小专题(七) 等腰三角形的性质与判定.doc

小专题(七)　等腰三角形的性质与判定
1．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD和BE交于H，且BE＝AE.求证：AH＝2BD.

2．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．

3．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB＝90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF＝90°，连接AE、BF.求证：
(1)AE＝BF；

(2)AE⊥BF.

4．如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H.
(1)求证：△BCE≌△ACD；

(2)求证：CF＝CH；

(3)判断△CFH的形状，并说明理由．

参考答案
1．证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.∴∠EBC＝∠EAH.∵BE＝AE，∴△AHE≌△BCE.∴AH＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.　2.证明：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则△BOD和△COE都是直角三角形．∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE.∵∠1＝∠2，∴OB＝OC.∴Rt△BOD≌Rt△COE.∴∠ABO＝∠ACO.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．　3.证明：(1)∵Rt△OAB与Rt△EOF是等腰直角三角形，∴AO＝OB，OE＝OF，∠AOB＝∠EOF＝90°.∴∠AOB－∠EOB＝∠EOF－∠EOB，即∠AOE＝∠BOF.∴△AEO≌△BFO(SAS)．∴AE＝BF.(2)延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD＝∠ACO.由(1)知：∠OAC＝∠OBF.∴∠BDA＝∠AOB＝90°.∴AE⊥BF.　4.(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°.∴∠BCE＝∠ACD.∴△BCE≌△ACD.(2)证明：∵△BCE≌△ACD，∴∠FBC＝∠HAC.∵∠ACB＝∠ACH＝180°－∠ACB－∠ECD＝60°，BC＝AC，∴△BCF≌△ACH.∴CF＝CH.(3)△CFH是等边三角形．∵CF＝CH，∠FCH＝60°，∴△CFH是等边三角形．