三角函数倍角公式.doc

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三角函数倍角公式
复习重点:二倍角公式
二倍角的正弦公式：
sin2A＝2sinAcosA
二倍角的余弦公式：
cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
二倍角的正切公式：
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
对公式的再认识：
(1) 适用范围：二倍角的正切公式有限制条件：
A≠kπ＋且A≠＋ (k∈Z)；
(2) 公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。
(3) 公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。

复习难点:倍角公式的应用
复习内容:
小结：
倍角公式：
sin2A＝2sinAcosA
cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A
tan2A＝

化“1”公式（升幂公式）
1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2，
1－sin2A＝(sinA－cosA)2
1＋cos2A＝2cos2A
1－cos2A＝2sin2A

降幂公式
cos2A＝
sin2A＝

二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:
　　 　　由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.

　　倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即， 进一步得到半角公式:

　 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:
　　，，这组公式叫做“万能”公式.

　　教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.

　　例1．推导三倍角的正弦、余弦公式

　　解:sin3α=sin(2α+α)

　　cos3α=cos(2α+α)

　　例2．利用三倍角公式推导sin18°的值.

　　解:∵ sin36°=cos54°,∴ 2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°
　　∵ cos18°≠0　　 ∴ 2sin18°=4cos218°-3　 ∴ 2sin18°=4-4sin218°-3
　　∴ 4sin218°+2sin18°-1=0
　　∴ . 本题还可根据二倍角公式推出cos36°.
　　即.

　　例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50°

　　解:(1) csc10°-sec10°

　　(2) tan20°+cot20°-2sec50°

　　例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

　　解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

　　例5．已知:.求: cos4θ+sin4θ的值.

　　解:∵,
　　∴ , 即，
　　即 ，∴ cos4θ+sin4θ

　　例6．求cos36°·cos72°的值.

　　解:cos36°·cos72°

　　例7．求:的值.

　　解:

　　上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法.

　　例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求.

　　方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴
　　∴ 或，∴ ,
　　∴ ,∴ 或 =2.

　　方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ， ∴ ,　
　　∴ ,
　　∴ 或 ,∴ 或 =2.

　　例9．已知:，求:tanα的值.

　　解:∵，∴ ，
　　∵ 0≤α≤π,　　 ∴ ,∴

　　(1)当时,　 ，
　　则有,∴， ∴ ， ∴ ，
　　∴ .

　　(2)当，则有 ，
　　∴ ，　　 ∴，∴.

　　注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉.

　　例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β.

　　证明:∵ ， ∴
　　∴ 4sin2α=1+2sin2β　　 ∴ 2-4sin2α=2-1-2sin2β　　 ∴ 2cos2α=cos2β.

　　课后练习:

　　1．若，则（ ）.
　　A、PQ　　B、PQ　　C、P=Q　　D、P∩Q=

　　2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（ ）.
　　A、　　B、　　C、　　D、

　　3．若，则sin2θ=（ ）.
　　A、　　B、　　C、　　D、

　　4．若，则sinθ=（ ）.
　　A、　　B、　　C、　　D、-

　　5．若，则=（ ）.
　　A、　　B、　　C、1　　D、-1

　　6．若，则cosα=________.

　　7. 若θ为第二象限角，且，则=_____.8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.

　　参考答案

　　1.C　　2.B　　3.C　　4.C　　5.B 　　6. 　　7. 6

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