平移与旋转练习题.doc

2017年11月27日数学周测试卷

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如图，将 △ABC 绕点 A 旋转后得到 △ADE，则旋转方式是   

A. 顺时针旋转 90∘ B. 逆时针旋转 90∘
C. 顺时针旋转 45∘ D. 逆时针旋转 45∘

2. 下列说法正确的是   
A. 平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小
B. 平移和旋转的共同点是改变了图形的位置，而图形的形状大小没有变化
C. 图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离
D. 在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行

3. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到 △COD 的位置，则旋转的角度为   

A. 30∘ B. 45∘ C. 90∘ D. 135∘

4. 如图，在 10×6 的网格中，每个小方格的边长都是 1 个单位长度，将 △ABC 平移到 △DEF 的位置，下面正确的平移步骤是   

A. 先向左平移 5 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
B. 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
C. 先向左平移 5 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
D. 先向右平移 5 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度

5. 如图，△ABC 是等边三角形，D 为 BC 边上的点，∠BAD=15∘，△ABD 经旋转后到达 △ACE 的位置，那么旋转了   

A. 75∘ B. 60∘ C. 45∘ D. 15∘

6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠BAC=60∘，AC=1，现将 △ABC 绕点 C 逆时针旋转至 △AʹBʹC，使得点 Aʹ 恰好落在 AB 上，连接 BBʹ，则 BBʹ 的长度是   

A. 2 B. 3 C. 23 D. 32

7. 如图，在 6×6 方格中有两个涂有阴影的图形 M，N，图 1 中图形 M 平移后位置如图 2所示，以下对图形 M 的平移方法叙述正确的是   

A. 向右平移 2 个单位，向下平移 3 个单位
B. 向右平移 1 个单位，向下平移 3 个单位
C. 向右平移 1 个单位，向下平移 4 个单位
D. 向右平移 2 个单位，向下平移 4 个单位

8. 如图，在 △ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60∘，将 △ABC 沿射线 BC 的方向平移，得到 △A'ʹB'ʹC'ʹ，再将 △Aʹ'B'ʹCʹ 绕点 Aʹ 逆时针旋转一定角度后，点 Bʹ 恰好与点 C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别   

A. 4，30∘ B. 2，60∘ C. 1，30∘ D. 3，60∘

9. 如图，在方格纸上，△ABC 经过变换得到 △DEF，下列对变换过程的叙述正确的是   

A. △ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90∘，再向右平移 7 格
B. △ABC 向右平移 4 格，再向上平移 7 格
C. △ABC 绕着点 A 逆时针旋转 90∘，再向右平移 7 格
D. △ABC 向右平移 4 格，再绕着点 B 逆时针旋转 90∘

10. 下列图形中，由如图经过一次平移得到的图形是   

A. B.
C. D.

二、填空题（共10小题；共52分）
11. 图形的旋转
（1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个   按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为  ，转动的角称为  ．
（2）旋转的性质
①旋转不改变图形的形状和大小；
②对应点到旋转中心的距离  ；
③任意一组对应点与   的连线所成的角都等于旋转角；
④对应线段  ，对应角  ．

12. 如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点 C 平移的距离 CCʹ=  ．

13. 如图，把 △ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 35∘，得到 △AʹBʹC，AʹBʹ 交 AC 于点 D．若 ∠AʹDC=90∘，则 ∠A=  ．

14. 如图，将 △ABC 沿 BC 方向向右平移 1 cm 得到 △DEF，连接 AD，若 △ABC 的周长为 6 cm，则四边形 ABFD 的周长为  cm．

15. 如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角．数据如图（单位：mm），则该主板的周长是  ．

16. 如图，P 是等边 △ABC 内的一点，若将 △PAC 绕点 A 逆时针旋转到 △PʹAB，则 ∠PAPʹ 的度数为   度．

17. 如图，将一块斜边长为 15 cm，∠B=60∘ 的直角三角板 ABC，绕点 C 逆时针方向旋转 90∘ 至 △AʹBʹCʹ 的位置，再沿 CB 向右平移，使点 Bʹ 刚好落在斜边 AB 上，则此三角板向右平移的距离为  ．

18. 如图是一块从一个边长为 50 cm 的正方形材料中剪出的垫片，现测得 FG=8 cm，则这个剪出的图形的周长是  cm．

19. 如图，把 Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中 ∠CAB=90∘，BC=5，点 A，B 的坐标分别为 1,0，4,0，将 △ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y=2x-6 上时，线段 BC 扫过的面积为  ．

20. 如图，△AOB 中，∠AOB=90∘，AO=3，BO=6，△AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到 △AʹOBʹ 处，此时线段 AʹBʹ 与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BʹE 的长度为  ．

三、解答题（共10小题；共130分）
21. （1）按要求在网格中画图：如图，画出图形关于直线 l 的对称图形，再将所画图形与原图形组成的图案向右平移 2 格．

（2）根据以上构成的图案，请写一句简短、贴切的解说词  ．

22. 如图，在平面上，七个边长为 1 个单位的等边三角形，分别用①至⑦表示．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，①②③组成的图形拼成一个正六边形.你取出的是哪个三角形?写出平移的方向和平移的距离.

23. 在正方形 ABCD 中，∠MAN=45∘，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC （或它们的延长线）于点 M，N．当 ∠MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时（如图甲所示），易证 BM+DN=MN．

（1）当 ∠MAN 绕点 A 旋转到 BM≠DN 时（如图乙所示），线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．

（2）当 ∠MAN 绕点 A 旋转到如图丙所示的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．

24. 在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
如图1，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=60∘，∠ABC=∠ADC=90∘，点 E，F 分别在线段 BC，CD 上，∠EAF=30∘，连接 EF．

（1）如图2，将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 60∘ 后得到 △AʹBʹEʹ（AʹBʹ 与 AD 重合），请直接写出 ∠EʹAF=   度，线段 BE，EF，FD 之间的数量关系为  ；

（2）如图3，当点 E，F 分别在线段 BC，CD 的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 BE，EF，FD 之间的数量关系，并说明理由．

25. 如图，将 Rt△ABC 沿直角边 AB 向右平移 2 个单位长度至 △DEF，如果 AB=4，∠ABC=90∘，且 △ABC 的面积为 6，试求图中阴影部分的面积．

26. 如图 1，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，∠EAC=90∘，点 M 为射线 AE 上任意一点（不与 A 重合），连接 CM，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90∘ 得到线段 CN，直线 NB 分别交直线 CM，射线 AE 于点 F，D．

（1）直接写出 ∠NDE 的度数；
（2）如图 2，图 3，当 ∠EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由．

27. 如图，已知 △ABC 的面积为 36，将 △ABC 沿 BC 平移得到 △AʹBʹCʹ，使点 Bʹ 和 C 点重合，连接 AC，交 AʹC 于点 D．

（1）求证：AʹD=CD .
（2）求 △CʹDC 的面积.

28. 如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，先把 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 后至 △DBE，再把 △ABC 沿射线 AB 平移至 △FEG，DE，FG 相交于点 H．

（1）判断线段 DE，FG 的位置关系，并说明理由；
（2）连接 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形．

29. 已知矩形 ABCD 中，AD=6，∠ACB=30∘，将 △ACD 绕点 C 顺时针旋转得到 △EFG，使点 D 的对应点 G 落在 BC 延长线上，点 A 对应点为 E 点，C 点对应点为 F 点，F 点与 C 点重合（如图），此时将 △EFG 以每秒 1 个单位长度的速度沿直线 CB 向左平移，直至点 G 与点 B 重合时停止运动，设 △EFG 运动的时间为 tt>0．

（1）当 t 为何值时，点 D 落在线段 EF 上?
（2）设在平移过程中 △EFG 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围；
（3）在平移过程中，当点 G 与点 B 重合时（如图），将 △CBA 绕点 B 逆时针 旋转得到 △CʹAʹBʹ，直线 EF 与 CʹAʹ 所在直线交于 P 点，与 CʹB 所在直线交于点 Q．在旋转过程中，△ABC 的旋转角为 α0∘<α<180∘，是否存在这样的 α，使得 △CʹPQ 为等腰三角形?若存在，请写出 α 的度数，若不存在，请说明理由．

30. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90∘ 后得到矩形 AMEF（如图1），连接 BD，MF，此时他测得 BD=8 cm，∠ADB=30∘．

（1）在图1中，请你判断直线 FM 和 BD 是否垂直?并证明你的结论；
（2）小红同学用剪刀将 △BCD 与 △MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将 △ABD 绕点 A 顺时针旋转得 △AB1D1，AD1 交 FM 于点 K（如图2），设旋转角为 β0∘<β<90∘，当 △AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角 β 的度数；

（3）若将 △AFM 沿 AB 方向平移得到 △A2F2M2（如图3），F2M2 与 AD 交于点 P，A2M2 与 BD 交于点 N，当 NP∥AB 时，求平移的距离是多少．

答案
第一部分
1. B 2. B 3. C 4. A 5. B
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60∘，
∵△ABD 经旋转后到达 △ACE 的位置，
∴∠BAC 等于旋转角，
即旋转角等于 60∘．
6. B 【解析】因为 ∠ACB=90∘，∠BAC=60∘，
所以 BC=3AC=3，
因为 △ABC 绕点 C 逆时针旋转至 △AʹBʹC，
所以 ∠ACAʹ=∠BCBʹ，CA=CAʹ，CB=CBʹ，
因为 ∠BAC=60∘，CA=CAʹ，
所以 △CAAʹ 为等边三角形，
所以 ∠ACAʹ=60∘，
所以 ∠BCBʹ=60∘，
所以 △CBBʹ 为等边三角形，
所以 BBʹ=CB=3．
7. B 8. B 【解析】由平移的性质可得 AʹBʹ=AB=4，AʹBʹ∥AB，∠AʹBʹC=∠B=60∘．
由旋转的性质可得 AʹC=AʹBʹ ，
∴△AʹBʹC 是等边三角形，
∴BʹC=AʹBʹ=4 .
∴BBʹ=BC-BʹC=2，
即平移的距离为 2 .
∵△AʹBʹC 是等边三角形，
∴∠BʹAʹC=60∘，即旋转角的度数为 60∘．
9. C 10. C

第二部分
11. （1）定点，旋转中心，旋转角，（2）②相等，③旋转中心，④相等，相等
12. 5 cm
13. 55∘
14. 8
15. 96 mm
16. 60
17. 7.5-532cm
18. 216
19. 16
20. 955
【解析】因为 ∠AOB=90∘，AO=3，BO=6，
所以 AB=AO2+BO2=32+62=35 .
因为 △AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到 △AʹOBʹ 处，
所以 AO=AʹO=3，AʹBʹ=AB=35 .
因为点 E 为 BO 的中点，
所以 OE=12BO=12×6=3 .
所以 OE=AʹO .
过点 O 作 OF⊥AʹBʹ 于 F .

S△AʹOBʹ=12×35⋅OF=12×3×6 .
解得 OF=655 .
在 Rt△EOF 中，
EF=OE2-OF2=32-6552=355 .
因为 OE=AʹO，OF⊥AʹBʹ，
所以 AʹE=2EF=2×355=655（等腰三角形三线合一）.
所以 BʹE=AʹBʹ-AʹE=35-655=955．

第三部分
21. （1） 如图

      （2） 解说词合理即可，如“爱心传递”或“我们心连心”等．
22. 答案不唯一，如：取出⑦，④⑤⑥向上平移 1 个单位．
23. （1） BM+DN=MN 成立．
如图所示，

把 △AND 绕点 A 顺时针旋转 90∘，
得到 △ABE 则可证得 E，B，M 三点共线．
易得 ∠EAM=∠NAM，
证得 △AEM≌△ANM．
∴ME=MN．
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN．
      （2） DN-BM=MN．
24. （1） 30；EF=BE+DF
【解析】由旋转的性质知，∠BAE=∠BʹAʹEʹ，BE=DEʹ，AE=AEʹ．
∵∠BAD=60∘，∠EAF=30∘，
∴∠BAE+∠FAD=30∘，∠BʹAʹEʹ+∠FAD=30∘，
∴∠EʹAF=30∘．
在 △AEF 和 △AEʹF 中，
AE=AEʹ,∠EAF=∠EʹAF,AF=AF,
∴△AEF≌△AEʹF，
∴EF=EʹF，
即 EF=DF+DEʹ．
∵BE=DEʹ，
∴EF=BE+DF．
      （2） 如图，在 BE 上截取 BG=DF，连接 AG，

在 △ABG 和 △ADF 中，
AB=AD,∠ABE=∠ADF,BG=DF,
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∵∠DAF+∠DAE=30∘，
∴∠BAG+∠DAE=30∘．
∵∠BAD=60∘，
∴∠GAE=60∘-30∘=30∘，
∴∠GAE=∠FAE．
在 △GAE 和 △FAE 中，
AG=AF,∠GAE=∠FAE,AE=AE,
∴△GAE≌△FAE，
∴GE=FE．
∵BE-BG=GE，BG=DF，
∴BE-DF=EF．
即线段 BE，EF，FD 之间的数量关系为 BE-DF=EF．
25. 由平移知 AD=2，
∴BD=AB-AD=2．
∵△ABC 的面积为 6，
∴BC=3 .
设 BC 交 DF 于点 G，连接 CF．

易知 CF∥DB，CF=DB，
∴∠FCG=∠DBG，∠CFG=∠BDG，
∴△FCG≌△DBG，
∴BG=CG=32．
阴影部分的面积为 12×2×32=32．
26. （1） ∵∠ACB=90∘，∠MCN=90∘，
∴∠ACM=∠BCN．
在 △MAC 和 △NBC 中，
AC=BC,∠ACM=∠BCN,MC=NC,
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90∘．
又 ∵ACB=90∘，∠EAC=90∘，
∴∠NDE=90∘．
      （2） 不变．选取图 2，证明如下：
∵∠ACB=∠MCN=90∘，
∴∠ACB+∠BCM=∠MCN+∠BCM，
即 ∠ACM=∠BCM．
在 △MAC 和 △NBC 中，
AC=BC,∠ACM=∠BCN,MC=NC,
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC．
又 ∵∠MFD=∠NFC，
∴∠MDF=∠FCN=90∘，
即 ∠NDE=90∘．
27. （1） ∵△ABC 沿 BC 平移得到 △AʹBʹCʹ，
∴AC∥AʹCʹ，AC=AʹCʹ，
∴∠ACD=∠CʹAʹD．
又 ∵∠ADC=∠CʹDAʹ，
∴△ACD≌△CʹAʹD
∴AʹD=CD．
      （2） ∵△ABC 沿 BC 平移得到 △AʹBʹCʹ，
∴△ABC≌△AʹBʹCʹ，
∴△ABC 与 △AʹBʹCʹ 的面积相等，等于 36．
∵AʹD=CD，
∴△CʹDC 与 △CʹAʹD 的面积相等，等于 18 .
28. （1） DE⊥FG．理由如下：
由题意，得 ∠A=∠EDB=∠GFE，∠ABC=∠DBE=90∘，
∴∠BDE+∠BED=90∘．
∴∠GFE+∠BED=90∘，
∴∠FHE=90∘，
即 DE⊥FG．
      （2） ∵△ABC 沿射线 AB 平移至 △FEG．
∴CB∥GE，CB=GE．
∴ 四边形 CBEG 是平行四边形．
∵∠ABC=∠GEF=90∘，
∴ 四边形 CBEG 是矩形．
∵BC=BE，
∴ 四边形 CBEG 是正方形．
29. （1） 因为 AD=BC=6，∠ACB=30∘，
所以 AB=DF=6×tan30∘=23 .
延长 AD 交 EF 于点 H .

因为 △ACD 绕点 C 顺时针旋转得到 △EFG，
所以 ∠DFH=30∘ .
所以 DH=DF×tan30∘=2 .
因为 △EFG 以每秒 1 个单位长度的速度沿直线 CB 向左平移，2÷1=2 秒，
所以当 t=2 时，点 D 落在线段 EF 上．
      （2） 当 0<t≤2 时，

S=12CF⋅CL=32t2 ；
当 2<t≤23 时，

S=12CF+DM⋅CD=23t-23 ；
当 23<t≤6 时，

S=12GF+NK⋅CD=12-23 ；
当 6<t≤8 时，

S=12FG+NK⋅CD-12BF⋅OB=-32t2+63t-203+12 ；
当 8<t<6+23 时，

S=BG⋅AB=-23t+123+12．
      （3） 因为 △CʹPQ 为等腰三角形，
当 PQ=PCʹ 时，∠Q=∠Cʹ=30∘ .

所以 ∠EPCʹ=60∘ .
因为 ∠E=30∘，
所以 ∠AʹBʹE=30∘，
所以 α=30∘．
同理：当 PQ=QCʹ 时，α=120∘；当 PCʹ=QCʹ 时，α=165∘．
所以 △C1PQ 为等腰三角形，旋转角为 30∘ 、 120∘ 、 165∘．
30. （1） 垂直．
证明：延长 FM 交 BD 于点 N．

由题意得 △BAD≌△MAF．
∴∠ADB=∠AFM．
∵∠DMQ=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMQ=∠AFM+∠AMF=90∘．
∴∠DQM=90．
∴BD⊥MF．
      （2） β 的度数为 120∘ 或 15∘．
【解析】根据旋转的性质知，∠AFK=∠ADB=30∘．
当 AK=FK 时，∠KAF=∠AFK=30∘．
则 ∠BAB1=180∘-∠B1AD1-∠KAF=180∘-90∘-30∘=60∘，即 β=60∘；
②当 AF=FK 时，∠FAK=180∘-∠AFK2=75∘．
∴∠BAB1=90∘-∠FAK=15∘，即 β=15∘；
∴β 的度数为 60∘ 或 15∘．
      （3） 由题意知四边形 PNA2A 为矩形．
设 A2A=x，则 PN=x．
在 Rt△A2M2F2 中，
∵M2F2=MF=BD=8，∠A2F2M2=∠AFM=∠ADB=30∘．
∴M2A2=4，A2F2=43．
∴AF2=43-x．
在 Rt△PAF2 中，
∵∠PF2A=30∘．
∴AP=AF2⋅tan30∘=43-x×33=4-33x．
∴PD=AD-AP=43-4+33x．
∵NP∥AB，
∴PNAB=DPDA，
∴x4=43-4+33x43，
解得 x=6-23．即平移的距离是 6-23 cm．

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