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几种递推数列通项公式的求法
几种递推数列通项公式的求法
递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式，依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一是由递推关系求通项公式.下面是常见的递推数列及其通项公式的求法．
1　 一阶线性递推数列求通项问题
　　一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
（1）
这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和).
　　　　当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时，则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０．
（2）
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积).
　　当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．
（3）；
这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式.
［例１］已知数列中，,求的通项公式．
［解析］解法一．转化为型递推数列．
∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．
解法二．转化为型递推数列．
∵=2xn-1+1(n≥2)　　①　　∴=2xn+1　　②
②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x2-x1=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．
解法三．用迭代法．
当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
［例２］已知函数的反函数为
求数列的通项公式.
[解析]由已知得，则．
令=,则.比较系数，得.
即有．∴数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列，∴，故．
［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之．
（4）
若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之.
（5）；
这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式.
［例３］设数列求数列的通项公式．
［解析］∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．
［例４］设求数列的通项公式．
［解析］设用代入，可解出．
∴是以公比为-2，首项为的等比数列．
∴，
即．
（6）
这类数列可取对数得，从而转化为等差数列型递推数列.
2　 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列　
［例５］设数列求数列的通项公式．
［解析］由可得

设
故即用累加法得
　或

［例６］在数列求数列的通项公式．
［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．
令使数列是以 为公比的等比数列(待定)．
即∴对照已给递推式， 有即的两个实根．
从而
∴　　①
或　　②
由式①得；由式②得．
消去．
［例７］在数列求．
［解析］由　①，得　　②．
式②+式①，得，从而有．∴数列是以６为其周期．故==-1．
3　 特殊的n阶递推数列
［例８］已知数列满足，求的通项公式．
［解析］∵　　 ①
　　　∴ ②
②－①，得．∴故有
将这几个式子累乘，得
又
［例9］数列｛｝满足，求数列｛｝的同项公式．
［解析］由 ①，得 ②．
式①－式②，得，或，故有.
∴,.
将上面几个式子累乘，得，即．
∵也满足上式，∴．
以上就是常见的一些递推数列及其通项公式的一般求法．这些知识是拓展性的，超出了课本的要求范围，但它们在高考题中时常会见到，有时是以证明题形式出现，如果比较系统地掌握了这些知识，解答这类题目就容易把握．
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