2022版高考数学一轮复习-第七章-立体几何-第五讲-直线、平面垂直的判定与性质学案-新人教版.doc

2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第五讲 直线、平面垂直的判定与性质学案 新人教版2022版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第五讲 直线、平面垂直的判定与性质学案 新人教版年级：姓名：第五讲直线、平面垂直的判定与性质知识梳理双基自测知识点一直线与平面垂直(1)直线与平面垂直定义：若直线l与平面内的_任意_一条直线都垂直，则直线l与平面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条_相交_直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)即：a，_b_，la，lb，abPl.性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_平行_.即：a，b_ab_.(2)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_锐角_，叫做这条斜线和这个平面所成的角若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为_0_，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为_.线面角的范围：.知识点二平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的_两个半平面_所组成的图形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱_垂直_的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的范围：0，(2)平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角_，就说这两个平面互相垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即：a，a_.性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_交线_的直线与另一个平面垂直即：，a，b，ab_a_.1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)3垂直于同一条直线的两个平面平行4一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若直线a，b，则ab.()(4)若，a，则a.()(5)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()题组二走进教材2(多选题)(必修2P73T1)下列命题中正确的是(ABC)A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的题组三走向高考3(2017课标全国)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(C)AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC解析A1B1平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，A1B1BC1，又BC1B1C，且B1CA1B1B1，BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，BC1A1E.故选C4(2019北京)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_若l，lm，则m.(或若l，m，则lm)_.解析由l，m是平面外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l，lm，则m，若l，m，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得lm，若l，m，则lm，故答案为：若l，lm，则m.(或若l，m，则lm)5(2020全国(节选)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F.证明M，N分别为BC，B1C1的中点，MNBB1又AA1BB1，MNAA1在等边ABC中，M为BC中点，则BCAM.又侧面BB1C1C为矩形，BCBB1MNBB1，MNBC由MNAMM，MN，AM平面A1AMNBC平面A1AMN又B1C1BC，且B1C1平面ABC，BC平面ABC，B1C1平面ABC又B1C1平面EB1C1F，且平面EB1C1F平面ABCEFB1C1EF，EFBC又BC平面A1AMNEF平面A1AMNEF平面EB1C1F平面EB1C1F平面A1AMN.考点突破互动探究考点一空间垂直关系的基本问题自主练透例1 (1)(2021河北保定七校联考)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，p：mn，若p是q的必要条件，则q可能是(B)Aq：m，n，Bq：m，n，Cq：m，n，Dq：m，n，(2)(2019陕西汉中质检一)已知l，m表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，l，m，则有下面四个命题：若，则lm，若，则lm；若lm，则；若lm，则.其中所有正确的命题是(A)ABCD(3)(多选题)(2021四川成都诊断改编)已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法错误的是(ABD)A若m，n，且，则mnB若m，n，且，则mnC若m，n，且，则mnD若m，n，且，则mn解析(1)由题知q能推出p：mn.对A，当mn时仍然可以有m，n，.故A错误对B，n，则n，又m，则mn.故B正确对C，m，则m，又n，故mn.故C错误对D，当且相交于m时，若nm，也满足m，n.故D错误lm，对；，对；由图可知错故选A(3)由m，n，且，得mn或m与n相交，或m与n异面，故A错误；由m，n，且，得mn或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m，得m，又n，则mn，故C正确；由m，n且，得mn或m与n相交或m与n异面，故D错误，故选A、B、D名师点拨解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法：(1)依据相关定理得出结论(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断，或借助笔、纸、桌面进行演示，注意能平移或旋转的线，让其动动再判断(3)否定命题时只需举一个反例即可变式训练1(1)(2021东北三省三校模拟)已知，是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m的一个充分条件是(C)Amn，nBm，Cn，n，mDn，mn(2)(2021福建福州调研)已知两条直线m，n和两个平面，下列命题正确的是(A)A若m，n，且mn，则B若m，n，且mn，则C若m，n，且mn，则D若m，n，且mn，则解析(1)对于答案A：mn，n，得出m与是相交的或是垂直的，或m，故A错；答案B：m，得出m与是相交的、平行的都可，故B错；答案C：n，n，得出，再m得出m，故C正确n或n.若n，又n，；若n，则存在l且ln，又n，l，故A正确；事实上，在B中条件下，、可能相交；在C中条件下，、可能平行；在D的条件下，故选A考点二直线与平面垂直的判定与性质多维探究角度1线、面垂直的判定例2 如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD证明解法一：(1)连接AC，AN ，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点ANPCPA平面ABCD，PABC又BCAB ，PAABA，BC平面PAB，BCPB从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BNPCANBN，ABN为等腰三角形又M为底边AB的中点，MNAB，又ABCD，MNCD(2)PA平面ABCD，PAAD又PDA45，APAD四边形ABCD为矩形，ADBC，PABC连接PM，CM，又M为AB的中点，AMBM.而PAMCBM90，RtPAMRtCBM.PMCM，又N为PC的中点，MNPC由知MNCD，PCCDC，MN平面PCD解法二：PA平面ABCD，PAAD，PAAB，又ABAD，PA、AB、AD两两垂直，如图建立空间直角坐标系，不妨设C(a，b,0)，P(0,0，c)，则D(0，b,0)，M，N，(1)由，(a,0,0)，0，MNCD(2)PDA45，bc，又(a，b，b)，(a，b，b)0，MNPC，又MNCD，MN平面PCD角度2线、面垂直的性质例3 (2021河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1平面AA1C1C，D是AA1的中点，ACD是边长为1的等边三角形证明：CDB1D证明ACD是边长为1的等边三角形，ADC60，DA1C1120.D是AA1的中点，ACD的边长为1，ADA1DA1C11，即A1C1D是等腰三角形，A1DC130，从而CDC190，即CDC1DB1C1平面AA1C1C，且CD平面AA1C1C，B1C1CDB1C1C1DC1，B1C1平面B1C1D，C1D平面B1C1D，CD平面B1C1DB1D平面B1C1D，CDB1D名师点拨1证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系(2)利用等腰三角形底边中线的性质(3)利用勾股定理的逆定理(4)利用直线与平面垂直的性质(5)向量法：abab0.2证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面(3)利用面面垂直的性质：两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面(4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行变式训练2(1)(角度1)(2020河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABCA1B1C1为三棱柱，且AA1平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD2CDADC60，若AA1AC，求证：AC1平面A1B1CD(2)(角度2)(2021湖南炎德英才大联考，节选)如图，圆柱OQ的上，下底面圆的圆心分别为Q，O，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的下底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的直径AB4，母线ADAP2.求证：AGBD证明(1)证法1：AD2CD，ADC 60，DCAC，又AA1平面ABC，AA1DCDC平面AA1C1C，又AC1平面AA1C1C，DCAC1，AA1AC，四边形AA1C1C为菱形，AC1A1C，而DCA1CC，AC1平面A1B1CD证法2：AD2CD，ADC60，ACD90，则CD，CA，CC1两两垂直如图，建立空间直角坐标系Cxyz.不妨设CD1，则C(0,0,0)，D(1,0,0)，A(0，0)，C1(0,0，)，A1(0，)(0，)，(1,0,0)，(0，)易得0，0.AC1CD，AC1CA1，又CDCA1C，AC1平面A1B1CD(2)证法1：ADAP，又G是DP的中点，AGDP.AB为圆O的直径，APBP，易知DA底面ABP，DABP，而ADAPA，BP平面ADP，又AG平面ADP，BPAG，由可知：AG平面BDP，又BD平面BDP，AGBD证法2：AB为O的直径，PAPB，如图建立空间直角坐标系，由题意知P(0,0,0)，A(0,2，0)，B(2,0,0)，D(0,2，2)，G(0，)，(0，)，(2,2，2)，0，即AGBD考点三两个平面垂直的判定与性质师生共研例4 (2020四川成都二诊)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，AA16，E，F分别为BB1，AC的中点(1)求证：平面A1EC平面ACC1A1；(2)求几何体AA1EBC的体积解析(1)证明：如图，连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为矩形，所以OAOC1.又因为F为AC的中点，所以OFCC1且OFCC1.因为E为BB1的中点，所以BECC1且BECC1.所以BEOF且BEOF.所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE.因为ABCB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC因为AA1底面ABC，所以AA1BF，所以OEAA1.又AA1，AC平面ACC1A1，且AA1ACA，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.(2)四棱锥A1EB1C1C的高为h4sin 602，底面为直角梯形，面积为S(36)418，得VA1EB1C1C21812，故几何体AA1EBC的体积为VAA1EBCVABCA1B1C1VA1EB1C1C4461212.例5 (2021黑龙江大庆市质检)在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD2，四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB60，E是AD的中点(1)求证：BE平面PAD；(2)求点E到平面PAB的距离解析(1)连接BD，在PAD中，PAPD2，E是AD的中点，PEAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面ABCD，PEBE，又四边形ABCD是边长为2的菱形，DAB60，ABD为等边三角形，BEAD，又PEADE，PE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD(2)在PAB中，PAAB2，PB，则SPAB，在ABE中，AB2，AE1，BE，则SABE，由PE面ABCD，PE，得VPABE1，由VPABEVEPAB，设点E到平面PAB的距离为h，则h，则h，即点E到平面PAB的距离为.名师点拨(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(3)变式训练3(1)(2020湖南娄底模拟)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，DAB，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD平面ABCD，E为棱PC上一点，若平面EBD平面ABCD，则_.(2)(2021云南玉海一中期中)已知三棱锥PABC(如图1)的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于的正方形，ABE和BCF均为正三角形证明：平面PAC平面ABC解析(1)取AD的中点O，连接OC交BD于F点，连接EF，PAD是等边三角形，POAD，ODBC，BC2OD，FC2OF.又平面PAD平面ABCD，POAD，PO平面ABCD，又平面BDE平面ABCD，PO平面BDE.OPEF，.故答案为：.(2)证明：如图取AC的中点O，连接BO，PO.由题意可知PAPBPC，PO1，AOBOCO1，在PAC中，PAPC，O为AC的中点，POAC在POB中，PO1，OB1，PB，PO2OB2PB2，POOBACOBO，AC，OB平面ABC，PO平面ABC，PO平面PAC，平面PAC平面ABC名师讲坛素养提升立体几何中的轨迹问题例6 (多选题)(2021山东青岛模拟)在如图所示的棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为(ABD)A若点P总满足PABD1，则动点P的轨迹是一条直线B若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为2的圆C若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线解析APABD1，P在过A且与BD1垂直的平面ACB1上，又P平面BCC1B，P的轨迹是平面ACB1与平面BCC1B1的交线B1C，故A正确；B点P的轨迹是以A为球心，半径为的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r1，所以小圆周长l2r2，故B正确；C点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|PC|1|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D如图，过P分别作PMBC于点M，PECC1于点E，则PM平面ABCD，所以PMAD，过M作MNAD，连接PN，PMMNM，所以AD平面PMN，所以PNAD，如图建立平面直角坐标系，设P(x，y)，PMy，则PN21y2，PE2(1x)2，即1y2(1x)2，整理为：(x1)2y21，则动点P的轨迹是双曲线，故D正确故选ABD引申(1)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线CC1的距离相等，则点P的轨迹为_以B为焦点、CC1为准线的抛物线_.(2)本例中，若点P到直线AB的距离与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为_与BC距离为1的两条平行线_.名师点拨立体几何中的轨迹面是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解变式训练4(2021安徽蚌埠质检)平面的一条斜线AP交平面于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面于M点，则M点的轨迹是(A)A一条直线B一个圆C两条平行直线D两个同心圆解析由题意知M在过A且与PA垂直的平面内，点M的轨迹为平面与的交线，故选A