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第三章圆
一、复习目标
1.复习本章内容，以求对本章知识有整体 认识
2.在巩固复习中，寻求对圆各单元知识有框架性认识
3.通过对比、归纳思考本章知识结构，使学生能够增强分析问题解决问题能力。
二、课时安排
2
三、复习重难点
对本章知识结构的总体认识，把握有关性质和定理解决问题。
四、教学过程
(一)圆的概念
集合形式的概念：
1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
(二)点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外；
（三）直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
（四）圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
（五）垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙中，∵∥
∴弧弧
（六）圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
（七）圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙中，∵是直径或∵
∴∴是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
（八）圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴
（九）切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
（十）切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分
（十一）圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙中，∵弦、相交于点，
∴
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙中，∵直径，
∴
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙中，∵是切线，是割线
∴
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙中，∵、是割线，∴
（十二）两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙、⊙相交于、两点∴垂直平分
（十三）圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；
（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。
（十四）圆内正多边形的计算
（1）正三角形:在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，.
（十五）扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：；
（2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
（2）圆柱的体积：
3 .圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
（二）题型、方法归纳
类型一 确定圆的条件
例1 [2010·河北] 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点M
[解析] B 圆心既在AB的中垂线上又在BC的中垂线上，由图可以看出圆心应该是点Q.
归纳：过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
例2 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为( )
A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
[解析] D 连接AO，因为OC⊥AB，所以AD＝BD＝3 cm，因为OD＝4 cm，在直角三角形ADO中，由勾股定理可以得到AO＝5 cm，所以OC＝5 cm，所以DC＝1 cm.
归纳：(1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径、圆心到弦的距离、弦长等数量的计算．这些量之间的关系是r2＝d2＋2(其中r为圆半径，d为圆心到弦的距离，a为弦长)．
类型三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
例3 如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于( )
A．30° B．35° C．40° D．50°
[解析] C 由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
类型四 圆心角与圆周角
例4 如图，点A，B，C在⊙O上，AB∥CO，∠B＝22°，则∠A＝________°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°，又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
归纳：圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造．
类型五 与圆有关的开放性问题
例5 如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E.
(1)∠E＝________度；
(2)写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
(3)求弦DE的长．
[解析] (1)由题目可知∠E＝∠ACD，因为四边形ABCD是正方形，所以∠ACD＝45°，所以∠E＝∠ACD＝45°.
(2)当对应角相等的时候，两个三角形相似，由圆的性质可知∠E＝∠ACD，∠EDP＝∠CAP，所以△ACP∽△DEP.
(3)因为△ACP∽△DEP，所以＝，因为P是CD的中点，所以CP＝DP＝CD＝1，由勾股定理分别求出AP＝，AC＝2，代入比例式算出DE＝.
解：(1)45
(2)△ACP∽△DEP.
理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，
∴△ACP∽△DEP.
(3)∵△ACP∽△DEP，∴＝.
又AP＝＝，
AC＝＝2，
∴DE＝.
类型六 圆与圆的位置关系的判别
例6 ⊙O1的半径为3 cm，⊙O2的半径为5 cm，圆心距O1O2＝2 cm，两圆的位置关系是( )。
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
[解析] C 圆心距O1O2＝2 cm是两圆的半径之差，所以两圆内切．
类型七 计算扇形面积
例7 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为( )
A．π B．1 C．2 D.π
[解析] C 扇形的面积等于弧长乘以半径的一半，所以此扇形的面积为×2×2＝2.
类型八 计算弧长
例8 如图，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为________cm(结果保留π)．
[解析] 两段弧长的和是以2 cm为半径的半圆的弧长．即×2×π×2＝2π.
类型九 圆的切线性质
例9 如图X3－10，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.
(1)求证：DE＝BC；
(2)若tanC＝，DE＝2，求AD的长．
[解析] 连接BD，则在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余证明∠C＝∠EDC.
解：(1)证明：连接BD，
∵AB为直径，∠ABC＝90°，∴BE切⊙O于点B.
又因为DE切⊙O于点D，所以DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB.
∵∠ADB＝90°，
∴∠EBD＋∠C＝90°，∠BDE＋∠CDE＝90°，
∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DE＝BC.
(2)因为DE＝2，DE＝BC，所以BC＝4.
在Rt△ABC中，tanC＝，
所以AB＝BC·＝2.
在Rt△ABC中，
AC＝＝＝6.
又因为△ABD∽△ACB，
所以＝，即＝，
所以AD＝.
归纳：圆的切线性质有很多，可以总结为：与圆相切一直线，只有一个公共点；切点圆心相连接，垂直切线是必然；切线上面取一点，此点圆心相互联；如若垂直圆切线，此点切点零相间(此句指此点与切点之间距离为零)．
类型十 圆的切线的判定方法
例10 如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，
以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.
(1)若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；
(2)取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
[解析] 先由勾股定理求出AB，再利用相似求出BC.只要证明OD⊥DE就能说明ED与⊙O相切，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等边转化为等角，进而算出∠ODE是直角．
解：(1)∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.
∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝5.
∵∠CDB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∴＝，即＝，∴BC＝.
(2)证明：连接OD，在Rt△BDC中，
∵E是BC的中点，∴CE＝DE，∴∠C＝∠CDE.
又OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，
又∵∠OBD＋∠DBC＝90°，∠C＋∠DBC＝90°，
∴∠C＝∠OBD，∴∠BDO＝∠CDE.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，即∠BDE＋∠CDE＝90°，
∴∠BDE＋∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°，
∴ED与⊙O相切．
归纳：在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
类型十一 圆锥面积问题
例11 如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝13 cm，一条直角边AC＝5 cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．
[解析] 首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据S侧＝πR2或S侧＝πrl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆的半径，在Rt△ABC中，由OC·AB＝BC·AC可求出r，问题就解决了．
解：在Rt△ABC中，AB＝13 cm，AC＝5 cm，∴BC＝12 cm.
∵OC·AB＝BC·AC，∴r＝OC＝＝＝.
∴S表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)＝π cm2.
归纳：对于这类由多个几何体拼接而成的几何体，在求它们的侧面积或体积时，可以根据其特点适当“分割”求解，再求和．
（三）典例精讲
例题1：如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.
(1)求∠ABC的度数；
(2)求证：AE是⊙O的切线；
(3)当BC＝4时，求劣弧的长．
解：(1)∠ABC＝∠D＝60°
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线
例题2：如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过B点的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
解：连接OD，∵OB＝OD，OB＝BD，∴△ODB是等边三角形，∠DBO＝60°，∴∠OBC＝∠CBD＝30°，在Rt△OCB中，OC＝2，S△OBC＝OC·OB＝×2×6＝6，S 阴影＝S扇形AOB－2S△OBC＝π×36－2×6＝9π－12，l阴影＝lAB＋AC＋CD＋DB＝3π＋2×6＝12＋3π
（四）归纳小结
1.圆的定义？点和圆 的位置关系？
21.圆的对称性有哪些？圆心角、弧、弦、弦心距之间有何关系？
3.圆周角的定义？圆周角定理和相关推论有哪些？圆内接四边形性质？
4.不在同一直线上的三个点能否确定一个圆？直线和圆有哪几种位置关系？
5.什么是圆的切线？它有何性质？你有几种判断圆的切线的方法？
6.什么是切线长？切线长定理？什么是三角形的内切圆？
7.圆内接正多边形有哪些相关概念？
8.扇形的弧长公式和面积公式是什么？
（五）随堂检测
1．(凉山州)如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为( )
A．80° B．100° C．110° D．130°
2．如图所示，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径OA′，OB′分别交小圆于点A，B，则下列结论中正确的是( )
A．A′B′＝2AB B.＝
C.＝A′B′ D．AA′＝BB′
3．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ )。
A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm
4．如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6 cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
5．如图，⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，点D是CO的中点，DE∥AB，则的度数是_________．
6．已知一个等边三角形的图案的边长是3 cm，现用一个最小的圆去覆盖它，则这个圆的面积是_______cm2.
7．(泰安中考)如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点D，连接BE，设∠BEC＝α，则sinα的值为_________．
8．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.
(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；
(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；
(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
9．已知直线l与半径为2的⊙O的位置关系是相离，则点O到直线l的距离的取值范围在数轴上的表示正确的是( )
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( )
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
11.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E，若圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是( )
A．9 B．10 C．12 D．14
12．(2015·厦门)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是( )
A．线段AE中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB中垂线与线段BC的中垂线的交点
13．(青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝_______
14．四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，∠B＝30°，有一个直径为3的圆，其圆心O在BC边上移动，当BO等于______时，⊙O与BA相切．
15．(荆门)如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F，若的长为，则图中阴影部分的面积为_________．
16．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面位置，搬动时，为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是___________m(结果用π表示)．
17．如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE.
(1)直接写出AE与BC的位置关系；
(2)求证：△BCG∽△ACE；
(3)若∠F＝60°，GF＝1，求⊙O的半径长．
18．如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC.
(1)求证：∠PAC＝∠B，且PA·BC＝AB·CD；
(2)若PA＝10，sinP＝，求PE的长．
【答案】
1.答案为D
2. 答案为D
3．答案为C
4. 答案为B
5. 答案为60°
6. 9π
7.
8. 解：(1)BC∥MD，理由：∵∠M＝∠D，∠M＝∠C，∴∠D＝∠C，∴BC∥AD
(2)连接OC，由垂径定理可知CE＝CD，CO＝AB＝(AE＋BE)＝10，OE＝OB－BE＝6，∴CE＝＝＝8，∴CD＝16
(3)∠D＝30°，连接MC，∵MD经过圆心，∴∠MCD＝90°，∴∠CMD＋∠D＝90°，∵BC∥MD，＝，∴∠BMD＝∠MDC，由垂径定理得：＝，∴∠BMC＝∠BMD，∴∠CMD＋∠D＝∠BMC＋∠BMD＋∠MDC＝3∠MDC＝90°，∴∠MDC＝30°，即∠D＝30°
9. 答案为A
10. 答案为B
11. 答案为D
12. 答案为C
13. 30°
14.3
15. 2－
16. (2π＋50)
17. 解：(1)AE⊥BC
(2)∵BF与⊙O相切，∴∠ABF＝90°，∠CBF＝90°－∠ABE＝∠BAE，∵∠BAF＝2∠CBF，∴∠BAF＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠CBF＝∠DAE，且∠BGC＝∠AED＝90°，△BCG∽△ACE
(3)设⊙O半径为r，则AB＝2r，∠F＝60°，∴BF＝r，AF＝r，∵GF＝1，∴CF＝2，∴AC＝AB＝AF－CF＝r－2＝2r，∴r＝2＋3
18. 解：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠PAO＝90°，∠C＝90°，∴∠PAC＋∠BAC＝90°，且∠B＋∠BAC＝90°，∴∠PAC＝∠B，又∵OP⊥AC，∴∠ADP＝∠C＝90°，△PAD∽△ABC，∴AP∶AB＝AD∶BC，∵在⊙O中，AC⊥OD，∴AD＝CD，∴AP∶AB＝CD∶BC，∴PA·BC＝AB·CD
(2)∵sinP＝，且PA＝10，∴＝，∴AD＝6，∴AC＝2AD＝12，在Rt△ADP中，PD＝＝8，又∵AP∶AB＝PD∶AC，∴AB＝＝15，∴AO＝，∴OP＝，∴PE＝OP－OE＝－＝5
五、板书设计
第三章圆
知识体系
类型归纳
例题展示
六、作业布置
见本单元质量检测试题
七、教学反思
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