八年级数学奥林匹克竞赛训练题12.几何不等式.doc

第十二讲　几何不等式
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题
1．已知线段a，b，c的长度满足a＜b＜c，那么以a，b，c为边组成三角形的条件是 （　　）
（A）c－a＜b （B）2b＜a＋c （C）c－b＞a （D）b2＜ac
2．在△ABC中，若∠A＝58º，AB＞BC，则∠B的取值范围是 （　　）
（A）0º＜∠B＜64º （B）58º＜∠B＜64º
（C）58º＜∠B＜122º （D）64º＜∠B＜122º
3．在锐角三角形ABC中，a＝1，b＝3，那么第三边c的变化范围是 （　　）
（A）2＜c＜4 （B）2＜c＜3 （C）2＜c＜ （D）2＜c＜
4．一个等腰三角形ABC，顶角为∠A，作∠A的三等分线AD、AE，即∠1＝∠2＝∠3（如图），若BD＝x，DE＝y，CE＝z，则有 （　　）
（A）x＞y＞z （B）x＝z＞y
（C）x＝z＜y （D）x＜y＝z
5．已知三角形三边长a，b，c都是整数，并且a≤b＜c，若b＝7，那么这样的三角形共有 （　　）
（A）21个 （B）28个 （C）49个 （D）14个
二、解答题
1．如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线．求证：
（1）2AD＜AB＋AC；
（2）∠BAD＞∠DAC；
（3）AE＜AD．

2．如图，已知△ABC，AB＝AC，AD是中线，E为∠ABD内任一点．
求证：∠AEB＞∠AEC．

3．如图，已知△ABC中，AB＝AC，E、F分别在AB、AC上且AE＝CF．求证：EF≥BC．

4．如图，已知△ABC中，BC大于其它两边，D、E分别在AB、AC上，连结DE．求证：DE＜BC．

5．如图，已知△ABC中，∠ABC＞∠ACB，BE、CF分别是角平分线．求证：BE＜CF．

6．如图，已知△ABC中，AB＞AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F．求证：AB＋CF＞AC＋BE．

7．如图，已知在凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA＞OC，OB＞OD．求证：BC＋AD＞AB＋CD．

8．如图，已知在线段BC同侧作两个三角形△ABC和△DBC，使AB＝AC，DB＞DC且AB＋AC＝DB＋DC，设AC与DB交于E．求证：AE＞DE．

9．如图，已知△ABC中，∠BAC＝120º，P为△ABC内一点．求证：PA＋PB＋PC＞AB＋AC．

10．已知△ABC中三边长分别为a，b，c，相应边上的中线长为ma，mb，mc．求证：
（1）bc－≤ma2≤bc＋；（2）ac－≤mb2≤ac＋；（3）ab－≤mc2≤ab＋．

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