全国高中数学联赛实施细则.doc

全国高中数学联赛实施细则
一、 竞赛内容和方式
　　1、 联赛分第一试和第二试。
　　2、 第一试的内容不超出现行高中数学教学大纲，其中包括六道选择题、六道填空题和三道解答题，难度维持在高考中高档试题的水平，能力要求略有提高。
　　3、 第二试共有三道题。其中一道平面几何题、一道代数或数论题、一道组合题。内容以竞赛大纲为准。
二、 时间
　　1、 全国高中数学联赛的举办时间确定在每年10月中旬的第一个星期日上午。
　　2、 各省级赛区应严格遵照全国高中数学联赛组织委员会发出的通知，在规定时间内将报名人数上报承办单位，将一等奖试卷寄送承办单位复评。
　　不按照规定时间上报或寄送的。承办单位有权不再受理。
三、 报名
　　1、 由省级赛区按照全国高中数学联赛组织委员会的通知组织报名。
　　2、 省级赛区应向参赛学生公布与联赛有关的文件，让学生自愿报名，不得摊派。
　　3、 报名表至少应包括“学生姓名、性别、考号、年级、所在学校”，如果需要，还可包括“辅导教师”。
四、 命题
　　1、 命题工作分四步进行。第一步，征集试题；第二步，承办单位建立命题委员会，写出试卷初稿；第三步，初稿寄送中国数学会普及工作委员会高中命题的有关负责人，征求意见；第四步，由承办单位组织有主办单位相关负责人参加的命题会议，确定正式试卷、标准答案与评分标准。
　　2、 上一届和下一届的承办单位指派专人列席参加当年的命题会议，以便上下传承，吸取经验。
六、 赛场
　　1、 对参赛考场具体要求应参照高考考试办法中的相关规定执行。
　　2、 考试开始前监考老师需向参赛学生宣布竞赛时间与纪律。
　　3、 各考点负责人于考前10分钟将试卷发到考场，由考场监考教师在开始考前5分钟当众拆封。
　　4、 竞赛时间不得自行增减。试题内容不得更改。
　　5、 考试结束后由监考教师当场立即将答题纸和试卷装订加封，填写考场记录并签名,交至考点负责人，再由考点负责人集中送至各省级赛区负责人统一阅卷。
　　6、 各考场需准备装订所需的打孔器和线绳等工具。
　　7、 为防备破损等意外情况，每处考点需额外准备3％的机动试卷，由各考点负责人集中掌握，考试结束后随学生试卷一起送交各省负责人。
　　8、 竞赛试卷分发与拆封均需签名存档。

七、标准答案和评分标准
　　1、 由全国高中数学联赛组织委员会办公室在竞赛当天上午11：30开始通过E-mail或传真电话发至各省赛区负责人。
　　2、 各省级赛区负责人应提前上报接受标准答案的E-mail地址或传真电话的号码。

八、评卷
　　1、 阅卷工作必须以省为单位统一进行，由各省、市、自治区联赛负责人组织评卷。
　　2、 评卷开始前由竞赛负责人当众拆封应答试卷、空白试卷与标准答案，在组织评卷教师讨论试题和标准答案后统一评分标准。
　　3、 评卷一律使用红笔阅卷，应采取流水作业，试卷密封部分不得拆解。初评后须再经复查，然后加出总分后方可启封，按参赛学生编号、赛场、姓名与在学学校登录成绩花名册备案。
　　4、 启封后的成绩必须如实登录，不得变动。在特殊情况下，如发现阅卷错误，需要更动者，必须由省级赛区负责人、省数学会负责人、省教研室数学组负责人三人签字，并上报省科协青少年部负责人签字认可，方可变动。否则，按省级赛区负责人违规处理。

九、评奖
　　1、 竞赛的成绩判定方法、得奖标准及人数由主办单位确定。
　　2、 初评联赛一等奖获得者试卷应由省级赛区负责人寄送承办单位复评并认定。
　　3、 承办单位须组织专门班子对各赛区送来的初评一等奖获得者试卷进行复评。如需变动成绩，应先提出变动意见，经中国数学会普及工作委员会负责人复审认可后，再作变动。
　　4、 一等奖获奖名单经复评后，上报联赛主管单位（中国科协青少年部），并予以公布。二等奖获奖名单由省级赛区自行确定。
　　5、 联赛一等奖证书由主管单位统一设计和印制并由主管单位和主办单位职能机构共同颁发。联赛二等奖证书由主办单位统一设计、由承办单位印制和颁发。

十、冬令营营员资格认定
　　1、 只有在校学生才可能取得营员资格。
　　2、 联赛承办单位和主办单位对一等奖试卷复评后，由主办单位（中国数学会普及工作委员会）有关负责人和高中数学联赛组织委员会制订当年冬令营营员资格认定标准，并向各省级赛区公示。
　　3、 由主办单位和高中数学联赛组织委员会根据标准确定营员名单，由组织委员会通知各省级赛区。

高中数学竞赛大纲
一试
　　考试时间为每年10月中旬的第一个星期日上午8：00~9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分100分。其中填空题8道，每题7分；解答题3道，分别为14分、15分、15分。
　　（旧规则为时间100分钟，选择题6分/题×6道，填空题9分/题×6道，解答题20分/道×3道，共计150分。）
　　二试
　　考试时间为当日上午9：40~12：10，共150分钟。试题为四道解答题，每题50分，满分200分。包括平面几何，代数，数论，组合数学各一道。
　　（旧规则为时间120分钟，试题为3道解答题，每题50分，其中必有一道平面几何，另两道题从其余三项中任意出两道。）
　　考试范围
　　一试
　　全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
　　二试
　　1、平面几何
　　基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
　　补充要求：面积和面积方法。
　　几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
　　几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
　　几何不等式。
　　简单的等周问题。了解下述定理：
　　在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
　　在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
　　在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
　　在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
　　几何中的运动：反射、平移、旋转。
　　复数方法、向量方法。
　　平面凸集、凸包及应用。
　　2、代数
　　在一试大纲的基础上另外要求的内容：
　　周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
　　三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
　　第二数学归纳法。
　　递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
　　函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。
　　n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
　　复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
　　圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
　　一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
　　简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
　　3、立体几何
　　多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
　　正多面体，欧拉定理。
　　体积证法。
　　截面，会作截面、表面展开图。
　　4、平面解析几何
　　直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
　　二元一次不等式表示的区域。
　　三角形的面积公式。
　　圆锥曲线的切线和法线。
　　圆的幂和根轴。
　　5、其它
　　抽屉原理。
　　容斥原理。
　　极端原理。
　　集合的划分。
　　覆盖。
　　梅涅劳斯定理 托勒密定理
　　西姆松线的存在性及性质
　　赛瓦定理及其逆定理。
如何正确看待高中奥数
  奥数是一项有70多年历史的国际数学赛事，作为高级思维训练体操，对训练青少年思维具有重要作用。但与升学相挂钩的“全民运动”，使奥数学习变味异化。对此我们应当持科学态度，既不把它视为洪水猛兽，也不能过分夸大其功能。
　　奥数，体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性，以开放、创新的思维模式，为学有余力、学有兴趣、学有特长的学生提供了一个展示数学才能的舞台。通过这样高水平的比赛，可以及早发现数学人才。其意义至少表现在四个方面：一是激发学生对数学学习的兴趣，体验到学习数学的意义和快乐；二是训练学生良好的数学思维习惯和思维品质，提高学生的思维水平；三是锻炼学生优良的意志品质，培养学生持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气；四是培养学生扎实的数学基本功，给予学生发挥创新精神和创造力的最大空间，培养学生举一反三、灵活运用的能力，鼓励学生求异思维。
　　但也应看到，奥数的出题范围超出了所有国家的学校常规教育水平，难度大大超过大学入学考试，有些题目即使是数学家也感棘手。因此，奥数学习显然不适合所有的学生。普通人似乎都能感觉到“疯狂奥数”背后的荒谬，一些逼迫孩子学奥数的家长也承认这么做只是在“随波逐流”，甚至一些从中得益的奥数教师也自曝所谓奥数能开发智力的说法是“一个美丽的谎言”，但家长为什么依然趋之若鹜？一个孩子倘若能够自觉地加入到奥数学习的团队之中，哪怕谈不上什么培养创新能力之类，也还不至于怎么受“摧残”，为什么关于奥数弊端的指责沸沸扬扬？ 
　　奥数真正变得不可忍受，是因为它“跑偏”了：把奥数成绩与升学挂起钩来。奥数的功利性和工具性就完全压倒了它作为智能游戏的那一面，其声誉也随之被败坏。奥数教育形成了一个浮躁而又浮夸的市场，家长们的心也被奥数与升学之间建立起来的可能性搅乱了。在这片充满了利益博弈的场所，奥数还能保留几分智力探究的纯粹？学习奥数者还能保留几分自觉投入的兴趣？
　　学习奥数本身不是坏事，学成学不成也没有多大关系，至少它可以帮助发掘一部分儿童的特殊智力和数学兴趣。在这个意义上，不应当不分青红皂白地把奥数妖魔化，也不应把洗澡水和孩子一起倒掉。
　　奥数的“跑偏”不是其自身的过错。为什么在国外就没有这种受宠得意，也没有现在这样受到媒体的口诛笔伐？这是因为学校和社会有意无意地片面扩大了奥数的功能，把奥数成绩作为评价智力、筛选人才和分配优质教育资源的主要工具，进而引起了全民总动员式的追风，正所谓“楚王好细腰，宫中多饿死”。
　　因此，要科学认识奥数功能的有效性和局限性，在制度层面进行科学设计，让奥数成绩与小升初脱钩，取消中考和高考中的奥数加分规定，支持它作为发展学生数学兴趣爱好的存在，把它作为培养数学人才的教育实验来看待。（来源于人民日报）

高中数学竞赛赛前建议
    参加全国联赛的学生大多都有较强的虚荣心，为此我建议大家做到以下几点：

高中数学联赛平面几何试题
   一、研究数学竞赛大纲 
    对数学竞赛大纲的研究能够把握数学竞赛的命题方向。也能够把握试题的难度，也能够寻找到做题的途径。
 二、研究近几年的联赛试题 明确联赛几何的命题规律
  01年：根轴  02年  托勒密定理   03年  塞瓦定理  04年  图形的基本计算  05年  三角形的“五心”
06年  平面图形与圆锥曲线的结合  07年  三角形的垂线的充要条件  08年 托勒密定理 和图形的简单计算
我们可以看到联赛试题比较基础，难度不太高。但做题方法比较灵活。大家可以有针对性的研究考题。注重近几年试题的特征。同时看一看中等数学联赛试题的另解，很有好处。
 三、关注几何专著
 陕西师大的罗增儒教授多次为联赛命制几何题，他也出了几何书，研究研究有好处。
另外，安庆黄全福老师也多次命了联赛试题。比如：2000年是改编而来的。广州的吴伟朝老师也是比较有名的命题专家。看一看我想对解题的思维有帮助。
四、坚持做题，保持状态
大赛之前需要有好的状态才能在考场上把联赛的试题解答出来。因为几何试题思路比较特别。短时间内难以突破。建议大家现在开始关注。适度训练，很有启发性。
2009年全国高中数学联赛命题思路
  一试时间只有80分钟，11道试题（8道填空题和3道解答题），较以前减少了4道试题（以前15道题，6道填空，6道选择，3道解答题），题型结构有很大变化，没有选择题，增加了填空题的数量。今年是改革的第一年，一试时间之短，11道试题，分值100分，我想有如下之特点：
1、填空题8道之中，应该是6道基础题，2道中等题，分布可能为：基本不等式，函数，三角，立体几何，简单的组合，整数讨论（简单的数论），圆锥曲线等知识，估计命题者重视模型的建立和恒等的变形，考察数学的基本功。这些属于基础题，同时也是体现学生竞赛能力的综合素质。复习的建议：看一看近几年的国外竞赛试题，特别是符合我国高中教材的内容。同时看一看95年、96年、97年、02年、03年、04年等填空题，很有好处，同时提醒大家注意，98年的第4题来源于中等数学的训练题。
 2、解答题3道，44分，2道为高考难度的试题，其中一道可能为集合函数综合题，在考察里面引入导数，应该不会涉及特殊的变形技巧，计算量也不会太大，另一道可能为三角、复数、立体几何、不等式（可能性不太大）、也可能为数列题。此题难度不会很大。第三道应该为轨迹问题，可能会涉及不等式，数论等相关知识。当然也不排除有概率的试题。比如2004年试题。不会出现97年的复数问题，太难了，复习的建议：看一看96年、98年、01年、05年、06年的试题，重点还须注意答案的排版。重点得分步骤一定要体现出来。
二试试题为4道200分，时间为150分钟，较以前时间有所延长，题量增加，可想到试题难度有所加大，也是为了为冬令营的选拔作准配。
1、题型：涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面与国际竞赛接轨。也不尽然就是四个方面的内容各占一道题，有时候是主试委员会在已有的试题中选择技巧性大的优秀试题，比如：98年为一道几何题，一道不等式题，一道数列数论综合题，没有组合题。再如08年一道几何题，两道数列综合题，也没有组合题。另外，如近三年试题也有一定的延续性，如97年二试第二题实质上是一道不等式的讨论题，98年是一道利用不等式基本性质证明题,99年的第三题实质上是利用调整法的不等式题。
2、平面几何：任然继承过去的方式，试题不会太难。基本定理的运用02年、03年、08年托勒密定理的考察。04年为基础的运用属于简单计算题，05年为内心和旁心的定义的考察。比如95年证明两线平行，在命题组看来是一道非常简单的题目，考后调查发现得分率极低，现在来看几何题不会很难，也有一定的区分度。复习建议：一、记住基本定理的内容和成立的条件，二、基本辅助线的形成意识，三、课本基本结论的运用。四、考前的状态的形成，每天坚持做几个不太熟悉的简单几何题。
3、代数：可以说是今年新增的内容，也是参赛着决定成绩好与坏的一道关键试题。命题形式可能为：概率类，函数类，三角类，高斯函数，数列等，
4、数论：不会太难，解不等式或者讨论不定方程的整数解问题。关键是掌握方法，探寻解题的突破口，不会太难。
5、组合：可能为与数列，不等式，高斯，操作性问题方法的探寻。
   一份好的试题应该是高质量的试卷，主要特点是：1、立足基础，也就是符合高中竞赛大纲，2、是否有新意，在中学知识范围内，创造出新型优美的试题，构思精巧，不超纲，力求新。今年是黑龙江省命题，也是实行新的方案的第一年，我们都期待一定能命出高质量的试题来。

2009年全国高中数学联赛评点（一）
　　众所周知，今年的全国高中数学联赛在试卷格局上进行了较大的调整，一试由原先的150分变成了100分，而二试从原先的150分变成200分，题型，分值，难度也进行了相应的调整。上半年，我对今年联赛的趋势作了一个简要的预测，昨天刚刚结束的联赛大致与我初期的预测相符，下面就昨天的联赛作一个点评，希望对在联赛上准备有所建树的同学提供一些帮助。
　　简单来说，今年联赛的特点是一试和二试风格差异较大，一试更为朴实地接近了高考，而二试的选拔性得到了较大的提升。因此造成的影响是一试对于高考练兵的作用更贴切，而想通过联赛获得加分或者保送的难度加大，如果没有经过竞赛的系统培训，想在二试中取得好成绩的难度大大增加。
　　首先来说一试，一试的题型和考点分布如下：
　　填空题：共8题，每题7分，总分56分。

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
考点
函数
解几
函数
不等式
解几
函数
数列
概率

　　解答题：共三题，分数分别为14，15，15，总分44分。

题号
1
2
3
考点
解析几何
数列
函数，不等式

　　从考点分布上来看，一试的知识点比例与高考极为接近，函数占据了30%-40%，高考的重点和难点：数列，不等式，解析几何占据了其他的几乎所有题。从这里可以看出，联赛一试的准备和高考的准备并无矛盾之处，甚至在一定程度上可以促进对于高考的复习。可以这么说，如果平时数学基本功掌控非常好的学生，哪怕没有经过系统的竞赛培训，也应该可以解决出绝大多数问题。从这个角度来说，我们的高中学生对于联赛不应该有畏惧的心理，不应该觉得联赛高不可攀，完全可以将准备联赛看作一种阶段性的练兵，培养自己在短时间的压力下解决高考压轴难度题目的能力，这样的模拟场景是不可多得的。
　　另外一个值得说明的问题便是，之前在一试中一直占据一个题目的立体几何，在这次考试中没有出现，个人预测并非联赛改革的趋势，很有可能是知识点在本次联赛中的取舍，并不能因此而忽视立体几何的学习。
　　下面对分析几个具体的题目。
　　填空题的2，3，7，8在高考中大致处于中档题的难度，凭借一般的高中知识可以轻松解决。
　　第一题是一个函数迭代的问题，只要能找到在一层迭代中的规律，即可解决。
　　第四题是一个不等式问题，不等式问题在高考中很少单独考察，这道问题着眼于趋势的变化，发现这个数列的单调递减，问题也就迎刃而解了。
　　第五题通过解析几何的面目，考察的是基本的运算能力，系数经过一般的代数运算即可得到正确解答。
　　第六题需要细心，分类讨论考虑清楚所有的情况即可，但具体操作时容易忽略一些情况。
　　解答题的第一题是一个相对于高考层次较为复杂的解析几何问题，但是其解决的思想和方法没有本质性的技巧，对计算的要求较高。
　　解答题的第二题其实是本次考试中比较丢人的一个题目，用的是2008年全国高考广东理科卷的最后一道大题，在这种级别的比赛中本不应该出现陈题的现象，从一方面来说是主办省份的失误，从另一方面来说，也正说明了高考和联赛一试贴近的趋势。
　　解答题的最后一题略偏于竞赛，以函数面目出现的不等式，考察了代数变形的技巧，均值不等式和柯西不等式的使用，如果没有经过竞赛培训，这个问题可能较为困难，但这个题目的想法却仍然偏于陈旧，算不得较好的新题。
　　总而言之，这份试卷的一试部分较为朴实，益发地体现了联赛一试和高考之间密切的关系，只是在具体选择题目的时候考虑不够周详，整张试卷看起来新意上有些不足，与去年高考题重合当然是本次联赛的一大失误。 
　　（邓杨老师简介：学而思高中数学名师，北大天才神奇老师。从小学奥数到高中数学到国际奥赛，一直没有停止过对解题能力的锻炼，难题在谈笑间灰飞烟灭，被诸多同行送上尊号“神仙”。邓杨老师的一句话概括了他对数学学习的见解：“学习，尤其是学习数学，越冷静，越有平常心，也许能够更清晰地看到其中的脉络，反而更能够得心应手。”）

2009年全国高中数学联合竞赛
一试试题

说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）
1． 若函数且，则 ．
【答案】
【解析】 ，

……
．
故．
2． 已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为 ．
【答案】
【解析】 设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．
解得．
3． 在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 ．
【答案】
【解析】 由题意知

4． 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 ．
【答案】
【解析】 设．显然单调递减，则由的最大值，可得．
5． 椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为 ．
【答案】
【解析】 设，
．
由，在椭圆上，有
①
②
得
．
于是当时，达到最小值．
6． 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ．
【答案】 或
【解析】
当且仅当
①
②
③
对③由求根公式得
， ④
或．
(ⅰ)当时，由③得

所以，同为负根．
又由④知
所以原方程有一个解．
(ⅱ)当时，原方程有一个解．
(ⅲ)当时，由③得
所以，同为正根，且，不合题意，舍去．
综上可得或为所求．
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）
【答案】
【解析】 易知：
(ⅰ)该数表共有100行；
(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为
，，，…，
(ⅲ)为所求．
设第行的第一个数为，则

……

故．
8． 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻

概率

一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．
【答案】 27
【解析】 旅客候车的分布列为
候车时间（分）
10
30
50
70
90
概率

候车时间的数学期望为

二、解答题
1． （本小题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
【解析】 由消去化简整理得

设，，则
① …………………………………………4分
由消去化简整理得

设，，则
② ………………………………………………8分
因为，所以，此时．由得
．
所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．………14分
2． （本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，，
(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；
(Ⅱ)若，，求的前项和．
【解析】 方法一：
(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以
，
整理得
令，则．所以是公比为的等比数列．
数列的首项为：
．
所以，即．所以．
①当时，，，变为．整理得，，．所以，数列成公差为的等差数列，其首项为．所以
．
于是数列的通项公式为
；…………………………………………………………………5分
②当时，，
．
整理得
，．
所以，数列成公比为的等比数列，其首项为．所以．
于是数列的通项公式为．………………………………………………10分
(Ⅱ)若，，则，此时．由第(Ⅰ)步的结果得，数列的通项公式为，所以，的前项和为

以上两式相减，整理得
所以．……………………………………………………………………………15分
方法二：
(Ⅰ)由韦达定理知，又，所以
，．
特征方程的两个根为，．
①当时，通项由，得

解得．故 ．……………………………………………5分
②当时，通项．由，得

解得，．故
．……………………………………………10分
(Ⅱ)同方法一．
3． （本小题满分15分）求函数的最大和最小值．
【解析】 函数的定义域为.因为

当时等号成立．故的最小值为．………………………………………5分
又由柯西不等式得

所以． …………………………………………………………………………10分
由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值
为．…………………………………………………………………………………15分

2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
及评分标准（A卷）
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．

（共4小题，每小题50分，共200分）

9． 如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．
⑴求证：；
⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，，

求证：，，，四点共圆．

【解析】 ⑴连，．由于，，，，共圆，故是等腰梯形．因此，．

连，，则与交于，因为
，
所以．同理
．
于是
，．
故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）．
又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式

于是．
⑵因为，

所以，同理．由得．
由⑴所证，，故
．
又因
，
有
．
故，从而
．
因此，，，四点共圆．

10． 求证不等式：
，，2，…
【解析】 证明：首先证明一个不等式：
⑴，．
事实上，令
，．
则对，
，．
于是
，．
在⑴中取得
⑵．
令，则，

因此．
又因为
．
从而

．

11． 设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素．
【解析】 证法一：对任意正整数，令．我们证明．
设是的任一素因子，只要证明：．
若，则由

．
及，且，知且．从而．
证法二：对任意正整数，令，我们证明．
设是的任一素因子，只要证明：．
若，则由

．
即不整除上式，故．
若，设使，但．．故由

及，且，知且．从而．

12． 在非负数构成的数表

中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，，，均大于．如果的前三列构成的数表

满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个
使得
⑶．
求证：
（ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列．
（ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表

仍然具有性质．
【解析】 （ⅰ）假设最小值，，2，3不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何．不妨设，，2，3．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，，2，3．另一方面，由于数表具有性质，在⑶中取，则存在某个使得．矛盾．
（ⅱ）由抽届原理知
，，
中至少有两个值取在同一列．不妨设
，．
由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是．同样，第二列中也必含某个，，2．不妨设．于是，即是数表中的对角线上数字．

记，令集合
．
显然且1，2．因为，，，所以．
故．于是存在使得．显然，，2，3．
下面证明数表

具有性质．
从上面的选法可知，．这说明
，．
又由满足性质．在⑶中取，推得，于是．下证对任意的，存在某个，2，3使得．假若不然，则，，3且．这与的最大性矛盾．因此，数表满足性质．
下证唯一性．设有使得数表

具有性质，不失一般性，我们假定

⑷

．
由于，及（ⅰ），有．又由（ⅰ）知：或者，或者．
如果成立，由数表具有性质，则
，
⑸，
．
由数表满足性质，则对于至少存在一个使得．由及⑷和⑹式知，，．于是只能有．类似地，由满足性质及可推得．从而．

2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题

一、 选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1、设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（ C）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】，则最小正整数为4，选C.
2、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( C)
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数
(C) 是奇函数 (D) 是偶函数

3、在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为( A ).
A. B. C. D.
【解析】:在区间上随机取一个数,即时,要使的值介于到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于到之间的概率为.故选A.

二、选择题（本大题共8个小题，每小题7分，满分56分，请将正确的答案填在横线上。）
7、
8、

9、

12、

三、解答题（本大题共5个小题，满分64分）
15、（本小题满分12分）

16、（本小题满分12分）

17、（本小题满分12分）

18、（本小题满分14分）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米，试问：该设备能否水平移进直角型过道？（AB＝7米，BC＝1米）

分析：如图，建立直角坐标系。

19、（本小题满分14分）
设有2009个人站成一排，从第一名开始1至3报数，凡报到3的就退出队伍，其余的向前靠拢站成新的一排，再按此规则继续进行，直到第p次报数后只剩下3人为止，试问最后剩下3人最初在什么位置？
分析:易知最后剩下的3人中前2人分别为最初的第1名和第2名。设第3人是最初的第k名。用下面的方法可得k＝1600。

二00八年湖南省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）
1.定义集合运算: .设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A.16 B.18 C. 20 D.22
2.已知是等比数列，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）
A. B. C. D.
４．已知、为非零的不共线的向量，设条件；条件对一切，不等式恒成立．则是的（　　）
Ａ．必要而不充分条件　　　　　　　Ｂ．充分而不必要条件
Ｃ．充分而且必要条件　　　　　　　Ｄ．既不充分又不必要条件
5．设函数定义在上，给出下述三个命题：
①满足条件的函数图象关于点对称；②满足条件的函数图象关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图象关于直线对称.其中，真命题的个数是
（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦、可能相交于点 ②弦、可能相交于点
③的最大值为5 ④的最小值为1
其中真命题为（ ）
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
7.设，，，,则的大小关系是（　　）
　Ａ．　　　　　　　　Ｂ．
　Ｃ．　　　　　　　　Ｄ．

8. 设函数，且，，则（ ）
A.2 B.1 C.0 D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为
若到点、的“直角距离”相等，其中实
数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为　　．
10.已知集合，若点、点满足且
，则称点优于. 如果集合中的点满足：不存在中的其它点优于，则
所有这样的点构成的集合为　　　　　　　　　　　　　　．
11.多项式的展开式在合并同类项后，的系数为 .（用数字作答）
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 .
13.将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答）
14.某学校数学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，

其中，表示实数的整数部分，例如， 按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 .

三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．（本小题满分14分）设实数，求证：
其中等号当