二次根式提高培优1.doc

海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：
形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
【典型例题】

【例1】下列各式1），
其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、在、、、、中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K]
举一反三：
1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x≥3 C、 x>4 D 、x≥3且x≠4
2、使代数式有意义的x的取值范围是
3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　）
A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=
解题思路：式子（a≥0）， ，y=2009，则x+y=2014
举一反三：
1、若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x、y都是实数，且y=，求xy的值
3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。
若的整数部分是a，小数部分是b，则 。
若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.

知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．
2. ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：
3.
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．

【典型例题】

【例4】若则 ．

举一反三：
1、若，则的值为 。
2、已知为实数，且，则的值为（ ）
A．3 B．– 3 C．1 D．– 1
3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
4、若与互为相反数，则。

（公式的运用）

【例5】 化简：的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
举一反三：
1、 在实数范围内分解因式: = ；=

2、 化简：
3、 已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为
（公式的应用）
【例6】已知,则化简的结果是
A、 B、 C、 D、

举一反三：
1、根式的值是( )
A．-3 B．3或-3 C．3　 D．9
2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若，则等于（ ）
A. B. C. D.
4、若a－3＜0，则化简的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a
5、化简得（ ）
（A）　2　（B）　（C）－2　　（D）
6、当a＜l且a≠0时，化简＝ ．
7、已知，化简求值：

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a

举一反三：
实数在数轴上的位置如图所示：化简：．
【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围（ ）
（A）x为任意实数 （B）≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（　 　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或

【例9】如果，那么a的取值范围是（ ）
A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1
举一反三：
1、如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）

2、若，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【例10】化简二次根式的结果是
（A） (B) (C) (D)

1、把二次根式化简，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
2、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝ ；＝ 。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；ƒ分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例11】在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
解题思路：掌握最简二次根式的条件。
举一反三：
1、中的最简二次根式是 。
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3、下列根式不是最简二次根式的是(　)
A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　D.
4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
5、把下列各式化为最简二次根式：
(1) (2) (3)

【例12】下列根式中能与是合并的是( )
A. B. C.2 D.
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、在二次根式：①；② ；③ ；④中，能与合并的二次根式是 。
3、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则a=__________.

知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】

【例13】 把下列各式分母有理化
（1） （2） （3） （4）

【例14】把下列各式分母有理化
（1） （2） （3） （4）

【例15】把下列各式分母有理化：
（1） （2） （3）

举一反三：
1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）

2、把下列各式分母有理化：
（1） （2） （3）

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与；              ②与；
③与；       ④与．

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·=（≥0，b≥0）

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
=（a≥0，b＞0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=（a≥0，b＞0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

【典型例题】
【例16】化简
(1) (2) (3) (4)() (5) ×
【例17】计算（1）  （2）   （3）   （4）

（5）        （6）   （7）      （8）

【例18】化简：
(1) (2) (3) (4)
【例19】计算：(1) (2) (3) （4）

【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、无解

知识点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【典型例题】
【例20】计算（1）；
（2）；
（3）；
（4）

【例21】 （1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】
1、确定运算顺序；
　　2、灵活运用运算定律；
　　3、正确使用乘法公式；
　　4、大多数分母有理化要及时；
　　5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；

【典型习题】
1、 2、 (2+4－3)
3、 ·（-4）÷ 4、
5、） 6、
7、
8、
【例21】 1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
知识点八：根式比较大小

【知识要点】
1、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则。
2、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②
8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①； ②
【典型例题】
【例22】 比较与的大小。（用两种方法解答）
【例23】比较与的大小。
【例24】比较与的大小。
【例25】比较与的大小。
【例26】比较与的大小

二次根式典型习题集

一、概念
（一）二次根式
下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．
（二）最简二次根式
1．把二次根式（y>0）化为最简二次根式结果是（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
2．化简=_________．（x≥0）
3．a化简二次根式号后的结果是_________．
4. 已知0，化简二次根式的正确结果为_________．
（三）同类二次根式
1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有______
3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．
4.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．
（四） “分母有理化”与“有理化因式”
1.+的有理化因式是________； x-的有理化因式是_________．
--的有理化因式是_______．
2.把下列各式的分母有理化
（1）； （2）； （3）； （4）．
二、二次根式有意义的条件：
1．（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？
（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？
（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
（4）当时，有意义。
2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．已知y=++5，求的值．
4．若+有意义，则=_______．
5. 若有意义，则的取值范围是 。
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围
（1） (2) (3) (4)

(5) (6)

三、二次根式的非负数性
1．若+=0，求a2004+b2004的值．
2．已知+=0，求xy的
3.若，求的值。
a＜0　
a≥0
四、 的应用
1． a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．
A．=≥- B．>>-
C．<<- D．->=
2．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
3．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。
5．化简a的结果是（ ）．
A． B． C．- D．-
6．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A． B． C．- D．-
五、求值问题:
1.当x=+,y=-,求x2-xy+y2的值
2．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．
3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值
4．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
5．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）
6．先化简，再求值．
（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．

7．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）

8. 已知，求的值。

六、其他
1．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
2.已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
3．计算（+）（-）的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1

4.如果 , 则x的取值范围是 。

5.如果 , 则x的取值范围是 。

6.若 ,则a的取值范围是 。
7.设a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是 。
8.若是一个整数，则整数n的最小值是 。
9.已知的整数部分为a，小数部分为b，试求的值
七、计算
1.·（-）÷（m>0，n>0） 2.-3÷（）× （a>0）

3. 4.

5.

6.

八、 应用
1．铁路基的横截面是梯形ABCD，如图，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比为1：，求路基下底宽AB的长度

2．如图，扶梯AB的坡比为4；3，滑梯CD坡比为1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩从扶梯A走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下到D，共经过多少路程？

3．如图，方格纸中小正方形的边长为1，是格点三角形，求：（1）的面积（2）的周长；（3）点C到AB的距离。

二次根式提高测试题
一、选择题
1．使有意义的的取值范围是（ ）
2．一个自然数的算术平方根为，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ ）
（A）（B）（C）（D）
3．若，则等于（ ）
（A）0 （B） （C） （D）0或
4．若，则化简得（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．若，则的结果为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知下列命题：
①； ②；
③； ④．
其中正确的有（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
8．若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9．当时，化简等于（ ）
（A）2 （B） （C） （D）0
10．化简得（ ）
（A）2 （B） （C） （D）

二、填空题
11．若的平方根是，则．
12．当时，式子有意义．
13．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则．
14．若是的整数部分，是的小数部分，则，．
15．已知，且，则满足上式的整数对有_____．
16．若，则．
17．若，且成立的条件是_____．
18．若，则等于_____．
三、解答题
1 9．计算下列各题：（1）；
（2）
20．已知，求的值 ．
21．已知是实数，且，求的值.
22．若与互为相反数，求代数式的值.
23．若满足，求的最大值和最小值.