全国高中数学联赛模拟试题(三).doc

全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos的值为 ( )A.1B.1C.D.2. Sn和Tn分别是等差数列an和bn的前n项和，且对任意的自然数n都满足，那么 ( )A.B.C.D.3. 直线xcosym0(式中是ABC的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(arctan)B.0，)C.0，D.0，arctan，4. 设实数m，n，x，y满足m2n2a，x2y2b，其中a，b为正常数且ab，那么mxny的最大值为 ( )A.B.C.D.5. 如图，平面中有ABC和A1B1C1分别在直线m的两侧，它们与m无公共点，并且关于m成轴对称，现将沿m折成一个直二面角，则A，B，C，A1，B1，C1六个点可以确定的平面AA1B1C1BCm个数为 ( )A.14B.11C.17D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n边形必能被这n个圆面所覆盖，则n的最大值为( )A.3B.4C.5D.6二、填空题(共54分)6. 已知0x，logsinxcosx与logcosx的首数均为零，尾数和为1，则x_.7. 设，其中a1，a2，an是两两不等的非负整数，则a1a2an_.8. 已知不等式ax23x46的解集为x|axb，其中0ab，则b_.9. 已知f(x)x2(lga2)xlgb，且f(1)2，f(x)2x对一切xR都成立，则ab_.10. 正四棱台ABCDA1B1C1D1的高为2，AB8，A1B14，则异面直线A1B与B1C的距离为_.11. 方程(x2x1)x21的解集为_.三、解答题(共计60分)12. (设f(x)(1xx2)nc0c1xc2x2c2nx2n，则c0c3c6c1c4c7c2c5c83n1.13. (已知满足不等式lg(x2)lg(ax)1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.14. (设yf(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，bR，有faf(b)ab，试求|f()|.第二试ABCDEF H1H2H3一、(50分)如图，D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB上的点，且FDEA，DEFB，又设AFE，BDF和DEF均为锐角三角形，他们的垂心分别为H1，H2，H3.求证：(1)H2DH3FH1E；(2)H1H2H3DEF.二、(50分)设C0，C1，C2，是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C0是单位圆x2y21；(2)任取nZ且n0，圆Cn1位于上半平面y0内及Cn的上方，与Cn外切并且与双曲线x2y21相切于两点，Cn的半径记为rn(nZ且n0)(1)证明：rnZ；(2)求rn.三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6123，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案第一试一、选择题1. Ccos令zcos，于是z71则上式(zz2z3z4z5z6)2. A3. D，)，cos(1，则斜率k，1)4. B由柯西不等式ab(m2n2)(x2y2)(mxny)2，当mxny时取等号，所以mxny5. B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为311个6. B注意到：当且仅当C90时，ABC能被以AB为直径的圆覆盖.从而易证n4，当n4时，正方形满足条件.二、填空题7.arcsin；logsinxcosxlogcosx1 logsinxcosx sinxcos2x sin2sinx10 sinx(负值舍去)8.44；21029282726249.4；分情况讨论得：a，b410.110；f(1)1lgb(2lga)2 lgalgb1，而(lga)24lgb0 (lgb1)20 lgb1 b10，a10011.；过B1作A1B的平行线交AB于E，转化为求B点到平面B1CE的距离.12.2，1，0，2若x2x11，则x2，1若x2x11且x2为偶数，得x0若x20且x2x10得x2三、13令i，则有fc0c1c2c4c5c2n3n f()c0c12c2c3c42c52nc2n0f(2)c02c1c2c32c4c54nc2n0得3(c0c3c6)3n， c0c3c63n1.得c1c4c7c2c5c8于是c1c4c7c2c5c8c0c3c63n，14 x20， |x|1， x1或0或1x1时，lg15lg(a1)1， 1ax0时，lgga1 0a2x1时，lg15lg(a1)l 0a又因为满足条件的整数x只有一个， a的取值范围是(1，0，12，)15令a1，则f(f(b)b， f(f(x)x f(f(f2(x)f2(x) f(f(f2(a)f2(a)再令af(b)，则f(f2(b)bf(b) f(f(f2(b)f(bf(b)b2. f(f(f2(a)a2. f2(a)a2， |f(a)|a| f()第二试一、 H1为AEF的垂心， EH1F180ABCH2DH3180H2DBH3DC180(90B)(90C)BC EH1FH2DH3连结FH2，EH3，则FH2BD，EH3BC FH2EH3 由中所证EH1FEOF180 E，D，F，H1四点共圆.同理，E，D，H1，H2四点共圆，H1，D，F，H3四点共圆，E，D，F，H1，H2，H3六点共圆.二圆内接四边形EH2H3F中，EH2FH3， EFH2H3，同理，DEH1H3，DFH1H2， H1H2H3DEF.二、 由对称性可知rn的圆心在y轴上，设rn的方程为x2(ysn)2rn2，其中snr02(r1r2rn1)rn.将x2y21代入其中得 y21y2sn22ysnrn204sn28Sn28rn280 2rn2Sn22从而易得rn6rn1rn2， r01，r13， 对任意nN，有rnN(2)由特征根方程可得rnA(32)nB(32)n，将r01，r13代入其中，得rn(32)n(32)n三、 设“完全数”等于3n，其中n不是3的倍数，于是3n的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d和3d的“数对”，其中d不可被3整除，从而3n的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时n，n，n和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n13n，从而3n不可能是“完全数”，得到矛盾.