高考第一轮复习数学：9.5两个平面垂直.doc

9.5 两个平面垂直知识梳理1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.点击双基1.在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，那么必有A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD解析：由ADBC，BDADAD平面BCD，面AD平面ADC，平面ADC平面BCD.答案：C2.直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是A.a B. a C. a D. a解析：取A1C的中点O，连结AO. AC=AA1，AOA1C.又该三棱柱是直三棱柱，平面A1C平面ABC.又BCAC，BCAO.因此AO平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离.解得A1O=a.答案：C3.设两个平面、，直线l，下列三个条件：l；l；.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为A.3B.2C.1D.0解析：答案：C4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值为_.答案：5.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45和30，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_.解析：如下图，平面，=l，A，B，AB=2a.ACl于点C，BDl于点D，则CD即为所求.，ACl，AC，ABC就是AB与平面所成的角.故ABC=30，故AC=a.同理，在RtADB中求得AD=a.在RtACD，CD=a.答案：a典例剖析【例1】 如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面BSC.剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC的中点O，连结AO、SO，既可证明AO平面BSC，又可证明SO平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到AOS是二面角ABCS的平面角，转化为证明AOS是直角.证法一：取BC的中点O，连结AO、SO.AS=BS=CS，SOBC，又ASB=ASC=60，AB=AC，从而AOBC.设AS=a，又BSC=90，则SO=a.又AO= a，AS2=AO2+SO2，故AOOS.从而AO平面BSC，又AO平面ABC，平面ABC平面BSC.证法二：同证法一证得AOBC，SOBC，AOS就是二面角ABCS的平面角.再同证法一证得AOOS，即AOS=90.平面ABC平面BSC.特别提示本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外，本题中证明AOS=90的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体 何中证明垂直的一种重要方法.【例2】 如下图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.（1）求证：ABBC；（2）若设二面角SBCA为45，SA=BC，求二面角ASCB的大小.（1）证明：作AHSB于H， 平面SAB平面SBC，AH平面SBC.又SA平面ABC，SABC.SA在平面SBC上的射影为SH，BCSB.又SASB=S，BC平面SAB.BCAB.（2）解：SA平面ABC，平面SAB平面ABC.又平面SAB平面SBC，SBA为二面角SBCA的平面角.SBA=45.设SA=AB=BC=a.作AESC于E，连结EH，则EHSC，AEH为二面角ASCB的平面角，AH=a，AC=a，SC=a，AE=a，sinAEH=，二面角ASCB为60.思考讨论证明两个平面垂直的常见方法：（1）根据定义，证其二面角的平面角是直角；（2）根据判定定理，证明一个平面经过另一个平面的垂线.【例3】 已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D.（1）确定D的位置，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D平面AA1D；（3）若ABAA1=，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.剖析：本题的结论是“开放性”的，点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行移动，BC1取AE1位置，则平面AB1E1一定平行BC1，问题可以解决.（1）解：如下图，将正三棱柱ABCA1B1C1补成一直平行六面体ABCEA1B1C1E1，由AE1BC1，AE1平面AB1E1，知BC1平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面AB1E1交A1C1于点D，由平行四边形对角线互相平行性质知，D为A1C1的中点.（2）证明：连结AD，从直平行六面体定义知AA1底面A1B1C1D1，且从A1B1C1E1是菱形知，B1E1A1C1，据三垂线定理知，B1E1AD.又ADA1C1=D，所以B1E1平面AA1D，又B1E1平面AB1D，所以平面AB1D平面AA1D.（3）解：因为平面AB1D平面AA1D=AD，所以过A1作A1HAD于点H.作HFAB1于点F，连结A1F，从三垂线定理知A1FAB1.故A1FH是二面角A1AB1D的平面角.设侧棱AA1=1，侧棱AB=.于是AB1= .在RtAB1A1中，A1F=，在RtAA1D中，AA1=1，A1D=A1C1=，AD= .则A1H=.在RtA1FH中，sinA1FH=，所以A1FH=45.因此可知平面AB1D与平面AB1A1所成角为45或135.评述：本题主要考查棱柱的性质，以及面面关系、二面角的计算，同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力.特别提示1.开放性问题已进入高考试卷中，近年来，全国及上海市多次考查开放题，解开放题并将经验与解题技巧相结合，并要有较熟练的基础知识和“图形意识”，并能将典型图形灵活应用到解题中去.2.立体几何的计算并非单纯的数字计算，而是与作图和证明相结合的.立体几何计算题的主要步骤可以归纳为画证算三步.“画”是画图，添加必要的辅助线，或画出所要求的几何量，或进行必要的转化；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，然后进行最后一步计算.这三步之间紧密相连，环环相扣，互相制约，形成了解决立体几何计算题的思维程序，是综合考查学科能力的集中体现.闯关训练夯实基础1.P为ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必要条件是A.PA=PB=PCB.PABC，PBACC.点P到ABC三边所在直线距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与ABC所在的平面所成的角相等解析：条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心或旁心的必要条件（当射影在ABC的形内时为内心，在形外时为旁心）.答案：B2.m、n表示直线，、表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为=m，n，nm，则 ，=m，=n，则mn，=m，则m m，n，mn，则A. B. C. D.答案：C3.设a、b是异面直线，、是两个平面，且a，b，a，b，则当_（填上一种条件即可）时，有.解析：本题为开放性问题.可以填上ab，也可以填a，或b.答案：ab4.三个平面两两互相垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的长为_.解析：构造棱长分别为3、4、5的长方体，使OP为长方体的对角线.故OP=5.答案：55.在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF平面AB1C.证明：如下图，E、F分别是AB1、CB1的中点，EFAC.AB1=CB1，O为AC的中点，B1OAC.故B1OEF.在RtB1BO中，BB1=，BO=1，BB1O=30.从而OB1D1=60，又B1D1=2，B1O1=OB1=1（O1为BO与EF的交点）.D1B1O1是直角三角形，即B1OD1O1.B1O平面D1EF.又B1O平面ACB1，平面D1EF平面AB1C.6.（文）如下图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EFBD=G.（1）求证：平面B1EF平面BDD1B；（2）求点D1到平面B1EF的距离d；（3）求三棱锥B1EFD1的体积V.（1）证法一：如下图，连结AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD.又ACD1D，故AC平面BDD1B1.E、F分别为AB、BC的中点，故EFAC.EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.证法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.又EFD1D，EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.（2）解：在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H.平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，D1H平面B1EF，且垂足为H.点D1到平面B1EF的距离d=D1H.在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H.D1B1=A1B1=2=4，sinD1B1H=sinB1GB=，d=D1H=4=.（3）解：V=V=V=dS=2=.评注：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.如本题的三小问便是如此.本题主要考查正四棱柱等基本知识，考查逻辑推理能力及空间思维能力.（理）如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a.求：（1）AB与B1C所成的角；（2）AB与B1C间的距离；（3）AB与B1D间的距离.解：（1）ABCD，B1CD是AB与B1C所成角.DC平面BB1C1C，DCB1C.于是DCB1=90.AB与B1C所成角为90.（2）连结BC1交B1C于O，则BOB1C.又AB平面BB1C1C，ABBO.BO是异面直线AB和B1C的公垂线段，易得BO= a，即AB与B1C间的距离为a.（3）ABDC，AB平面B1DC，DC平面B1DC，AB平面B1DC，从而AB与平面B1DC间的距离即为AB与B1D间的距离.BOB1C，BOCD，B1CDC=C，BO平面DB1C.BO的长为B到平面B1DC间的距离.BO=a，AB与B1D间的距离为a.培养能力7.如下图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB.（1）求证：平面PCE平面PCD；（2）求点D到平面PCE的距离.（1）证明：取PD的中点F，则AFPD.CD平面PAD，AFCD.AF平面PCD.取PC的中点G，连结EG、FG，可证AFGE为平行四边形.AFEG.EG平面PCD.EG在平面PCE内，平面PCE平面PCD.（2）解：在平面PCD内，过点D作DHPC于点H.平面PCE平面PCD，DH平面PCE，即DH为点D到平面PCE的距离.在RtPAD中，PA=AD=a，PD=a.在RtPCD中，PD=a，CD=a，PC=a，DH=a.8.（2003年杭州高考质量检测题）如下图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点.（1）求证：平面A1EC平面AA1C1C；（2）若我们把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为60时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由；（3）设AB=a，求体积V.（1）证明：连结A1C与AC1交于点F，连结EF，则由条件可得EC=EA1，则EFA1C.同理EC1=EA，则EFAC1，EF面AA1C1C.而EF面A1EC，所以平面A1EC平面AA1C1C.也可通过如下（2）的辅助线先证明EFA1H，而A1H面AA1C1C得到（2）解：延长CE交C1B1的延长线于点H，则有C1B1=B1H=A1B1，则HA1C1=90，且CA1H=90，所以CA1C1为平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的平面角.若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则CA1C1=60，应有CC1=A1C1，与条件AB=AA1矛盾.所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”.（也可利用公式cos=得到二面角的平面角来解决）（3）解：V=V=EFAA1AC=aaa= a3.（或通过V=V来计算）探究创新9.如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小；（4）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.（1）证明：在菱形ABCD中，DAB=60，G为AD边的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BG平面PAD.（2）证明：连结PG，则PGAD，由（1）得BGAD，又PGBG=G，BG平面PBG，PG平面PBG，AD平面PBG，PB平面PBG.ADPB.（3）解：由（2）AD平面PBG，而BCAD，BC平面PBG.而PB平面PBG，BG平面PBG，BCPB，BCBG.PBG就是二面角ABCP的平面角.在PAD中，PG=a，在PGB中，PBG=45，即二面角ABCP为45.（4）解：当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连结DE、EF、DF，则由平面几何知识，在PBC中，EFPB，在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，ED平面DEF，EFDE=E，平面DEF平面PGB.又PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD.故平面DEF平面ABCD.评述：本题第（1）问的论证中主要运用了面面垂直的性质定理，第（2）问通过线线垂直与线面垂直的转化得以证明，第（3）问是通过寻找与二面角的棱垂直的平面，进而得出二面角的平面角，再归结为论证与计算，第（4）问是探索性问题，这里通过直觉捕捉结果，再进行逻辑论证.思悟小结在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用.教师下载中心教学点睛1.结合图形向学生讲明两个平面垂直的判定定理及性质定理.2.在作二面角的平面角时，往往利用两个平面垂直的性质定理，即从某个平面内一点作它们交线的垂线，从而与另一个平面垂直，再作二面角、棱的垂线，由三垂线定理的逆定理得两垂足的连线也垂直于棱.3.对“线线垂直”“线面垂直”及“面面垂直”之间的关系作系统小结.拓展题例【例1】 已知m、l是直线，、是平面，给出下列命题：若l垂直于内两条相交直线，则l；若l平行于，则l平行于内所有的直线；若m，l且lm，则；若l且l，则；若m，l且，则lm.其中正确命题的序号是_.答案：【例2】 如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC.（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.（1）证明：C是AB为直径的圆O的圆周上一点，BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PAC.BC平面PBC，平面PAC平面PBC.（2）解：平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD.【例3】 如下图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角PCDB为45.（1）求证：AF平面PEC；（2）求证：平面PEC平面PCD；（3）设AD=2，CD=2，求点A到平面PEC的距离.分析：对问题（1），关键是证明AF与平面PEC内的一条直线平行，为此可取PC的中点G，论证AFEG；对问题（2），可转化为证明线面垂直；对问题（3），可转化为求点F到平面PEC的距离，进而可以充分运用（2）的结论.（1）证明：取PC的中点G，连结EG、FG.F是PD的中点，FGCD且FG=CD.而AECD且AE=CD，EAGF且EA=GF，故四边形EGFA是平行四边形，从而EGAF.又AF平面PEC，EG平面PEC，AF平面PEC.（2）证明：PA平面ABCD，AD是PD在平面ABCD上的射影.又CDAD，CDPD，PDA就是二面角PCDB的平面角.ADP=45，则AFPD.又AFCD，PDCD=D，AF平面PCD.由（1），EGAF，EG平面PCD，而EG平面PEC，平面PEC平面PCD.（3）解：过F作FHPC交PC于点H，又平面PEC平面PCD，则FH平面PEC，FH为点F到平面PEC的距离，而AF平面PEC，故FH等于点A到平面PEC的距离.在PFH与PCD中，FHP=CDP=90，FPC为公共角，PFHPCD，=.AD=2，CD=2，PF=，PC=4，FH=2=1.点A到平面PEC的距离为1.