高考第一轮复习数学：9.3直线与平面垂直.doc

直线与平面垂直

●知识梳理
1.如果一条直线与平面相交并且与平面内的所有直线都垂直，那么就说这条直线与这个平面垂直.
2.直线与平面垂直的判定：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
3.直线与平面垂直的性质：如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线平行.
●点击双基
1.“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案：B
2.给出下列命题，其中正确的两个命题是
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行 ②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 ③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α ④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析：①错误.如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.②正确.如下图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连结BG、GD.

设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD.
∴EH∥平面β，HF∥平面β.∴平面EHF∥平面β∥平面α.
∴EF∥α，EF∥β.
③错误.直线n可能在平面α内.
④正确.如下图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的.

答案：D
3.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S—EFG中必有
A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG C.FG⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF
解析：注意折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG.选A.
答案：A
4.在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件_____________时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

答案：A1C1⊥B1D1或四边形A1B1C1D1为菱形等
5.设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则

（1）A点到CD1的距离为________；
（2）A点到BD1的距离为________；
（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________；
（4）A点到面A1BD的距离为_____________；
（5）AA1与面BB1D1D的距离为__________.
答案：（1） （2） （3） （4） （5）
●典例剖析
【例1】 已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，O、A为垂足.求证：a∥b.

证明：以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系，i、j、k为坐标向量，直线a、b的向量分别为a、b.设b=（x，y，z），∵b⊥α，∴b·i=x=0，b·j=y=0，b=（0，0，z）=zk.∴b∥k，a∥b.
评述：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用.
【例2】 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.

证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC.
又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC.
思考讨论
证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”.
【例3】 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求证：A1B⊥B1C.

证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1.
∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1.
连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，
∵A1B⊥AC1，
∴A1B⊥AD1.取AB的中点D，连结CD、B1D，则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影.
∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C.
思考讨论
证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理.
●闯关训练
夯实基础
1.PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是
A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC
解析：由三垂线定理知AC⊥PB，故选C.
答案：C
2.△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为_____________.
解析：如下图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连结CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=（A′A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，

在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3.
答案：3 cm
3.Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C1的形状是_____________三角形.
解析：根据两平行平面的性质及平行角定理，知△A1B1C的形状仍是Rt△.
答案：直角
4.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD.

证明：连结MO.
∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1.
又A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB.
在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=，tan∠MOC=，∴∠AA1O=∠MOC，
则∠A1OA+∠MOC=90°.∴A1O⊥OM.
∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD.
5.在三棱锥S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD上，点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求证：SC⊥截面MAB.
证明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SC.连结MD.∵∠MDC=
∠NSC，∴DM⊥SC.∵AB∩DM=D，∴SC⊥截面MAB.
培养能力
6.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值.

解：∵P是定点，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可.
要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可.
∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4.
∴CM=AC·sin60°=4·=2.∴PM===2.
7.如下图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，

求证：（1）BC⊥平面PAB；
（2）AE⊥平面PBC；
（3）PC⊥平面AEF.
证明：（1）PA⊥平面ABC
BC⊥平面PAB.
PA⊥BC
AB⊥BC
PA∩AB=A
AE⊥平面PBC.

（2）AE平面PAB，由（1）知AE⊥BC
AE⊥PB
PB∩BC=B
PC⊥平面AEF.
（3）PC平面PBC，由（2）知PC⊥AE
PC⊥AF
AE∩AF=A
8.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.
（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.
（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.
分析：本题第（1）问是寻求BD⊥平面PAC的条件，即BD垂直平面PAC内两相交直线，易知BD⊥PA，问题归结为a为何值时，BD⊥AC，从而知ABCD为正方形.
（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC.

又∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.
故当a=2时，BD⊥平面PAC.
（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.
∵ABMN和DCMN都是正方形，
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM.
（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，
∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.
因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.
评述：本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此，立体几何解题中，要注意有关的平面几何知识的运用.事实上，立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.
探究创新
9.正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起（如下图），使A、C点重合于A′点.
（1）证明：A′D⊥EF；
（2）当F为BC的中点时，求A′D与平面DEF所成的角；
（3）当BF=BC时，求三棱锥A′—EFD的体积.

（1）证明：∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，

∴A′D⊥平面A′EF.∴A′D⊥EF.
（2）解：取EF的中点G，连结A′G、DG.
∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴EF=.
又∵A′E=A′F=1，∴∠EA′F=90°，A′G⊥EF，得A′G=.
∵A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′，
∴EF⊥平面A′DG.∴平面DEF⊥平面A′DG.
作A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF，∴∠A′DG为A′D与平面DEF所成的角.
在Rt△A′DG中，A′G=，A′D=2，
∴∠A′DG=arctan.
（3）解：∵A′D⊥平面A′EF，∴A′D是三棱锥D—A′EF的高.
又由BE=1，BF=推出EF=，可得S=，
VA′－EFD=VD－A′EF=·S·A′D=··2=.
●思悟小结
1.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.
2.注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.
3.运用三垂线定理及其逆定理的关键在于确定斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影.
●教师下载中心
教学点睛
1.使学生熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理.
2.通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法.
拓展题例
【例1】 （2003年全国）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别是其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是_____________.

解析：对①，易用三垂线定理证明l⊥MN，l⊥PM，故l⊥平面MNP；对②，易知l⊥平面ABC，但点M、N位于该平面的两侧，故平面MNP不平行平面ABC，从而l不垂直平面MNP；同理，③也不垂直；对④，易证l⊥MN，l⊥MP，故④正确；对⑤，易知平面MNP∥平面ABC，而l⊥平面ABC，故⑤正确.
答案：①④⑤
【例2】 （2004年春季上海）如下图，点P为斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.

（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
（1）证明：∵CC1∥BB1CC1⊥PM，CC1⊥PN，
∴CC1⊥平面PMNCC1⊥MN.
（2）解：在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，有S=S2+S2－2S·Scosα，其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角.
∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP.
在△PMN中，PM2=PN2+MN2－2PN·MNcos∠MNPPM2CC12=PN2CC12+MN2CC12－
2（PN·CC1）·（MN·CC1）cos∠MNP.
由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，S=PM·BB1，
∴有S=S2+S2－2S·Scosα.