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数列通项公式的常见求法

数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列的方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点，一般常出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩。下面本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行较为系统的总结，希望能对同学们有所帮助。
一.公式法
高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
1、等差数列公式
例1、（2011辽宁理）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10
（I）求数列{an}的通项公式；
解：（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得
解得
故数列的通项公式为
2、等比数列公式
例2.（2011重庆理）设是公比为正数的等比数列，，。
（Ⅰ）求的通项公式
解：I）设q为等比数列的公比，则由，
即，解得（舍去），因此
所以的通项为
3、通用公式
若已知数列的前项和的表达式，求数列的通项可用公式
求解。一般先求出a1=S1，若计算出的an中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式。
例3、已知数列的前n项和，求的通项公式。
解：，当时

由于不适合于此等式 。 ∴
二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法
1、叠加法
一般地，对于型如类的通项公式，且的和比较好求，我们可以采用此方法来求。
即：；
例4、（2011四川理8）数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0 B．3 C．8 D．11
解：由已知知由叠加法

例5、 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：（1）由题知：

2、叠乘法
一般地对于形如“已知a1，且=f（n）（f（n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：；
例6、在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。
解：由(n+1)·=n·得，
=··…= 所以
3、构造法
当数列前一项和后一项即和an-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。
（1）、待定系数法
①、一般地对于an =kan-1 +m(k、m为常数）型，可化为的形式an +λ=k(an-1 +λ).重新构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求λ，然后再求。
例7、（2011广东理）设b>0,数列满足a1=b，.
（1）求数列的通项公式；
解：，得，
设，则，
（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，
即，∴
（ⅱ）当时，设，则，
令，得，，
知是等比数列，，又，
，．
②、对于这种形式,一般我们讨论两种情况：
i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为型，可化为的形式来求通项。
例8.设数列中，，求的通项公式。
解：设

与原式比较系数得：
即
令

ii、当f(n)为指数幂时，即数列递推关系为（A、B、C为常数，）型，可化为=）的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求
例9.（2003年全国高考题）设为常数，且（），
证明：对任意n≥1，
解：证明：设
用代入可得
∴ 是公比为，首项为的等比数列，
∴ （），
即：
当然对于这种形式递推关系求时，当A=C时，我们往往也会采取另一种方法，即左右两边同除以Cn +1,重新构造数列，来求。
例10、（2007天津理）在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
解：由，，
可得，
所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
（2）、倒数法
一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
例11.已知数列满足：，求的通项公式。
解：原式两边取倒数得：

即
例12、（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）在数列{}中，，并且对任意都有成立，令．
（Ⅰ）求数列{}的通项公式 ；
解：（1）当n=1时，,当时，
由 ，等式两边取倒数得：所以
所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为
（3）、对数法
当数列和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：anp = man-1q（其中m、p、q为常数）等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构造数列进行求解。
例13、（2006山东）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
解：（1）由已知，

，两边取对数得
，
即
是公比为2的等比数列.
例14、若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁（2002年上海高考题）.
解 由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列， ，即.
（4）、特征方程法
①、一般地对于形如已知an+2=A an+1 +B an (A、B是常数）的二阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。
法一：可用特征方程的方法求解：
我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程
（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）p、q时，有：，其中c1与c2由已知确定。
（ii）当方程有唯一的实根p时，有，其中c1与c2由已知确定。
法二：可构造成，则{}为等比数列，进而求通项公式，这种方法过程较为繁杂。
例15、已知 a 1 =2， a 2 =3，，求通项公式。
解法一：特征方程的根为1，所以an = (c1 n+c2)×1n
由：得c1 = c2 = 1，所以an = n + 1。
解法二：设，可得x 1 = x 2 = 1，于是{an+1－an }是公比为1的等比数列，an+1－an = 1，所以an = n + 1。
例16．已知数列满足，求数列的通项。
解：其特征方程为，解得，令，
由，得， ．

例17、（2009陕西卷文）已知数列满足， .
令，证明：是等比数列；
(Ⅱ)求的通项公式。
解：（1）证明：
当时，
所以是以1为首项，为公比的等比数列。
（2）解由（1）知
当时，

当时，。
所以。
本题也可以用特征方程来证明,同学们不妨自己试试。
②、一般地形如：（a、b、c、d为常数）
可得到相应的特征方程：，再将其变为，通过该方程的根的情况来重新构造数列。
（i）如果方程有两个相异的实根，则有数列是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）如果方程有两个相同的实根，则数列是以为首项，为公差的等差数列。
例18、（2009江西理22）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有
（1）当时，求通项
解：（1）由得
将代入化简得

构造方程(a=2,b=1,c=1,d=2)化简得：x2=1解得x=1和-1.

所以数列为等比数列，
所以
从而：即
可验证，满足题设条件.
例19已知数列满足，求数列的通项．
解：其特征方程为，化简得，解得，令
由得，可得，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，，．
三 、当题中给出的是Sn 和的关系时，我们一般通过作差法结合an = Sn－Sn－1 这个通用公式对原等式进行变形，消掉Sn得到和an+1的递推关系，或消掉得到Sn 和Sn－1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。
例20、（2007湖北理19）已知数列的前项和为，且满足：， N*，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
解：（I）由已知可得，两式相减可得

即
又所以r=0时，
数列为：a，0，…，0，…；
当时，由已知（），
于是由可得，
成等比数列，
，
综上，数列的通项公式为
例21：（2007重庆理）已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且

（1）求{}的通项公式；
解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝Sn+1- Sn＝，
得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。
例22.（2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。
解：（I）由及，有
由，．．．① 　则当时，有．．．．．②
②－①得
又，是首项，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得，
数列是首项为，公差为的等比数列．
，
四、猜想法
当我们在求数列通项时没想到比较好的方法时，猜想法不失为一种权宜之计。运用猜想法解题一般涉及到三个步骤：（1）利用所给的递推式求出……，（2）猜想出满足递推式的一个通项公式，（3）用数学归纳法证明猜想是正确的。
例23、（2007天津理）在数列中，，其中．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
解：，
，
．
由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时等式成立，即，
那么
．
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
总结：数列通项的求解是高考考查的重点。随着素质教育的推行和新课程改革，近年来高考试题的难度有所降低，所以数列通项的求解也不会太繁杂，同学们谨记：较为简单的试题我们往往直接用等差或等比数列公式就能求出数列的通项公式，稍微复杂的试题往往需要对数列进行变形和重新构造再进行求解，当然实在没办法的话，同学们不妨试试猜想法。