山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第3章 圆 3.7 切线长定理教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

3.7切线长定理
一、教学目标
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理．
2.学会运用切线长定理解有关问题．
3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
学会运用切线长定理解有关问题．
四、教学难点
通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
五、教学过程
（一）导入新课
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
2.这样的切线能画出几条？
3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.

（二）讲授新课
活动内容1：
探究1：如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？

思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,
连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?

探究2：切线长概念

切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？

比一比：切线与切线长
切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
折一折：

思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?
证一证：请证明你所发现的结论. PA=PB，∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.

探究2：切线长定理-过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.

几何语言：∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
试一试：若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
明确：OP垂直平分AB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.

探究3：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP，△AOB

活动2：探究归纳
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.

（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
（三）重难点精讲
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.

【解析】设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC可得
13-x+9-x=14，
解得x=4.
∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
【例2】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P，
求证：AD+BC=AB+CD.

证明：由切线长定理得
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,
即AD+BC=AB+CD，
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
（四）归纳小结
通过本课时的学习，需要我们掌握切线的6个性质：
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（6）切线长定理.
（五）随堂检测
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线，
切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等
于（ ）

A.60° B.90° C.120° D.150°
2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）

A．2 B．3 C． D．
3.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.

【答案】
1.答案为C。
2. 【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切圆半径为1，利用勾股定理求得AB= ,那么这个正三角形的边长为 .
3. 【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm,
PF+FQ=PB=PA=12cm.
∴周长为24cm.
六．板书设计
3.7切线长定理

（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点

七、作业布置
课本P99练习
练习册相关练习
八、教学反思