资源描述
第二章二次函数（2）
一、复习目标
1、熟练把握二次函数与一元二次方程之间的联系并能熟练应用；
2、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
熟练把握二次函数与一元二次方程之间的联系并能熟练应用；能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。
四、教学过程
（一）知识梳理
1．利用二次函数求最值的问题
(1)利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤．
利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：
①找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)；
②求出该二次函数图象的顶点坐标；
③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
(2)产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式．
产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决．也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值．
[注意] 在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用“数形结合”的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值．
(3)与图形有关的最值问题
直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了．
[警示] 在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方．
2．二次函数与一元二次方程的关系
对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，只要令y等于某个具体的数y0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为y0的点的横坐标．
特殊地，如果令y值为0，所得方程为ax2＋bx＋c＝0，该方程的解是抛物线与x轴交点的横坐标．若方程无解，则说明抛物线与x轴无交点．
二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，得：ax2＋bx＋c＝0.
当b2－4ac＞0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与x轴有 个交点；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与x轴只有 个交点(即顶点)；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点．
（二）题型、方法归纳
类型一 一元二次方程与二次函数的关系
例1 抛物线y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k≥－ B．k≥－且k≠0
C．k>－ D．k>－且k≠0
[解析] B 先根据(－7)2－4k(－7)≥0得到k≥－，由于是抛物线，所以k≠0.
类型二 二次函数与图形面积
例2 如图X2－8，苗圃的形状是直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD.其中AB，AD是已有的墙，∠BAD＝135°，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，问：当x取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？
[解析] 从题中已知梯形(除去一腰)的长和一个特殊角∠BAD＝135°，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式．
解：作AE⊥CD于点E，如图X2－9，因为∠BAD＝135°，则∠ADC＝45°.所以BC＝AE＝ED.又因为BC＋CE＋ED＝30，
则AB＝30－2x，CD＝30－x，
故y＝(AB＋CD)·BC＝[(30－2x)＋(30－x)]·x，
所以y＝－x2＋30x(0＜x＜15)．
配方得：y＝－(x－10)2＋150.即当x＝10时，y最大＝150(米2)．
类型三 二次函数与几何图形
例3 如图，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常数)，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与B，C重合)．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y.
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
(3)若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
[解析] (1)设法证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式；(2)将m的值代入(1)中的函数关系式，配方化成顶点式后求最值；(3)逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF＝ED，再由(1)可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出m的值．
解：(1)在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，
∴在Rt△BFE中，∠BEF＋∠BFE＝90°.
又∵EF⊥DE，∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，
∴＝，即＝.∴y＝.
(2)当m＝8时，y＝，化成顶点式：y＝－2＋2，
∴当x＝4时，y的值最大，最大值是2.
(3)由y＝及y＝得x的方程：x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6.
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF＝ED，
此时，Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC＝2时，m＝CD＝BE＝6；
当EC＝6时，m＝CD＝BE＝2.
即m的值为6或2时，△DEF是等腰三角形．
在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”“面积法”与“勾股法”建立有关等式，从而转化为函数关系式．这也是中考试卷中的常见考点．
类型四 二次函数与生活应用
例4 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
[解析] 当每吨材料售价为x元时，对应的销售量为吨，由此就可以列出函数解析式．而对于当月利润最大时，月销售额也最大的问题时，我们只需注意两者的区别就是一个减去成本，一个不减成本．
解：(1)45＋×7.5＝60(吨)．
(2)y＝(x－100)，
化简得：y＝－x2＋315x－24000.
(3)y＝－x2＋315x－24000＝－(x－210)2＋9075.
当x为210元时，月利润y最大．
答：利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
(4)我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W＝x＝－(x－160)2＋19200来说，当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时，月销售额为18000元．
∵17325<18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
“每每型”二次函数模型成为近年考试的热点问题，其特点就是每下降，就每增加；或每增长，就每减少．解决这类问题的关键就是找到单价提高后，该经销店每天售出的建筑材料的吨数，而等量关系为销售利润＝销售吨数×每吨的利润．
（三）典例精讲
例5 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是一条经过原点O的抛物线(如图X2－11所示，图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下该运动员在空中的最高处距水面10 m，入水距池边的距离为4 m，同时运动员在距水面高度为5 m之前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水的姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)在某次试跳时，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
[解析] 解决这个问题的关键是正确地进行数学建模，将运动员在空中的运动路线抽象为所给出的直角坐标系中的抛物线，用待定系数法求出表达式，再利用函数知识求解．
解：(1)在给定的直角坐标系中，设最高点为A，入水点为B，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
由题意知，O，B两点坐标分别为(0,0)，(2，－10)，顶点纵坐标为.
则有解得或
因抛物线的对称轴在y轴右侧，
所以－＞0，即a与b异号，又开口向下，则a＜0，b＞0，
所以a＝－，b＝－2，c＝0不符合题意，舍去．
故所求抛物线的表达式为y＝－x2＋x.
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3 m，即x＝3－2＝ m时，y＝×2＋×＝－.所以此时运动员距水面的高为10－＝＜5.因此，此次跳水会出现失误．
（四）归纳小结
说一说：通过这节课对二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？
1、熟练把握二次函数与一元二次方程之间的联系并能熟练应用；
2、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。
（五）随堂检测
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图X2－12所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是( )
A．ac>0
B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3
C．2a－b＝0
D．当x>0时，y随x的增大而减小
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图X2－13所示，现有下列结论：①b2－4ac>0；②a>0；③b>0；④c>0；⑤9a＋3b＋c<0.则其中结论正确的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图X2－14所示，则下列说法正确的是( )
图X2－14
A．b2－4ac<0 B．abc<0
C．－<－1 D．a－b＋c<0
4.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．
九(1)班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天(1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如下：
鲜鱼销售单价(元/kg)
20
单位捕捞成本价(元/kg)
5－
捕捞量(kg)
950－10x
(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？
(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式．(当天收入＝日销售额－日捕捞成本)
(3)试说明(2)中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？
5.已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是(1,0)．
(1)求c的值；
(2)求a的取值范围；
(3)该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．
【答案】
1.B
2.B
3.C
4. 解：(1)该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少10 kg.
(2)由题意，得
y＝20(950－10x)－(950－10x)＝－2x2＋40x＋14250.
(3)∵y＝－2x2＋40x＋14250＝－2(x－10)2＋14450，
∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；
当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；
当x＝10时，即在第10天，y取得最大值，最大值为14450元．
5. 解：(1)c＝1
(2)将C(0,1)，A(1,0)代入得a＋b＋1＝0，故b＝―a―1.
由题意可知，b2－4ac＞0，可得(－a－1)2－4a＞0，即(a－1)2＞0，故a≠1.又a＞0，
所以a的取值范围是a＞0且a≠1.
(3)由题意0＜a＜1，b＝―a―1可得－＞1，故B在A的右边，B点坐标为，C(0,1)，D，
|AB|＝－－1－1＝－－2，|CD|＝－.
S1－S2＝S△CDA－SABC＝×|CD|×1－×|AB|×1＝××1－××1＝1.
所以S1－S2为常数，该常数为1.
五、板书设计
第二章二次函数（2）
1．利用二次函数求最值的问题
(1)利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤．
利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：
①找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)；
②求出该二次函数图象的顶点坐标；
③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．
2.二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系
：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，得：ax2＋bx＋c＝0.
当b2－4ac＞0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与x轴有 个交点；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与x轴只有 个交点；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点．
六、作业布置
单元检测试题（二）
七、教学反思
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
