解读确定二次函数的解析式.doc

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解读确定二次函数的解析式
确定二次函数的解析式，是初中数学学习的一个重要的内容。因此，同学们要认真把这部分的内容学好，掌握起来。要想学好这部分内容，同学们要解决如下四个问题；
一、熟记常见的二次函数关系式
常见的二次函数的关系式有如下六种表达形式，具体为：

二、理解确定二次函数关系式的基本内涵
所谓确定二次函数的关系式，具体来说就是：

这是最基本的理解，同学们要体会准确。
三、掌握确定二次函数关系式的基本条件
确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是：
对于表达式是y=ax2（a≠0）的,要确定出待定字母a的值的基本条件是：
知道图像上一个点的坐标。
对于表达式是y=ax2+bx（a≠0）的, 要确定出待定字母a、b的值的基本条件是：
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=ax2+c（a≠0）的, 要确定出待定字母a、c的值的基本条件是：
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=a(x-h)2（a≠0）的, 要确定出待定字母a、h的值的基本条件是：
知道图像上两个点的坐标。
对于表达式是y=a(x-h)2+k(a≠0）的, 要确定出待定字母a、h、k的值的基本条件是：
知道图像上三个点的坐标。
特殊条件：知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标
对于表达式是y=ax2+bx+c（a≠0）中, 要确定出待定字母a、b、c的值的基本条件是：
知道图像上三个点的坐标。
这是最基本的理解。
四、确定二次函数关系式的基本题型
4.1二次函数关系式设为：y=ax2（a≠0）
例1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。
解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为原点，
所以，不妨设二次函数的解析式：y=ax2（a≠0），
因为，AB=20，所以，FA=FB=10，
因为，CD=10，所以，EC=ED=5
所以，点A的坐标为（-10，），点C的坐标为（-5，），
所以，
= a×（-5）2=25a，
= a×（-10）2=100a，
因为，EF=3，所以，-=3，
所以，25a -100a=3，
解得：a=-，所以，所求函数的解析式：y=- x2。
小结：
当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=ax2（a≠0）
②把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；
③解方程，求得a值；
④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.2二次函数关系式设为：y=ax2+bx（a≠0）
例2、（2008年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图2所示。
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．
（2）请求出球飞行的最大水平距离．
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．

解：
（1）

所以，抛物线的开口向下，顶点为，对称轴为直线。
（2）令，得：
，
解得：，，
所以，球飞行的最大水平距离是8m．
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
所以，抛物线的对称轴为，顶点为（5，），
设此时对应的抛物线解析式为：y=ax2+bx（a≠0），
因为，抛物线经过点（10，0），
所以，100a+10b=0，即10a+b=0，
因为，抛物线经过点（5，），
所以，25a+5b=，即5a+b=，
解得：，b=，
所以，二次函数的解析式是：。
小结：当知道抛物线经过原点，且抛物线与x轴相交，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=ax2+bx（a≠0）
②把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a、b的二元一次方程组；
③解方程组，求得a、b值；④把a、b的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.3二次函数关系式设为：y=ax2+c（a≠0）
例3、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图3所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米
（1）求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
（2）求柱子ＡＤ的高度。

解：
因为，抛物线的对称轴是y轴，
所以，设二次函数解析式为：y=ax2+c（a≠0），
因为，二次函数图象过点C（0，1），
所以，c=1，
因为，此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱），且ＦＧ＝２米，
所以，点F的坐标是（-4，2），
所以，16a+1=2，
解得：a=，
所以，二次函数的关系式是：y=x2+1；
（2），因为，OD=8米，
设点A的坐标是（-8，y），
所以，y=×（-8）2+1=5，
因此，柱子ＡＤ的高为5米。
小结：
当知道抛物线的顶点在y轴上，和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，
要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=ax2+c（a≠0）
②把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a，c的二元一次方程组；
③解方程组，求得a、c值；
④把a、c的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.4二次函数关系式设为：y=a(x-h)2（a≠0）
例4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，0），且过点B（3，4）．
求该二次函数的解析式。
解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）2，
因为，二次函数图象过点B（3，4），
所以，4a=4，
解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2，即y=x2-2x+1。
小结：
当知道抛物线的顶点坐标：M（h，0）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，
要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2a≠0）
②把点A的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；
③解方程，求得a值；
④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.5二次函数关系式设为：y=a(x-h)2+k(a≠0）
例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．
求该二次函数的解析式。
解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）2-4，
因为，二次函数图象过点B（3，0），
所以，4a-4=0，
解得：a=1， 所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，，即y=x2-2x-3。
小结：
当知道抛物线的顶点坐标：M（h，k）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，
要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k（a≠0）
②把点C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；
③解方程，求得a值；
④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.6二次函数关系式设为：y=ax2+bx+c（a≠0）
例6、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。
解：设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0），
把点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4）分别代入：y=ax2+bx+c中，
得：
a+b+c=2，4a+2b+c=2，9a+3b+c=4，
解得：a=1，b=-3，c=4，
所以，二次函数的解析式为：y=x2-3x+4。
小结：
当知道抛物线上一般的三个点的坐标：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）时，
要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
①设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）
②把点A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中，转化成关于a、b、c的三元一次方程组；
③解方程组，求得a、b、c的值；
④把a、b、c的值分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。

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