生逐步学习如何应用定义去判断“是”或“不是”2单项式的系数分别是几？待学生逐一弄清以上几个单项式的数字因数后，教师指出“这些数字因数称为单项式的系数”然后，让学生自己说出什么叫单项式的系数定义：单项式中的数字因数，叫作单项式的系数练习 指出以下单项式的系数：在学生回答的基础上，教师指出，单项式的数字因数即为“系数”，要特别注意“系数”必须包括前面的“+”或“-”号，另外，当系数是“1”时，通常省略不写；系数是“-1”时，只写“-”就可以了3单项式的次数一下这个单项式中的字母因数，有x3，y2，z.x，y，z的指数分别是3，2，1，称这几个数的和6为这个单项式的次数定义：一个单项式中，所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数练习 指出下列单项式的次数：在此练习中，通过具体的单项式，使学生对定义中的“所有”、“指数的和”等关键词语引起注意本练习答案：2，2，4，4，6.三、进一步巩固新知识1填表学生填，对答案(1) 3xy； (2)0.25xy2四、小结1今天这节课我们学习了哪一类代数式？(单项式)关于单项式，我们又学习了什么？(定义、系数、次数)2在单项式的定义中，提到了“单独一个数，也叫单项式”，也就是说，以前我们所学过的有理数，都属于单项式，可见，有理数是特殊的单项式五、作业1下列代数式中，哪些是单项式？填在单项式集合中：3填表课堂教学设计说明1本节属于概念教学课，在设计时，力图体现概念形成的过程，即首先给学生以感性材料，让他们观察、比较、分析，找出材料中个体的共同特点，最后进行归纳、抽象概括单项式这一概念的教学设计即是如此这符合教学大纲中“加强知识形成过程教学”的要求，而且也在培养学生的数学能力2整个教学过程的设计遵照了“坚持启发式，反对注入式”的原则课上，凡是经学生努力能自己得出的结论都由学生自己完成，这也体现了教师对于学生主体地位的尊重1512同类项(一)教学目标1使学生理解、掌握同类项的定义；掌握合并同类项的法则；2会根据定义识别同类项；会正确地合并同类项；3通过“同类项”概念的学习，继续培养学生运用定义进行判断的能力；通过“合并同类项”的学习，继续培养学生的运算能力教学重点和难点重点：同类项的定义；合并同类项难点：识别同类项；合并同类项课堂教学过程设计一、复习旧知识，引出新知识1练习 下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，并指出单项式的系数、次数和多项式的次数：2在学生回答的基础上，接着提问： 6a3-2a2+3a-2a+1这个多项式，能否再化简一些呢？让学生思考、回答，待学生答出原式可化成6a3-2a2+a+1后，教师接着问：“为什么可以将3a-2a合并成a，根据是什么”？估计学生会说“3个a减去2个a，不还剩一个a吗？”这是通俗的解释，若用数学语言解释，是3a-2a=(3-2)a=a，根据的是分配律再看下面两个等式成立与否：(1)2x2y+x2y=3x2y；(2)3a2-2a=a从而，引出“同类项”概念二、新知识的学习1同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项几个常数项也是同类项此定义是在学生讨论的基础上，由一名学生进行总结，教师与其他学生进行修改、补充后得到的。练习1 判断下列各组中的两项是不是同类项，并说明为什么？(1) 0.2x2y与0.2xy2； (2)4abc与4ac； (3)mn与-mn；此题找学生回答，不仅仅要回答“是”或“不是”，更要说清楚“为什么”，通过“为什么”的回答，强调“几个单项式要是同类项，必须同时满足定义中的两条，缺一不可”，进一步培养学生运用定义进行判断的方法，即“是”，就要满足定义，“不是”，只要违反定义中的某一条通过回答，也可训练学生的口头表达能力做完练习后，回到同类项定义，强调同类项的两条特征：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数也分别相同，两条缺一不可练习2 画出下列多项式中的同类项：(1)5x2y-y2-x-1+x2y+2x-9； (2)4ab-7a2b2-8ab2+5a2b2-9ab+a2b2画的时候，要连同前面的符号一起画2合并同类项引导学生回到上课伊始时的几个小题上3a-2a=a，2x2y+x2y=3x2y，提出以下问题：什么叫合并同类项？合并同类项实际上是合并什么？字母和字母的指数有何变化？(1)定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项(2)方法：系数相加，作为结果的系数，字母和字母的指数不变例1 合并同类项；解：(1)3x3+x3=(3+1)x3=4x3；(3)-4a3b2+4a3b2=(-4+4)a3b2=0说明：(1)做此题时，首先还是让学生再次确认一遍每题所给的两项是同类项，而后指出每一项的系数(2)若两个同类项的系数互为相反数，则结果为0(3)在做此题的过程中，让学生一直出声反复叨念合并同类项的法则例2 先找出下列多项式中的同类项，然后合并同类项：(1)4x2-8x+5-3x2+6x-2；(2)4a2+3b2+2ab-4a2-3b2分析：由于本节课刚开始学合并同类项，所以做这类计算时过程要比较详细，可分为以下几步完成：(1)标出同类项；(2)将同类项写在一起；(3)合并同类项解：(1) 4x2-8x+5-3x2+6x-2=(4x2-3x2)+(-8x+6x)+(5-2)=x2-2x+3；(2) 4a2+3b2+2ab-4a2-3b2=(4a2-4a2)+(3b2-3b2)+2ab=2ab三、小结1这节课，我们学习了“同类项”的概念，还学习了“合并同类项”大家回忆一下，同类项的特征是什么？合并同类项的法则是什么？2上节课，我们曾学习了多项式的升幂和降幂排列，通过重新排列，多项式从外形上看更有秩序了，用起来也将更方便，这是对多项式的一种“恒等变形”今天，我们又学习了合并同类项，通过合并同类项，可将多项式化简，这也属于多项式的“恒等变形”关于“恒等变形”的问题，以后我们还将继续学习四、作业1下列各题中的两个项是不是同类项？(1)3x2y与-3x2y； (2)0.2a2b与0.2ab2； (3)11abc与9bc；(4)3m2n3与-n3m2； (5)4xy2z与4x2yz； (6)62与x22下列各题合并同类项的结果对不对？不对的，指出错在哪里(1)3a+2b=5ab； (2)5y2-2y2=3； (3)4x2y-5y2x=-x2y；(4)a+a=2a； (5)7ab-7ba=0； (6)3x2+2x3=5x53合并下列各式中的同类项：(1)15x+4x-10x； (2)-6ab+ba+8ab； (3)-p2-p2-p2；课堂教学设计说明1对同类项概念引入的设计说明本设计的第一部分，通过讨论多项式6a3-2a2+3a-2a+1能否化简作为出发点，而后再进一步分析能合并的两个单项式形式上的特点，从而引出同类项概念这样的设计，目的是在学习伊始，就直奔学习同类项这个知识的主题，暗含着点明了学习的目的合并同类项，从而化简多项式，为后面的学习打下了伏笔2对同类项定义的教学设计的说明在总结出同类项定义后，没有按通常的做法，即直接分析定义中的两个条件，强调两个条件缺一不可，而是通过一组练习，让学生在具体问题中体会定义中的两个条件缺一不可，使他们先有较强烈的感性认识，而后，分析定义中的两个条件，这样会给学生留下更深刻、更牢固的印象这样的设计既符合学生的年龄特征，也符合“从感性到理性、从具体到抽象”的认识规律，也体现了“学生先画龙、教师再点睛”的设计原则3对合并同类项的设计说明，在做例1的过程中，让学生一直出声反复叨念合并同类项的法则这样做的目的是，学生通过这种行为，使法则在头脑中反复建构，从而尽快内化为他们自己的认知结构 1512同类项(二)教学目标1使学生进一步掌握合并同类项的运算，能运用合并同类项化简多项式，并根据所给字母的值，求多项式的值2通过合并某些特殊的“同类项”，初步学习“换元”的数学方法教学重点和难点重点：合并同类项课堂教学过程设计一、复习1找学生口答同类项定义、合并同类项的方法2练习 合并同类项，并将结果按x的降幂排列(2)-5x2y+2xyz-x2y-xyz-x2y2；(3)0.1x3+0.01x2+0.11x3+0.2x+0.3x2通过此题，一方面强调有理数的加减运算，一方面强调合并同类项的法则今天，我们继续学习合并同类项二、新课1求多项式的值例1 求下列多项式的值：分析：多项式求值分为两步，第一步是通过合并同类项化简多项式，第二步是代入求值第(1)小题教师示范，第(2)小题学生自己写解：(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2=-x-2，=abc，说明 在解多项式求值的题目时，要按黑板上所示范的格式去写练习 求下列多项式的值：(1)3a+2b-5a-b，其中a=-2， b=1；(2)5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x，其中x=-3；(3)3x-4x2+7-3x+2x2+1，其中x=2；2合并某些“特殊”的同类项例2 化简分析：引导学生观察这个代数式的特点，从而得出将(x+y)、(x-y)分别看成一个整体的结论，因此，可以应用合并同类项的方法进行化简练习 化简下列各式：(1)4(a+b)+2(a+b)-7(a+b)；(2)3(x-y)2-7(x-y)+8(x-y)2+6(x-y)三、小结1请同学们回忆一下，求多项式的值分为哪几步？2在例2中，我们将某些代数式看成一个整体，这样就使得形式复杂的式子变得简单，计算起来也容易多了，这种方法叫“换元”，它是数学中的一种重要的思想方法，我们在以后的学习中还会经常遇到四、作业1求下列各式的值：(1)3c2-8c+2c3-13c2+2c-2c3+3，其中c=-4；(2)3y4-6x3y-4y4+2yx3，其中x=-2，y=32求下列各式的值：3有这样一道题：“当a=0.35，b=-0.28时，求多项式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3的值”有一位同学说。题目中给出的条件a=0.35，b=-0.28是多余的，他的说法有没有道理？复习课教学目的1通过对整式这一单元的基础知识的系统复习，使学生加深理解有关的基础知识2培养学生分析问题和解决问题的能力教学过程1提出复习提纲(1)什么叫做代数式？什么叫做代数式的值？各举例说明(2)什么叫做单项式？什么叫做多项式？什么叫做整式？各举例说明(3)代数式、单项式、多项式、整式之间有什么关系？举例说明(4)单项式和多项式都是代数式吗？都是整式吗？(5)什么叫做系数？什么叫做单项式的次数？各举例说明(6)什么叫做多项式的项数？什么叫做多项式的次数？各举例说明2练习(1)下列单项式的系数各是多少？(2)单项式的次数是怎样计算的？上面第(1)题中的单项式的次数各是多少？(3)下列多项式各是几项式，分别写出各多项式的项4x2-3；a3+a2b+ab2+b3；a4+b4-2a2b2； -x3+y5(4)多项式的次数是怎样确定的？上面第(3)题中的多项式各是几次多项式？(5)(填空)下列多项式各是几次几项式？3x3-4； ( )3x2-2x+8； ( )x+3； ( )x4-y4-4 ( )(6)把下列多项式x的降幂排列，再按x的升幂排列13x-4x2-2x3-6； x2-y2-2xy；3x2y-3xy2+y3-x3； ax2-cx+bx2(7)计算下列各多项式的值x2+2xy+y2，其中x=-2，y=2；xy-3+y-x3，其中x=3，y=-2小结在今后的计算中，经常要遇到求代数式的值在求代数式的值的过程中，要先代入，后计算，特别要注意，代数式中有几个字母，用数值分别代入课堂测验(20分钟，共100分)1单项式-x2y的系数是_，次数是_多项式1-4x2+9x是_次_项式，它由这样几项组成_，按x的降幂排列应写为_2当x=-2，y=3时，下面四个代数式中，值相等的代数式是 (1)|x|+2|y|； (2)|x+2y|；(3)|x-2y|； (4)x3-4x+3y-1A(1)和(2) B仅是(1)和(3)C仅是(3)和(4) D(1)、(3)和(4)4两个圆的直径和为20厘米，用一个字母的代数式表示这两个圆的面积之和作业1指出下列各单项式里的系数和次数各是多少2指出下列多项式的项数和次数：x2+y-1 3x-4a2+2ab+b2 x3+y3+3x2y+3xy23当x=2，y=-4时，求下列代数式的值：4灌溉渠里水流的横断面是梯形，水面宽a米，渠底宽b米，水深是h米，设水流的速度为u米秒，计算当a=1.2，b=0.8，h=0.6，u=0.4时，每秒种流过断面的水是多少立方米5把下列各式先按x的升幂排列，再按x的降幂排列：(1)3x3y-y4+5xy3-x4；(2)xn-3-xn+2+0.7xn-1+13xn6代数式10-(x+y)2的最大值是多少？当取最大值时，x与y是什么关系？7代数式(x-y)2-3的最小值是多少？当取最小值时，x与y是什么关系？1521 同底数幂的乘法(一)教学目标1使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的运算性质(或称法则)，进行基本运算；2在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力教学重点和难点幂的运算性质课堂教学过程设计一、运用实例 导入新课引例 一个长方形鱼池的长比宽多2米，如果鱼池的长和宽分别增加3米，那么这个鱼池的面积将增加39平方米，问这个鱼池原来的长和宽各是多少米？学生解答，教师巡视，然后提问：这个问题我们可以通过列方程求解，同学们在什么地方有问题？要解方程(x+3)(x+5)=x(x+ 2)+39必须将(x+3)(x+ 5)、x(x+2)展开，然后才能通过合并同类项对方程进行整理，这里需要要用到整式的乘法(写出课题：第七章 整式的乘除)本章共有三个单元，整式的乘法、乘法公式、整式的除法这与前面学过的整式的加减法一起，称为整式的四则运算学习这些知识，可将复杂的式子化简，为解更复杂的方程和解其它问题做好准备为了学习整式的乘法，首先必须学习幂的运算性质(板书课题：71 同底数幂的乘法)在此我们先复习乘方、幂的意义二、复习提问1乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫乘方，即2指出下列各式的底数与指数：(1)34； (2)a3； (3)(a+b)2； (4)(-2)3； (5)-23其中，(-2)3 与- 23 的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4 与- 24 呢？三、讲授新课1利用乘方的意义，提问学生，引出法则计算103102解：103102=(101010)+(1010)(幂的意义)=1010101010(乘法的结合律)=1052引导学生建立幂的运算法则将上题中的底数改为a，则有a3a2(aaa)(aa)aaaaaa5，即a3a2=a5=a3+2用字母m，n表示正整数，则有=am+n，即aman=am+n3引导学生剖析法则(1)等号左边是什么运算？(2)等号两边的底数有什么关系？(3)等号两边的指数有什么关系？(4)公式中的底数a可以表示什么？(5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？要求学生叙述这个法则，并强调幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加四、应用举例 变式练习例1 计算：(1)107104； (2)x2x5解：(1)107104=107+4=1011；(2)x2x5=x2+5