三角函数辅助角公式化简.doc

(完整版)三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简
一、解答题
1．已知函数，
(1）求的对称中心;
（2)讨论在区间上的单调性。

2．已知函数.
（1)将化简为的形式，并求最小正周期;
（2)求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。

3．已知函数．
(1)求的最小正周期；
（2）求在区间上的单调递增区间及最大值与最小值．

4．设函数.
（1）求函数的最小正周期及最大值；
（2）求函数的单调递增区间。

5．已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;
(Ⅱ）求函数在区间上的值域.

6．已知函数。
（Ⅰ)求函数的对称中心;
(Ⅱ)求在上的单调区间。

7．已知函数，求
(1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间
（3）求在区间上的最大值和最小值.

8．设函数.
（1）求的最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性.

9．已知函数，
（I）求的最大值和对称中心坐标;
(Ⅱ）讨论在上的单调性.

10．已知函数。
(1)求 的最小正周期；
（2）若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围。

11．设。
（1）求的单调递增区间;
（2)锐角中，角的对边分别为，若， ， ，求的值.

12．已知函数。
（1)求函数的单调增区间；
（2）的内角，，所对的边分别是，，,若，,且的面积为，求的值.

13．设函数.
(1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值。

14．已知，其中，若的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）锐角三角形中， ，求的取值范围。

15．已知=(sinx，cosx），=（cosφ，sinφ）（|φ|＜)．函数
f（x）=• 且f（－x）=f（x）．
(Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；
（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0， ]上恒成立，求实数a的取值范围．

16．已知向量=（2cos， sin)，=（cos，2cos），（ω＞0），设函数f（x）=•,且f（x）的最小正周期为π．
（1)求函数f(x）的表达式;
(2)求f（x)的单调递增区间．

17．已知函数的部分图象如图所示。
（1） 求函数的解析式；
（2） 如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象, 写出变换过程;
(3） 若，求的值。

18．已知函数
（1）求函数在上的单调递增区间;
（2）若且,求的值。

19．已知，
（1）求函数的单调递增区间;
(2）设△ABC的内角A满足,而,求边BC的最小值．

20．已知函数
(1）求的最小正周期和最大值；
(2）讨论在上的单调性．

21．已知 ，求：
（1)的单调增区间；
（2）当时，求的值域.

22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为。
（1）求的值;
（2)函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间。

23．已知函数。
（1）求函数的递减区间；
(2）当时，求函数的最小值以及取最小值时的值.

24．已知函数。
（1）求函数的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变）,然后把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象,求函数的表达式.

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参考答案
1．（1）对称中心为， ;（2)增区间为，减区间为.
【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．
试题解析：1）由已知
令,得，对称中心为, .
(2)令，
得， ,增区间为
令，
得, ,增区间为
上的增区间为，减区间为。
2．（1） , ;（2）时， ， 时， 。
【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x)的范围,结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．
试题解析：
(1)

所以。
（2)因为，所以
所以，所以,
当,即时， ，
当，即时， 。
3．(1) （2) 最大值为-2,最小值为1．
【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据求周期;（2)先求出函数的单调递增区间，再求其与区间的交集即可；根据的取值范围确定函数在上的最大值与最小值.
试题解析：
（1）

．
所以的最小正周期．
(2)令，函数的单调递增区间是, ．
由，得, ．
设， ,易知．
所以,当时， 在区间上单调递增。
∵，
∴，
∴,
∴
∴最大值为2,最小值为—1．
点睛:解题的关键是将函数化成f(x）＝Asin(ωx＋φ）的形式后，把ωx＋φ看成一个整体去处理,特别是在求单调区间的时候,要注意复合函数单调性规律“同增异减”, 如果ω〈0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
4．（1),最大值为1（2）
【解析】试题分析：（1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及最大值；(2）根据正弦函数性质列不等式，解得函数的单调递增区间。
试题解析：解:
（1）
当
即时
取最大值为1
（2）令
∴的单调增区间为
5．(1)答案见解析；(2) .
【解析】试题分析：
（1)整理函数的解析式可得，则函数的最小正周期为;对称轴方程为；
(2）结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为.
试题解析：
（1）

由
函数图象的对称轴方程为
（2)
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减,
所以 当时， 取最大值 1
又 ,当时， 取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
6．（1) （2)
【解析】试题分析：（1） ，令解得x即可(Ⅱ) 求在上的单调区间，则令解得x，对k赋值得结果。
试题解析：
(Ⅰ）
令，得,
故所求对称中心为
(Ⅱ)令，解得
又由于，所以
故所求单调区间为.
点睛:三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成 类型，把wx+ 看成整体进行分析。
7．（1）；（2）单调递增区间为；（3）， .
【解析】试题分析：（1)由和差角公式及二倍角公式化简得： ，进而得最小正周期;
（2）由可得增区间；
(3）由得，根据正弦函数的图象可得最值。
试题解析：
（1)
.
的最小正周期。
（2）由
解得
函数的单调递增区间为
（3）

当时， ，
当时， ， 。
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1）一看“角”,这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
(3）三看“结构特征”，分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8．（1）（2）在区间上单调递增,在区间上单调递减。
【解析】试题分析:（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求上单调区间，即得在区间上的单调性.
试题解析：（1）

（2)令，解得（)
∵，∴ 在区间上单调递增,在区间上单调递减。
9．(Ⅰ) 最大值为，对称中心为： ；（Ⅱ） 递增区间: 和；递减区间： 。
【解析】试题分析：（1)由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为，可知最大值为2,对称中心由，解得x可求。(2）先求得f(x)最大增区间与减区间，再与做交，即可求得单调性。
试题解析:（Ⅰ) ，所以最大值为，由,解得x=,r所以对称中心为： ；
(Ⅱ)先求f(x)的单调增区间，由，解得，在上的增区间有和。
同理可求得f(x)的单调减区间,，在上的减速区间有。
递增区间： 和；递减区间: 。
10．（1) ；（2） 的取值范围为
【解析】试题分析：
(1）由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f(x）＝2sin，结合三角函数的周期公式可知T＝π。
(2）原问题等价于，结合函数的图象可得或，求解不等式可得a的取值范围为。
试题解析:
（1)f(x）＝2cosxcos（x－ ）－ sin2x＋sinxcosx
＝ cos2x＋sinxcosx－ sin2x＋sinxcosx
＝ cos2x＋sin2x
＝2sin,
∴T＝π.
(2)
画出函数在x∈的图像,由图可知或
故a的取值范围为。
11．（1）(2）
【解析】试题分析：(1）由三角恒等变换化简得,由可解得增区间（2） 由得， ，由余弦定理得，即 即得
试题解析：
（1）由题意知 ，
由 可得
所以函数 的单调递增区间是
（2)由得,又为锐角，所以.
由余弦定理得： ，即,
即 ，而，所以
12．（1） 函数的单调增区间为 ；（2） 。
【解析】试题分析：（1）由化一公式得，，得结果;
(2)，∴，再由余弦定理得。
化简可得：
.
(1）由，.
得：.
∴函数的单调增区间为，.
(2）∵，即。
∴。
可得，。
∵，
∴。
由,且的面积为，即。
∴.
由余弦定理可得:.
∴.
13．(1)， （2)a最小值为1。
【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；(2）由得
到,；由余弦定理得 最小为1；
（1）
=
的最大值为2．
要使取最大值 ,
故的集合为 .
（2) ，
化简得 ，
，只有
在 中，由余弦定理， ，
由 当 时等号成立， 最小为1。
点睛:（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；
(2）巧妙利用三角函数值求得角A，再利余弦定理得边的关系，得到最值;
14．(1）（2）
【解析】试题分析：(1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数： ,再根据正弦函数周期性质求，并根据单调性性质求单调增区间(2）先根据正弦定理将边化为角,由诱导公式及两角和正弦公式化简得,即得,根据锐角三角形得A取值范围，根据正弦函数性质求的取值范围。
试题解析：（1），最小正周期为，
∴，令，即，
∴的单调递增区间为。
（2）∵,∴，
整理得： ， ， ，∵锐角三角形，∴且，
∴，∴，∴.
15．（Ⅰ)f(x)=sin(x+)，；（Ⅱ） .
【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到，再由f（-x)=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称,所以+φ=+kπ,进而得到φ=,利用三角函数的性质求解单调区间即可；
（2）将f(x）的图象向右平移单位得g（x）= sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈［0,］上恒成立，利用数形结合分别研究h（x）=sinx—cosx和φ(x）= ax—1即可.
试题解析：
(Ⅰ）∵f（x）=•=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ),
再由f（-x)=f（x）可知函数f(x)的图象关于直线x=对称,
∴+φ=+kπ，k∈Z,又|φ｜＜，∴φ=
∴f（x）=sin（x+),
由2kπ—≤ x+≤2kπ+可得2kπ—≤x≤ 2kπ+,
∴函数的递增区间为［2kπ-,2kπ+］,k∈Z；
（Ⅱ)由图象平移易知g（x）=sinx,即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，］上恒成立．
也即sinx—cosx≤ax-1在x∈［0，］上恒成立。
令h（x）=sinx—cosx=sin（x-)，x∈[0,］；
φ（x）= ax—1
如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，

则: a ≥kAB==，故.
16．（1）f（x)=2sin（2x+)+1;(2）单调递增区间为[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z．
【解析】试题分析:（1）先根据向量数量积得函数关系式，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数,最后根据正弦函数性质求 (2）根据正弦函数性质列不等式: ，再解不等式可得增区间
试题解析：解：（1）向量=（2cos,sin），=（cos，2cos），（ω＞0），
则函数f（x)=•=2cos2+2sin•cos=cosωx+1+sinωx=2sin(ωx+）+1,
∵f(x）的最小正周期为π，
∴π=．解得ω=2，
∴f(x）=2sin（2x+)+1；
(2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z,
即﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f(x）的单调递增区间为［﹣+kπ，+kπ］，k∈Z．
17．(1）(2）见解析（3）
【解析】试题分析:（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得ω,由五点作图的第三点求；
（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；
（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案．
试题解析：
解：（1）。
（2）法1：先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.
法2:先将的图象纵坐标不变,横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，，所得图象即为的图象.
（3）由,
得: ，
而。
点睛：图象变换
(1）振幅变换
（2)周期变换
(3)相位变换
(4）复合变换

18．（1)和。(2)。
【解析】试题分析：
整理函数的解析式为.
（1）利用正弦函数的单调性可得函数在上的单调递增区间是和。
(2）由题意可得，则。
试题解析：
.
（1)令
得
所以函数在上的单调递增区间为和。
（2）因为，所以
因为，所以
所以
=
19．（1);(2)
【解析】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得
（1）令，解不等式可得答案；（2）由
及0＜A＜π可得,利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC中，从而可求
试题解析:(1)=
由得，
故所求单调递增区间为．
(2）由得，
∵，即，∴bc=2，
又△ABC中， =，
∴
20．(1）π， 1－(2)在［，]上单调递增；在［，］上单调递减．
【解析】试题分析：
(1）整理函数的解析式，则函数的最小正周期为,最大值为；
(2)结合(1）中函数的解析式和三角函数的性质可得函数在上单调递增；在上单调递减．
试题解析：
(1)f（x）＝cosxsinx－cos2x
＝cosxsinx－ (1＋cos2x）
＝sin2x－cos2x－
＝sin（2x－）－，
因此f（x)的最小正周期为π，最大值为 1－
（2)当x∈[，］时，≤2x－≤.
易知当≤2x－≤，即≤x≤时，f（x）单调递增，
当≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
所以f（x）在［，]上单调递增;在[，］上单调递减．
21．（1）(2）［0，3］
【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求单调增区间；（2)根据自变量范围求范围,再根据正弦函数性质求值域
试题解析：

(1）由,得，

函数的单调增区间为.
（2）因为, ，
， .
22．（1)（2)
【解析】试题分析：（1）由两相邻对称轴间的距离为可得半个周期为。进而求出,由偶函数可得，由三角函数恒等变形可得.代入自变量即得的值;（2）先根据图像变换得到的解析式.再根据余弦函数性质求的单调递减区间。
试题解析： 解：（1)∵为偶函数，
∴对恒成立，∴。
即：
又∵,故.
∴
由题意得，所以
故，∴
(2）将的图象向右平移个单位后,得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象。
∴。
当，
即时，单调递减,
因此的单调递减区间为。
点睛:三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”,但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数;函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.
23．（1） 的递减区间为;(2）当时， 取最小值为.
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式，据此可得的递减区间为；
(2）结合（1)中函数的解析式讨论函数的单调性，然后结合三角函数的性质可得当时， 取最小值为.
试题解析：
（1）

要求函数的递减区间，只需满足
，即，
所以, 的递减区间为
（区间开闭均可,不写扣1分，不写成区间扣2分）
(2）由（1）知 ，
而，所以， ,
当时, 单调递减，
当时， 单调递增，
所以，当，即时,
取最小值为.
24．(1）；（2).
【解析】试题分析：（1）将函数化为,求出对称中心和单调递减区间；(2)由函数图象的伸缩变换和平移变换变换得到函数的图象.
试题解析;（1) ， 令得， ，所以，即的对称中心为
由得， ，
所以函数的单调递减区间为。
(2） 由（1），,将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变),得到，将其向左平移个单位长度,得到函数的图象，则，即.
答案第18页，总19页