山东省济南市槐荫区九年级数学下册 第2章 二次函数（1）复习教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

第二章二次函数（1）
一、复习目标
1、理解二次函数的概念；
2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式；
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；用待定系数法求二次函数的解析式；
四、教学过程
（一）知识梳理
1．二次函数的概念
一般地，形如　 (a，b，c是常数，　 　)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象
二次函数的图象是一条　 　，它是轴对称图形，其对称轴平行于　　轴．
[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．
3．二次函数的性质

4.二次函数图象的平移
一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．

[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减．
（二）题型、方法归纳
类型一　二次函数的定义应用
例1　已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的值．
[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.
解：根据题意，得解得m＝－2.

解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．
类型二　二次函数图象的平移
例2　如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.
[解析] ∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，y＝x2＋bx＋c＝2＋，
又抛物线y＝(x－1)2是y＝2＋向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，故y＝2＋可看作是y＝(x－1)2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的．
∴y＝2＋＝(x－1－2)2－3，即y＝x2＋bx＋c＝x2－6x＋9－3＝x2－6x＋6，∴b＝－6，c＝6.

在平移的过程中，抛物线的形状始终保持不变，而抛物线的形状只与二次项系数有关，所以要求平移后(或前)抛物线的表达式，只需求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
解这一类题目，需将一般表达式化为顶点式，抓住顶点位置的改变，根据平移规律进行解答．
类型三　二次函数与一次函数的综合应用
例3　已知矩形ABCD
中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图X2－1)．
(1)写出A，B，C，D及AD的中点E的坐标；
(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的表达式；
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
(4)△PEB的面积与△PBC的面积具有怎样的关系？证明你的结论．

[解析] 利用矩形的性质可以得到A，B，C，D及AD的中点E的坐标，然后利用顶点式求出抛物线的表达式．
解：(1)A(0,1)，B(0，－1)，C(4，－1)，D(4,1)，E(2,1)．
(2)设抛物线的表达式为：y＝a(x－2)2＋1，
∵抛物线经过点B(0，－1)，
∴a(0－2)2＋1＝－1，解得a＝－.
∴抛物线的表达式为：y＝－ (x－2)2＋1.
经验证，抛物线y＝－(x－2)2＋1经过点C(4，－1)．
(3)直线BD的表达式为：y＝x－1，
解方程组 得
∴点P的坐标为.
(4)S△PEB ＝S△PBC .
S△PBC ＝×4×＝3.过P，E分别作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分别为P′，E′，S△PEB＝×2×2＋××1－×3×＝，∴S△PEB＝S△PBC.
类型四　二次函数的图象和性质的应用
例4　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2,0)，O(0,0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1＞y2　　　B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
[解析] A　结合图形，找到A、O、B、C四个点的大致位置，容易看出y1与y2的大小关系．

解决此类问题的关键是求出抛物线的对称轴，由a的正负性就可以知道抛物线的增减性，可以结合图形进行判别．如果所给的点没有在对称轴的同一侧，可以利用抛物线的对称性，找到这个点的对称点，然后根据增减性再作判断．
类型五　求二次函数的表达式
例5　已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图X2－2所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)．
(1)求出b，c的值，并写出此二次函数的表达式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
[解析] 由于二次函数经过具体的两个点，可以把这两个点的坐标代入即可求出表达式，然后根据图象求出自变量x的取值范围．

解：(1)把(－1,0)，(0,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
所以y＝－x2＋2x＋3.
(2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
所以，由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3.

求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式：(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2＋bx＋c；(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)若给出抛物线与x轴的交点，或对称轴和对称轴与x轴的交点距离，通常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．
（三）典例精讲
例6　如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象与坐标轴交于点A(－1,0)和点B(0，－5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

[解析] 把点A(－1,0)和点B(0，－5)代入表达式即可求出a和c的值，△ABP的周长中的边长AB是确定的，只要求出PA与PB的和最小即可，因此要把PA和PB转化到一条线上，在此还要利用抛物线的对称性．
解：(1)根据题意，
得
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－4x－5.
(2)令y＝0，得二次函数y＝x2－4x－5的图象与x轴的另一个交点坐标C(5,0)．
由于P是对称轴x＝2上一点，
连接AB(如图X2－4)，由于AB＝＝，

要使△ABP的周长最小，只要PA＋PB最小．
由于点A与点C关于对称轴x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，则PA＋PB＝BP＋PC＝BC，根据两点之间，线段最短，可得PA＋PB的最小值为BC.
因而BC与对称轴x＝2的交点P就是所求的点．
设直线BC的表达式为y＝kx＋b，
根据题意，可得
解得
所以直线BC的表达式为y＝x－5.
因此直线BC与对称轴x＝2的交点坐标是方程组的解，解得
所求点P的坐标为(2，－3)．
（四）归纳小结
说一说：通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？
1、理解二次函数的概念；
2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式；
（五）随堂检测
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a的图象不经过(　　)

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1<x1<2,3<x2<4时，y1与y2的大小关系正确的是(　　)
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
A．y1>y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
3．已知二次函数y＝－x2＋x－，当自变量x取m时，对应的函数值大于0，当自变量x分别取m－1，m＋1时对应的函数值为y1、y2，则y1，y2满足(　　)
A．y1>0，y2>0
B．y1<0，y2<0
C．y1<0，y2>0
D．y1>0，y2<0
4．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为(　　)
A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2
5．坐标平面上，若移动二次函数y＝2(x－175)·(x－176)＋6的图形，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为(　　)
A．向上移动3单位 B．向下移动3单位
C．向上移动6单位 D．向下移动6单位
6．将抛物线y＝x2－2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位等到的抛物线是___________________________________．
7.如图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC＝1，则下列关系中正确的是(　　)

A．a＋b＝－1 B．a－b＝－1 C．b<2a D．ac<0
8.如图所示，若正方形的棱长不变，CM＝DM，NH＝EH，MN与CH的延长线交于P点，则tan∠NPH的值为________．

9.将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(－3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标．

【答案】
1.D
2.B
3.B
4.B
5.D
6. y＝(x－5)2＋2或y＝x2－10x＋27
7.B
8.
9. 解：(1)由题意知：A(0,6)，C(6,0)，
设经过点A、B、C的抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，
则解得：
∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋6.
(2)如图，设点P(x,0)，
∵PE∥AB，∴△CPE∽△CBA.
∴＝2.
又∵S△ABC＝BC×OA＝27，
∴＝2.
∴S△CPE＝＝x2－4x＋12.
S△ABP＝BP×OA＝3x＋9.
设△APE的面积为S，
则S＝S△ABC－S△ABP－S△CPE＝－x2＋x＋6＝－2＋.
当x＝时，S最大值为.点P的坐标为.
五、板书设计
二次函数（1）
1、理解二次函数的概念；
2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式；
类型讲解： 典例精析：
六、作业布置
单元检测试题（一）
七、教学反思