数列通项公式的求法13种.doc

最全的数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一、直接法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.
(注意：求完后一定要考虑合并通项)
例2．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式.
②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.
③ 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。
③解析：由题意，，又是等比数列，公比为
∴，故数列是等比数列，，
∴
三、归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。
四、累加（乘）法
对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
例4. 若在数列中，，，求通项。
例5. 在数列中，，（），求通项。
五、取倒（对）数法
a、这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解
b、数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出
c、解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。
例6.．设数列满足求
例7 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，
则 是以2为公比的等比数列，.
，，， ∴
变式:
1.已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝
求数列｛an｝的通项公式；
2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。
3、已知数列{}满足时，，求通项公式。
4、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。
5、若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．
六、迭代法
迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.
七、待定系数法：
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。
例9、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。
说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{ a－2}，从而达到解决问题的目的。
练习、1数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。
2、已知数列满足，且，求．

2、递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．
、例10．已知数列满足， ，求．
解：将两边同除，得
设，则．令
．条件可化成，数列是以为首项，
为公比的等比数列．．因,
．
3、形如
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。
例11:设数列：，求.
解：令
化简得：
所以解得 ，所以
又因为，所以数列是以5为首项，3为公比的等比数列。
从而可得
4、形如
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,z.从而转化为是公比为的等比数列。
例12:设数列：，求.

八：不动点法，形如
解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。
例15：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
九：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得

即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例18. 已知数列满足，，求 。
解析：设，∵ ，
∴ ，，…，
总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。

十、双数列
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例19. 已知数列中，；数列中，。当时，
,，求,.
解：因
所以
即…………………………………………（1）
又因为
所以……
.即………………………（2）
由（1）、（2）得：，
十一、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例20：若数列满足，若，则的值为___________。
变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列满足，则= （ ）
A．0 B． C． D．
十二、分解因式法
当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.
例21.已知数列满足（n∈），且有条件≥2）.
解：由得：
对n∈，再由待定系数法得：
∴
十三、循环法
数列有形如的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出
例22.．在数列中，
解：由条件
即
即每间隔6项循环一次.1998=6×333，
∴

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.