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三角函数公式大全1-诱导公式之二：诱导公式之二：公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin2sincos2costan2tancot2cot公式六之一：/2及3/2与的三角函数值之间的关系：sin/2coscos/2sintan/2cotcot/2tansin/2coscos/2sintan/2cotcot/2tan公式六之二sin3/2coscos3/2sintan3/2cotcot3/2tansin3/2coscos3/2sintan3/2cotcot3/2tan(以上kz)规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于k/2(kz)的个三角函数值，当k是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变；当k是奇数时，得到相应的余函数值，即sincos;cossin;tancot,cottan.奇变偶不变然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。符号看象限上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把视为锐角时，角k360+kz，-、180，360-所在象限的原三角函数值的符号可记忆程度诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“；第二象限内只有正弦是“，其余全部是“；第三象限内切函数是“，弦函数是“；第四象限内只有余弦是“，其余全部是“口诀总结公式七：额外的定义也是重要的呀2-同角三角函数根本关系同角三角函数根本关系同角三角函数的根本关系式倒数关系:tancot1sincsc1cossec1商的关系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec平方关系：sin2()cos2()11tan2()sec2()1cot2()csc2()证明：同角三角函数关系六角形记忆法同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：参看图片或参考资料链六角形记忆法：参看图片或参考资料链接接构造以构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、上弦、中切、下割；左正、右余、中间中间1的正六边形为模型。的正六边形为模型。1倒数关系：对角线上两个函数互为倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；倒数；2商数关系：六边形任意一顶点上的商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻函数值等于与它相邻 的两个顶点上函数值的乘积。主的两个顶点上函数值的乘积。主要是两条虚线两端的要是两条虚线两端的 三角函数值的乘积。由此，可得三角函数值的乘积。由此，可得商数关系式。商数关系式。3平方关系：在带有阴影线的三角形平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上中，上面两个顶点上 的三角函数值的平方和等于下面顶的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的点上的三角函数值的 平方。平方。3-两角和差公式两角和差公式两角和与差的三角函数公式sinsincoscossinsinsincoscossincoscoscossinsincoscoscossinsintantantan-1tantantantantan1tantan 和差公式的证明两角差的余弦令AO=BO=r点的横坐标为点A纵坐标为点B的坐标为两式相等，化简或对照得：y A B （O）C x(-）由余弦定理得：两角和的余弦两角和的正弦两角差的正弦两角和的正切两角差的正切由两角差的余弦得4-二倍角公式二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式也称为：升幂缩角公式正弦的二倍角公式：正弦的二倍角公式：表示一：sin22sincos证明：因为sin(+)=sincos+cossin，令=，所以，可得：sin2=2sincos表示二：以正切表示二倍角sin2=2tan1+tn2證明：sin2=2sincos=2(sin/cos).cos2=2tan/(sec2)=2tan/(1+tan2)余弦二倍角公式：余弦二倍角公式：表示一：cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2证明：因为由和角公式：cos(+)=coscossinsin，令=所以，可得：cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2表示二：cos2=1-tan21+tan2證明：cos2=2cos21=(2/sec2)1=2/(1+tan2)1=(1-tan2)/(1+tan2)2tantan2 1tan2证明：因为由和角公式：tan(+)=(tan+tan)/(1-tan)，令=，所以，可得：2tantan2 1 tan2正切的二倍角公式結論：利用結論：利用tan 可以將可以將sin2，cos2，tan2 表示出表示出來，來，整理如下：整理如下：(a)sin2=2tan/(1+tan2)(b)cos2=(1-tan2)/(1+tan2)(c)tan2=2tan /(1-tan2)用三角形直观表示如下：图用三角形直观表示如下：图6-半角公式半角公式半角的正弦、余弦和正切公式也称：降幂扩角公式半角的正弦、余弦和正切公式也称：降幂扩角公式或也可表示为：1cossin2(/2)21coscos2(/2)21costan2(/2)1cos7-万能公式万能公式万能公式推导万能公式推导附推导：附推导：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().*，因为因为cos2()+sin2()=1再把再把*分式上下同除分式上下同除cos2()，可得，可得sin2tan2/(1tan2()然后用然后用/2代替代替即可。即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。式可通过正弦比余弦得到。8-三倍角公式三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式(a)sin3=3sin4sin3證明：sin3=sin(+2)=sincos2+cossin2=sin(12sin2)+cos(2sincos)=sin(12sin2)+2sincos2=sin(12sin2)+2sin(1sin2)=3sin4sin3(b)cos3=4cos33cos證明：cos3=cos(+2)=coscos2sinsin2=cos(2cos21)sin(2sincos)=cos(2cos21)2sin2cos=cos(2cos21)2(1cos2)cos=4cos33cos三倍角的正切公式因为：sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos3tantan3所以：tan313tan2三倍角公式推导三倍角公式推导正切三倍角公式推导：证明tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos)上下同除以cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3tan2()正弦三倍角公式推导证明sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4sin3()余弦三倍角公式推导：证明cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos三倍角公式联想记忆三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：正弦三倍角：3元元 减减 4元元3角欠债了角欠债了(被减成负数被减成负数)，所以要，所以要“挣钱挣钱(音似音似“正弦正弦)余弦三倍角：余弦三倍角：4元元3角角 减减 3元减完之后还有元减完之后还有“余余注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。9-积化和差公式积化和差公式积化和差公式推导之一积化和差公式推导之一附推导：附推导：首先首先,我们知道我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理同理,假设把两式相减假设把两式相减,就得到就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的同样的,我们还知道我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以所以,把两式相加把两式相加,我们就可以得到我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理同理,两式相减我们就得到两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样这样,我们就得到了积化和差的四个公式我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2积化和差推导证明之二：10-和差化积公式和差化积公式和差化积的公式推导：和差化积的公式推导：好好,有了积化和差的四个公式以后有了积化和差的四个公式以后,我们我们只需一个变形只需一个变形,就可以得到和差化积的四就可以得到和差化积的四个公式个公式.我们把上述四个公式中的我们把上述四个公式中的a+b设设为为x,a-b设为设为y,则则a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把把a,b分别用分别用x,y表示就可以得到和差化积表示就可以得到和差化积的四个公式的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)11-辅助角公式辅助角公式其中的象限由的符号确定。12-任意三角形面积公式：任意三角形面积公式：C a b h dB c A13-余弦定理：余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。证明：证完14-正弦定理正弦定理 A c O B a Cc为ABC外接圆的直径,同理对边与对角正弦之比相等，且为外接圆的半径的两倍15-海海伦伦公式公式 任意三角形三任意三角形三边边求面求面积积 证明证毕公式a,b,c为三角形的三边，A，B，C为三边所对应的三个角16-特殊的三角函数特殊的三角函数值值 表表 17：其它一些恒等变换的有用公式：也必须熟记：其它一些恒等变换的有用公式：也必须熟记(a)cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2(b)cos=2cos21=12sin2(c)cos2=(1+cos2)/2，sin2=1-cos2)/2