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数列通项公式的求法

1．前n项和法（知求）
例1、已知数列的前n项和，求数列的前n项和
变式：已知数列的前n项和，求数列的前n项和
答案： ；变式：
练习：
1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：
2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：
3、设数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足，
求数列的通项公式。。答案：

2.形如型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.
例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足,证明
证明：由已知得：

= .
例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.
答案：
例3.已知数列满足，，求此数列的通项公式.
答案：
评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
3.形如型（累乘法）
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例1、在数列中 ，求数列的通项公式。答案：
练习：
1、在数列中 ，求。答案：
2、求数列的通项公式。
解答：由已知当，
N-1个式子累乘，得到当n=1，也满足，所以

4.形如型（取倒数法）
例1. 已知数列中，，，求通项公式
解：取倒数：

练习：1、若数列中，,,求通项公式.答案：
2、若数列中，，，求通项公式.答案：

5．形如,其中)型（构造新的等比数列）
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设,利用待定系数法求出A
例1．已知数列中，求通项.
分析：待定系数法构造构造新的等比数列。
解：由设,解出A=-1,
则所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列
所以,即 .
练习：1、若数列中，,,求通项公式。答案：
2、若数列中，,,求通项公式。答案：

6.形如型（构造新的等比数列）
(1)若一次函数(k,b是常数，且)，则后面待定系数法也用一次函数。
例题. 在数列中，，,求通项.
解：原递推式可化为
比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为.
即：，故.
练习：1、已知数列中，，，求通项公式
答案：

(2)若(其中q是常数，且n0,1)
①若p=1时，即：，累加即可
②若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。
两边同除以 . 即： ,
令,则可化为.然后转化为类型5来解，
例1. 在数列中，，且．求通项公式
解：由得 .
设，则b. 即：,
所以是首项为，公比为的等比数列.
则=,
即：,故
评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.

练习：
1、已知数列中，，，求通项公式。答案：
2、已知数列中，，，求通项公式。答案：

7.形如(其中p,q为常数)型
（1）当p+q=1时 用转化法
例1.数列中，若,且满足,求.
解：把变形为.
则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则
利用类型6的方法可得 .
（2）当时 用待定系数法.
例2. 已知数列满足，且,且满足,求.
解：令,即,与已知
比较，则有,故或
由来运算，即有,
则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故
,即 ①
由来运算，即有,
则数列是以为首项，2为公比的等比数列，故
,即 ②
由①②可得.
评注：形如的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程的二根为,设,再利用的值求得p,q的值即可.

练习：1、若数列中，,，，求通项公式
答案：
2、若数列中，,， ，求通项公式
书本P69第6题，答案：

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