全国高中数学联赛模拟试题(三).doc

全国高中数学联赛模拟试题(三)
第一试
一、选择题(共36分)
1. 化简cos的值为 ( )
A.－1 B.1 C.－ D.
2. Sn和Tn分别是等差数列{an}和{bn}的前n项和，且对任意的自然数n都满足，那么＝ ( )
A. B. C. D.
3. 直线xcosθ＋y＋m＝0(式中θ是△ABC的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )
A.(－arctan) B.[0，，π)
C.[0，] D.[0，]∪[π－arctan，π]
4. 设实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为正常数且a≠b，那么mx＋ny的最大值为 ( )
A. B. C. D.
5. 如图，平面α中有△ABC和△A1B1C1分别在直线m的两侧，它们与m无公共点，并且关于m成轴对称，现将α沿m折成一个直二面角，则A，B，C，A1，B1，C1六个点可以确定的平面A
A1
B1
C1
B
C
m
α
个数为 ( )
A.14 B.11 C.17 D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n边形必能被这n个圆面所覆盖，则n的最大值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题(共54分)
6. 已知0＜x＜，logsinxcosx与logcosx的首数均为零，尾数和为1，则x＝_________.
7. 设＝，其中a1，a2，……，an是两两不等的非负整数，则a1＋a2＋…＋an＝___________.
8. 已知不等式a≤x2－3x＋4≤6的解集为{x|a≤x≤b}，其中0＜a＜b，则b＝___________.
9. 已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.
10. 正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为2，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.
11. 方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.

三、解答题(共计60分)
12. (设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2nx2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.

13. (已知满足不等式lg(x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.

14. (设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f()|.

第二试
A
B
C
D
E
F H1
H2
H3
一、(50分)如图，D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且∠FDE＝∠A，∠DEF＝∠B，又设△AFE，△BDF和△DEF均为锐角三角形，他们的垂心分别为H1，H2，H3.求证：
(1)∠H2DH3＝∠FH1E；
(2)△H1H2H3≌△DEF.

二、(50分)设C0，C1，C2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：
(1)C0是单位圆x2＋y2＝1；
(2)任取n∈Z且n≥0，圆Cn＋1位于上半平面y≥0内及Cn的上方，与Cn外切并且与双曲线x2－y2＝1相切于两点，Cn的半径记为rn(n∈Z且n≥0)
(1)证明：rn∈Z；
(2)求rn.

三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.
全国高中数学联赛模拟试题(三)
参考答案
第一试
一、选择题
1. C
cos＝
令z＝cos，于是z7＝1
则上式＝(z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6)＝……＝－
2. A

3. D
θ∈[，π)，cosθ∈(－1，]，则斜率k∈[－，1)
4. B
由柯西不等式ab＝(m2＋n2)(x2＋y2)≥(mx＋ny)2，当mx＝ny时取等号，
所以mx＋ny≤
5. B
三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，
共确定平面个数为＋3＝11个
6. B
注意到：当且仅当∠C≥90°时，△ABC能被以AB为直径的圆覆盖.从而易证n≤4，当n＝4时，正方形满足条件.
二、填空题
7.arcsin；
logsinxcosx＋logcosx＝1 Þ logsinxcosx＝
∴ sinx＝cos2x ∴ sin2＋sinx－1＝0
∴ sinx＝(负值舍去)
8.44；
＝210＋29＋28＋27＋26＋24
9.4；
分情况讨论得：a＝，b＝4
10.110；
f(－1)＝1＋lgb－(2＋lga)＝－2
∴ lga＝lgb＋1，而(lga)2－4lgb≤0
∴ (lgb－1)2≤0 ∴ lgb＝1
∴ b＝10，a＝100
11.；
过B1作A1B的平行线交AB于E，转化为求B点到平面B1CE的距离.
12.{－2，－1，0，2}
若x2－x－1＝1，则x＝2，－1
若x2－x－1＝－1且x＋2为偶数，得x＝0
若x＋2＝0且x2－x－1≠0得x＝－2
三、
13．令ω＝－i，则有
f⑴＝c0＋c1＋c2＋c4＋c5＋……＋c2n＝3n …………………①
f(ω)＝c0＋ωc1＋ω2c2＋c3＋ωc4＋ω2c5＋……＋ω2nc2n＝0…………………②
f(ω2)＝c0＋ω2c1＋ωc2＋c3＋ω2c4＋ωc5＋……＋ω4nc2n＝0…………………③
①＋②＋③得3(c0＋c3＋c6＋……)＝3n，
∴ c0＋c3＋c6＋……＝3n－1.
②－①得c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……
于是c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝c0＋c3＋c6＋……＝3n，
14．∵ x2＞0，∴ |x|≤1，∴ x＝－1或0或1
x＝－1时，lg15＞lg(a＋1)＋1，∴ －1＜a＜
x＝0时，lgga＋1 ∴ 0＜a＜2
x＝1时，lg15＞lg(a－1)＋l ∴ 0＜a＜
又因为满足条件的整数x只有一个，
∴ a的取值范围是(－1，0]∪[，1]∪[2，)
15．令a＝1，则f(f(b))＝b，∴ f(f(x))＝x
∴ f(f(f2(x)))＝f2(x)
∴ f(f(f2(a)))＝f2(a)
再令a＝f(b)，则f(f2(b)＝bf(b)
∴ f(f(f2(b)))＝f(bf(b))＝b2.
∴ f(f(f2(a)))＝a2.
∴ f2(a)＝a2， ∴ |f(a)|＝|a|
∴ f()＝
第二试
一、 ⑴∵ H1为△AEF的垂心，∴ ∠EH1F＝180°－∠A＝∠B＋∠C
∠H2DH3＝180°－∠H2DB－∠H3DC＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B＋∠C
∴ ∠EH1F＝∠H2DH3
⑵连结FH2，EH3，则FH2⊥BD，EH3⊥BC
∴ FH2∥EH3 由⑴中所证∠EH1F＋∠EOF＝180° Þ E，D，F，H1四点共圆.
同理，E，D，H1，H2四点共圆，H1，D，F，H3四点共圆，E，D，F，H1，H2，H3六点共圆.
二圆内接四边形EH2H3F中，EH2∥FH3，
∴ EF＝H2H3，同理，DE＝H1H3，DF＝H1H2，
∴ △H1H2H3≌△DEF.
二、 ⑴由对称性可知rn的圆心在y轴上，设rn的方程为
x2＋(y－sn)2＝rn2，其中sn＝r0＋2(r1＋r2＋……＋rn－1)＋rn.
将x2＝y2＋1代入其中得 y2＋1＋y2＋sn2－2ysn－rn2＝0
△＝4sn28Sn2＋8rn2－8＝0 Þ 2rn2＝Sn2＋2
从而易得rn＝6rn－1－rn－2，
∵ r0＝1，r1＝3，∴ 对任意n∈N，有rn∈N
(2)由特征根方程可得
rn＝A(3＋2)n＋B(3－2)n，
将r0＝1，r1＝3代入其中，得
rn＝[(3＋2)n＋(3－2)n]
三、 设“完全数”等于3n，其中n不是3的倍数，于是3n的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d和3d的“数对”，其中d不可被3整除，从而3n的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时n，n，n和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n＋1＞3n，从而3n不可能是“完全数”，得到矛盾.