高三理科数学047.doc

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期数 0511 SXG3 047
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

[同步教学信息]

预 习 篇

预习篇三十四 高三理科数学总复习十一
——函数的奇偶性
【考试大纲的要求】
了解函数奇偶性的概念，会判断一些简单函数的奇偶性．
【基础知识概要】
1．奇函数与偶函数定义
一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数；如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x) = f(x), 那么函数f(x)就叫做偶函数.
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
注意：一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称.
2．用定义判定函数的奇偶性的步骤
（1）考查定义域是否关于原点对称；
（2）判断之一是否成立.
3．奇函数和偶函数的图象的性质
（1）奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.
（2）两个偶函数的和（积）为偶函数；两个奇函数的和为奇函数；奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数．
（3）如果f(x)是偶函数，那么．
【典型例题解析】
例1判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）； （2）
解：（1）,
即
所以，函数是奇函数.
（2），
即
所以，函数是偶函数.
例2 已知是R上的奇函数，且当时，，求得解析式
解：∵为R上的奇函数，∴，∴．
当时，，∴．
∴．
评析：解决这类求函数关于原点对称区间得解析式问题的常规思路是：先设为该区间的任意一个值，则－必在已知区间，从而得出的解析式，再由奇偶性得出与的关系，从而求得函数的解析式．
例3 已知函数，如果，求实数的取值范围．
解：，∴为奇函数．
又，∴在（－１，１）为增函数．
于是不等式可化为
，解得．
故所求实数的取值范围为．

【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．函数在上是（ ）
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
2．奇函数的图象必经过点（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数
4．已知函数是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．若函数在上是奇函数，且当时，，则当时，= ；
6．已知是定义在R的奇函数，，若，则＝ .

同步检测[※※级]
一、选择题
1．若都是奇函数，且在上有最大值5，则在上有（ ）
A．最小值-5 B．最大值-5
C．最小值-1 D．最大值-3
2．若函数是偶函数，则函数的图象关于（ ）
A．直线对称 B．直线对称
C．直线对称 D．y轴对称
3．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是单调增函数，那么当，且时，有（ ）
A． B．
C． D．无法确定
二、填空题：
4．若函数 是奇函数，则+的值为
.
三、解答题
5．设在R上是偶函数，在区间上递增，且有，求a的取值范围.
6．已知函数对一切、y都有,
（1）求证：是奇函数；
（2）若，试用a表示.

参考答案
同步落实[※级]
一、1．A 2．C 3．A 4．C
二、5． 6． 4
同步检测[※※级]
一、1．C 2．A 3．B
二、4． 0
三、5．解：由在R上是偶函数，在区间上递增，可知在上递减.
因为，，
且，
所以.
即，解之得 .
6．分析：（1）要证为奇函数，需证.
即证.
在已知的条件中，取，得.
故只需证.令，得，
∴，故为奇函数.
（2）已知，由题设可知，再由所给等式特征可知，欲求，需求，即需求.而这是已知的.
取，可得，因此，.