椭圆培优提高.doc

1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．5
解析：由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
答案：A
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.
答案：C
3．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析：由＋＝1⇒⇒c2＝a2－b2＝.
∴e2＝，e＝.
答案：B
4．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为(　　)
A. B．1 C．2 D．4
解析：圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，
则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，
∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1，0)．
由题意知直线l的方程为x＝－c，
又∵直线l与圆M相切，
∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.
答案：C
5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
解析：由题意知，O(0，0)，F(－1，0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x，又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，
∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.
答案：C
6．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M、N两点，若|MN|＝16，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1

7．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于__________。
解析：由题意知F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B。因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·KF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)。
答案：
8．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的任意一点，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则此椭圆的离心率为__________。
解析：cosα＝⇒sinα＝，

所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝·±·，
∴sinβ＝或－(舍去)。
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
由正弦定理，得＝＝⇒＝⇒e＝＝。
答案：
9．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合。若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝__________。
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12。
答案：12
10．已知椭圆C：x2＋2y2＝4。
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点。若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值。
解析：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1。
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2。
因此a＝2，c＝。故椭圆C的离心率e＝＝。

因为＋≥4(0＜x≤4)，且当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8。
故线段AB长度的最小值为2。
11．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c。

(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程。
解析：(1)过点(c, 0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝。
(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2。①
依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝。
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0。
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1x2＝。
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝。
从而x1x2＝8－2b2。
于是|AB|＝|x1－x2|
＝＝。
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3。
故椭圆E的方程为＋＝1。

所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2。
于是|AB|＝|x1－x2|＝
＝。
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3。
故椭圆E的方程为＋＝1。

12．图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1。
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e。

(2)方法一：连接QF1，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则＋＝1，x＋y＝c2，

求得x0＝±，y0＝±。
由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2＝2＋＝2(a2－b2)＋2a＝2。
由椭圆的定义，
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a。
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|。
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，
知|QF1|＝|PF1|，
因此(2＋)|PF1|＝4a，
即(2＋)(a＋)＝4a，
于是(2＋)(1＋)＝4，解得
e＝＝－。
方法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a。
从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|。
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，
知|QF1|＝|PF1|，
因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，
|PF1|＝2(2－)a，
从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a，
由PF1⊥PF2，
知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，
因此e＝＝
＝＝＝－。
13．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得
|AF2|＝2a－3k， |BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.