34全国高中数学联赛模拟卷十七答案.doc

2012年全国高中数学联赛模拟卷(十七)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_考试号：_得分：_一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.已知，且，若，则a的取值范围是 。解析：，要使，只需C中的最大元素在B当中，所以，得。2.在中，若，为的内心，且，则 .解析：设AO交BC于点D，由角平分线定理知，于是，又，所以 ，因此。3.已知函数若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 。解析：利用函数图象进行分析易得结果。4.计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0n-1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。解析：若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1n-1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了，则概率为，所以所求概率为 注意到两式相除即得。5.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则F1PQ内切圆面积的最大值是 解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且F1PQ的周长是定值8，所以只需求出F1PQ面积的最大值。设直线l方程为，与椭圆方程联立得，设，则，于是。因为，所以内切圆半径，因此其面积最大值是。6.设为一个整数数列，并且满足：，若，则满足且的最小正整数n是 解析：501当时，将原式变形为，令，则有，叠加可得，于是。由，得，化简得。由，得，将上述关于的结果代入得，于是质数且n是奇数，所以满足条件的最小的n是501。7.如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半 径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。解析：16将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h的水平面与两个几何体所截的截面面积。与第一个几何体形成的截面是圆环，外径是，内径是12，所以面积是，这正是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。8.在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。解析：令，原方程化为 所给方程没有实根等价于方程无实根或有实根但均为负根，所以，或点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）在数列中，（）试比较与的大小；（）证明：当时，.解：（）由题设知，对任意，都有 ， （）证法1：由已知得，又.当时，设 ，则 -，得证法2：由已知得，（1） 当时，由，知不等式成立。假设当不等式成立，即，那么 要证 ，只需证即证 ，则只需证10分因为成立，所以成立.这就是说，当时，不等式仍然成立.根据（1）和（2），对任意，且，都有10.（本小题满分20分）已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围。解：椭圆过定点A（1，0），则，。由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线的交点，就必过椭圆与射线的交点。联立方程 ，解得 。，。设抛物线方程为：，。又 ， 把 ， 代入得，。令， 在内有根且单调递增， 综上得：。11.（本小题满分20分）映射f的定义域是的全体真子集，值域包含于，满足条件：对任意，都有，求这种映射的个数解：记，其中。首先任意设定的值，则对于A的任意真子集B，记，则，因此，映射f可由的值完全确定。下面证明这样的映射满足条件。对任意，有， ， ，由知。综上所述，由于确定的值有种选择，所以这种映射的个数也为。2012年全国高中数学联赛模拟卷(十七)加试(考试时间：150分钟 满分：180分)一、（本题满分40分）设为直线上顺次排列的五点，在直线外的一点，连结并延长至点，恰使，同时成立.求证：。证法一：过作BHAF，交于，则，又由，故。连结，知，延长分别交于，连结。因为，故、共圆；因为，故、共圆，、五点共圆，故。，故，。证法二：作外接圆，交射线于，则。又由，知，所以、共圆，记该圆为。下证必在内.用反证法，假设不在内。连结、，则又，矛盾！于是，在延长线上.,，为切线，为切线，故。二、（本题满分40分）已知：，求证：。证明：， ， 。，同理， 。那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。三、（本题满分50分）设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，dk，满足1=d1d2dk = n。再设D = d1d2d2d3dk1dk。(i) 证明：Dn2；(ii) 确定所有的n，使得D整除n2。解：(i) 若d1，d2，dk是n的全部正因数，则n/d1，n/d2，n/dk也是n的全部正因数，且当1=d1d2dk=n时，有dj=n/dkj1。则n2/d2=n2/(d1d2)D = d1d2d2d3dk1dk=n21/(dk1dk)1/(dk2dk1)1/(d1d2)n2(1/dk11/dk)(1/dk21/dk1)(1/d11/d2)=n2(1/d11/dk)=n2(11/n)=n2n。 (*)(ii) 在(i)的证明中已指出n2/d2Dn2n。若D整除n2，由上式知n2=qD，1qd2。(*)因为d2是n的最小的大于1的除数，所以，d2是素数。d2当然也是n2的素除数，并且n2没有比d2更小的大于1的除数。那么由式(*)就推出q=d2。因此，k=2，n的全部正因数是1和n本身，即n是素数。四、（本题满分50分）设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点解：对于圆周上任意一种状态，按下列方式定义该状态的特征值：考察圆周上的n个蓝点将圆周分成的n段圆弧，将这n段圆弧依次赋值+1，-1，+1，-1，并在每个红点处标上所在弧的数值，再将所有红点上的数值相加即得S值。下面考察各种加点的操作：(1) 若在两个相邻红点（原本标有+1）间增加一个红点，则标有+1的这两个红点变为蓝点，新增加的红点应标-1，且其他红点不受影响，所以S值减少3。若两个红点原本标有-1，则类似可知S值增加3；(2) 若在两个相邻蓝点间增加一个红点，则这三个红点都将标上相同的数值，且其他红点不受影响，所以S的变化量仍然是3的倍数；(3) 若在两个相邻的异色点间增加一个红点，则两个端点红蓝交换，因此端点处的红色点标数变为原来的相反数，而且新增的红点与它的标数相同，所以S的变化量仍然是3的倍数；对于各种减点的操作，因为都是加点操作的逆向操作，所以S值的变化量始终是3的倍数，因此S值除以3的余数应该是不变的。在初始状态中，只有两个红点，；而在只有两个蓝点的状态中，这说明不可能经过若干次操作，使圆周上只有两个点，且均为蓝点。