杨浦区数学卷答案（理、文）：2013.1.5,.doc

杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研
2013.1.5
一．填空题:
1. 0；2．；3．2；4. （向量表示也可）；5．；6. ；7.
8. 2013；9.（文）或；（理）③⑤；10. (文) (理) ；11.
12． 48；13．(文) (理) ；14．(文) (理) 0；
二、选择题:
15．；16．；17．；18. ．
三、解答题
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
(1)由已知得， ………2分
所以 ，体积 ………5分
(2)取中点，连接，则，
所以就是异面直线与所成的角. ………7分
由已知，，
. ………10分
在中，，
所以，. ………12分
(其他解法，可参照给分)
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．
(文)解：（1）因为，
则 ， 所以 . ………3分
平方得，=， ………5分
所以 . ………7分
（2）因为=
= ………9分
=
=. ………11分
当时，. ………12分
所以，当时，的最大值为； ………13分
当时，的最小值为. ………14分
(理)解：（1）因为
………2分
………4分
所以,，即函数的最小正周期为 ………5分
，
所以的单调递减区间为 ………7分
（2）因为，得，
所以有 ………8分
由，即 ………10分
所以，函数的最大值为1. ………12分
此时，因为，所以，，即. ………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ．
(文)（1）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . ………1分
由题意得 ，
. ………4分
故椭圆的方程为 . ………6分
（2）解：当轴时，显然. ………7分
当与轴不垂直时，可设直线的方程为.
由 消去整理得 .
………9分
设，线段的中点为，
则 . ………10分
所以 ，.
线段的垂直平分线方程为.
在上述方程中令，得. ………12分
当时，；当时，.
所以，或. ………13分
综上，的取值范围是. ………14分
（理）解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为
所以， ………4分
解得， ．
故椭圆的方程为． ………6分
（方法2、待定系数法）
（2）设，，
由：，， ………8分
两式相减，得到

所以，即， ………11分
同理，
所以，又因为直线的斜率之和为0，
所以 ………14分
方法2、(可参照方法1给分)
设直线：，代入椭圆，得到

，化简得
(以下略)
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
(1)由已知得， ，则 ………1分
当且仅当时，即等号成立，
………3分
所以， ………4分
(2)由题得 ………5分
函数在的最大值为 ………9分
………10分
(3)设，则直线的方程为，
即， ………11分
由 得 ………13分
又， ………14分
所以，，故 ………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
（文）（1）因为点都在直线上，
所以，得， ………2分
其中． ………3分
因为常数，且，所以为非零常数．
所以数列是等比数列． ………4分
（2）由，得， ………7分
所以，得． ………8分
由在直线上，得， ………9分
令得． ………10分
（3）由知恒成立等价于．
因为存在、，使得点和点都在直线上．
由与做差得：． ………12分
易证是等差数列，设其公差为，则有，因为，
所以，又由，
而
得得
即：数列是首项为正，公差为负的等差数列，所以一定存在一个最小自然数，
………16分
使，, 即 解得
因为，所以，
即存在自然数，其最小值为，使得当 时，恒成立． ………18分
（理）解：（1），， ………2分
，则
所以. ………4分
（2），所以，所以，
①当，即时，，所以，
解得（，舍去）. ………6分
②当，即时，，所以，
解得（，舍去）. ………7分
③当，即时，，所以，
解得（，舍去）. ………9分
综上，，，. ………10分
（3）成立. ………11分
（证明1）
由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）. ………12分
①由，可得； ………13分
②若，设（，是非负整数）
则 ，而由得
，故，，可得 ………14分
若则， ………15分
若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，
但小于的正整数共有个，矛盾. ………17分
故中至少有一个为0，即存在，使得.
从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.
（证法2，数学归纳法） ………18分
（其它解法可参考给分）
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(文、理科共6页)