34全国高中数学联赛模拟卷十七答案.doc

2012年全国高中数学联赛模拟卷(十七)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1.已知，且，，，若，则a的取值范围是 。
解析：，要使，只需C中的最大元素在B当中，所以，得。
2.在中，若，，，为的内心，且，则 .
解析：设AO交BC于点D，由角平分线定理知，于是，
又，所以
，因此。
3.已知函数若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 。
解析：利用函数图象进行分析易得结果。
4.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n-1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
解析：若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1~n-1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了，则概率为，所以所求概率为

注意到
两式相除即得。
5.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是 ．
解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为，与椭圆方程联立得
，设，，则，
，于是。
因为，所以内切圆半径
，因此其面积最大值是。
6.设为一个整数数列，并且满足：，．若，则满足且的最小正整数n是 ．
解析：501当时，将原式变形为，令，则有
，叠加可得，于是。
由，得，化简得。
由，得，将上述关于的结果代入得，于是质数且n是奇数，所以满足条件的最小的n是501。
7.如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半
径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新
球的半径是 。
解析：16将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将
它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h的水平面与两个几
何体所截的截面面积。与第一个几何体形成的截面是圆环，外径是
，内径是12，所以面积是，这正是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。
8.在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程
没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。
解析：令，原方程化为 ①

所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
或
点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为

二、解答题（本题满分56分）
9.（本小题满分16分）在数列中，
　（Ⅰ）试比较与的大小；
　（Ⅱ）证明：当时，.
解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有
   ，

（Ⅱ）证法1：由已知得，
又.
当时，

设   ① ，则   ②
①-②，得

证法2：由已知得，
（1）       当时，由，知不等式成立。假设当不等式成立，即，那么

要证 ，只需证
即证 ，则只需证………………10分
因为成立，所以成立.
这就是说，当时，不等式仍然成立.
根据（1）和（2），对任意，且，都有
10.（本小题满分20分）已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围。
解：椭圆过定点A（1，0），则
∵，∴。
由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线的交点，就必过椭圆与射线的交点。
联立方程 ，解得 。
∵，∴。
设抛物线方程为：，。
又 ∵ ， ∴ ①
把 ， 代入①得，，。
令，，，
∵ 在内有根且单调递增，
∴
综上得：。
11.（本小题满分20分）映射f的定义域是的全体真子集，值域包含于，满足条件：对任意，都有，求这种映射的个数．
解：记，其中。
首先任意设定的值，则对于A的任意真子集B，记，则
，
因此，映射f可由的值完全确定。
下面证明这样的映射满足条件。
对任意，有，
，
，
由知。
综上所述，由于确定的值有种选择，所以这种映射的个数也为。
2012年全国高中数学联赛模拟卷(十七)加试
(考试时间：150分钟 满分：180分)
一、（本题满分40分）设为直线上顺次排列的五点，，在直线外的一点，连结并延长至点，恰使，同时成立.
求证：。
证法一：过作BH∥AF，交于，则，又由，故。
连结，知∥，延长分别交于，连结。
因为，故、、、共圆；
因为，故、、、共圆，
∴、、、、五点共圆，故。
∵，，∴，故，，
∴。
证法二：作外接圆，交射线于，则。
又由，知，所以、、、共圆，记该圆为。
下证必在内.用反证法，假设不在内。
连结、，则

又，
∴，矛盾！
于是，在延长线上.
∵,，∴为切线，为切线，
∴，故。
二、（本题满分40分）已知：，，
求证：。
证明：，
∵，，
∴。
∴，
同理，
。
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。
三、（本题满分50分）设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，dk，满足1=d1<d2<…<dk = n。再设D = d1d2＋d2d3＋…＋dk－1dk。
(i) 证明：D<n2；
(ii) 确定所有的n，使得D整除n2。
解：(i) 若d1，d2，…，dk是n的全部正因数，则n/d1，n/d2，…，n/dk也是n的全部正因数，且当1=d1<d2<…<dk=n时，有dj=n/dk－j＋1。则
n2/d2=n2/(d1d2)≤D = d1d2＋d2d3＋…＋dk－1dk=n2｛1/(dk－1dk)＋1/(dk－2dk－1)＋…＋1/(d1d2)｝
≤n2{(1/dk－1－1/dk)＋(1/dk－2－1/dk－1)＋…＋(1/d1－1/d2)}
=n2(1/d1－1/dk)=n2(1－1/n)=n2－n。 (*)
(ii) 在(i)的证明中已指出n2/d2≤D≤n2－n。若D整除n2，由上式知
n2=qD，1<q≤d2。(**)
因为d2是n的最小的大于1的除数，所以，d2是素数。d2当然也是n2的素除数，并且n2没有比d2更小的大于1的除数。那么由式(**)就推出q=d2。因此，k=2，n的全部正因数是1和n本身，即n是素数。
四、（本题满分50分）设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．
解：对于圆周上任意一种状态，按下列方式定义该状态的特征值：
考察圆周上的n个蓝点将圆周分成的n段圆弧，将这n段圆弧依次赋值+1，-1，+1，-1，……并在每个红点处标上所在弧的数值，再将所有红点上的数值相加即得S值。
下面考察各种加点的操作：
(1) 若在两个相邻红点（原本标有+1）间增加一个红点，则标有+1的这两个红点变为蓝点，新增加的红点应标-1，且其他红点不受影响，所以S值减少3。若两个红点原本标有-1，则类似可知S值增加3；
(2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点，则这三个红点都将标上相同的数值，且其他红点不受影响，所以S的变化量仍然是3的倍数；
(3) 若在两个相邻的异色点间增加一个红点，则两个端点红蓝交换，因此端点处的红色点标数变为原来的相反数，而且新增的红点与它的标数相同，所以S的变化量仍然是3的倍数；
对于各种减点的操作，因为都是加点操作的逆向操作，所以S值的变化量始终是3的倍数，因此S值除以3的余数应该是不变的。
在初始状态中，只有两个红点，；而在只有两个蓝点的状态中，，这说明不可能经过若干次操作，使圆周上只有两个点，且均为蓝点。