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二次函数的定义、图象、解析式
【知识梳理】
1．二次函数的定义是 。
2．二次函数的解析式
一般式：
交点式：
顶点式：
3．二次函数的图象是 线。
4．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置由a,b,c决定：
① 的符号决定抛物线的开口方向
② 的符号决定抛物线与y轴交点的位置
③ 的符号决定抛物线与x轴交点的位置
④a、b 号，对称轴在y轴的左侧
【基础训练】
1．当m= 时，函数y=+3x是二次函数
2．抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=
3．抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2的形状相同，开口方向相同，顶点坐标是(2,-3),则a= , b= , c= y
4．抛物线y=ax2+bx+c
如图所示，则a 0, o x
b 0, c 0，b2-4ac 0
5．直线y=ax+b和抛物线y=ax2+bx+c的图象大致位置是：
y y

o x o x
A B
y y

o x o x

C D
6．把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 。
【典型例析】
例1．已知某二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象经过点(2,-8)，求此二次函数的解析式。

例2．以x为自变量的函数y=-x2+(2m+1)x-(m2+4m-3)中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边。
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 次函数y=kx+b的图象经过点A，与
个二次函数的图象交于点C，且S△ABC=10,求这个一次函数的解析式。

【发展探究】
已知：如图，直线y=(k>0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是线段AB的中点，抛物线y=+bx+c经过点A，P，O（原点）
①求经过A、P、O（原点）的抛物线解析式
②在x轴上方，①中所得的抛物线上，是否存在一点Q，使∠QAO＝45°，如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由。

【优化评价】
1．函数y=(x+3)2-2的图象可由函数y=x2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。
2．如图表示二次函数y=ax2+bx+c的图象，
则有（ ） y
A． a+b+c<0
B． a+b+c =0
C． a+b+c >0 O x
D． a+b+c的符号不能确定
3．在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（ ）
y y

o x o x
A B
y y

o x o x
C D
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A,B，与y轴交于C，如果OB＝OC＝OA，那么b的值为（ ） y
A. -2 B. -1
C. - D. A o B x
5．已知，如图，在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，AB＝，cos∠ACB=,求经过A、B、C的抛物线的解析式，并把它化成顶点式。
y

B C x

6．抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式。

7．已知实数a≠c,抛物线y=ax2－(a+c)x+c不经过第二象限，①判断这条抛物线的顶点A(x0,y0)所在象限，并说明理由；②若经过这条抛物线顶点A(x0,y0)的直线y=－x+k与抛物线的另一个交点为B()，求抛物线的解析式。

8．已知：如图，抛物线y=x2－(a+b)x+,其中a,b,c分别是ΔABC的∠A，∠B，∠C的对边。
① 求证：该抛物线与x轴必有两个交点
② 设有直线y=ax-b与抛物线交于E、F，与y轴交于M，抛物线与y轴交于N，若抛物线的对称轴为x=a，ΔMNE与 ΔMNF的面积之比为5:1，求证:ΔABC是等边三角形.
在②的条件下,SΔABC＝时，设抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样圆，求出圆心的坐标，若不存在，请说明理由。

y

N E
P Q x
O F
M