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第三章 圆
1.经历探索圆及其相关结论的过程,进一步认识和理解研究图形性质的各种方法,发展几何直观和推理能力.
2.认识圆的轴对称性和中心对称性.
3.探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理,探索并证明垂径定理.
4.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论.
5.探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系.
6.掌握切线的概念,探索切线与过切线的半径之间的关系,会过圆上一点画圆的切线.
7.探索并证明切线长定理.
8.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.
9.会计算圆的弧长、扇形的面积.
10.会利用基本尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形.
1.通过探索,使学生经历“观察——测量——平移——旋转——推理证明”的过程,帮助学生有意识地积累活动经验,体会分类讨论、数形结合和演绎归纳的数学思想的应用,发展有条理的思考及表达能力.
2.通过折纸、对称、平移、旋转、推理证明的方式,使学生利用多种方法认识圆的有关性质,在探究活动中去发现问题和提出问题,并在合作交流中解决问题.
1.经历探索圆及其相关结论的过程,发展学生的数学思维能力.
2.通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验.
3.利用现实生活和数学中的素材,设计具有挑战性的情境,激发学生求知、探索的欲望.
本章是在学习了直线型图形的有关性质的基础上,进一步来探索一种特殊的曲线型图形——圆的有关性质.学生在学习本章之前,已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质,积累了大量的空间与图形的经验.本章充分体现了已有经验的作用:利用折叠、旋转的方法探索圆的对称性;用轴对称变换的方法探索垂径定理及其逆定理,并利用推理证明的方法进行证明;用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理并证明;用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系;用对称变换及反证法探究切线的性质;用图形运动的方法研究直线与圆的位置关系等.通过本章的学习,对学生今后继续学习数学,尤其是逐步树立分类讨论、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.同时本章的学习也是高中的数学学习的基础.
【重点】 利用圆的对称性、垂径定理、圆周角和圆心角定理、切线的性质及判定定理和弧长及扇形的面积公式解决与圆有关的问题.
【难点】 运用圆的有关性质及推论并结合解直角三角形、相似三角形的知识解决相关问题.
1.学生在前面的学习中,已经掌握了很多研究图形的手段和方法,积累了大量研究图形问题的经验.在本章的教学中,教师要有意识地引导、鼓励学生利用他们所掌握的观察、测量、轴对称、平移、旋转、推理、证明等多种手段和方法,开展有关的研究活动,从而发现关系,获得结论.在这一过程中,鼓励学生动手、动口、动脑,帮助他们有意识地积累活动经验,获得成功的体验.
2.学生在前面的学习中,已经积累了大量研究图形问题的经验,感受到了很多研究图形问题的基本思想.在本章的教学中,教师应继续有意识地引导学生在相关的数学活动中感悟基本的数学思想.比如,在点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系这些内容中,蕴含着分类的思想;在探索圆周角与圆心角之间的关系时,也涉及分类的思想.又如,推理的思想也是本章内容中蕴含的重要数学思想,其中既有合情推理,也有演绎推理.此外,本章是图形与几何内容的最后一章,教学中还要有意识地引导学生对有关的数学思想进行归纳、总结或反思,以提升学生对基本数学思想的领悟水平.
3.与圆有关的证明,《标准》只要求证明垂径定理、圆周角定理及其推论,而且其中的垂径定理和切线长定理还是选学内容,不作考试要求.因此,教学中要以《标准》和教科书为依据,准确把握证明的深度与广度.
1 圆
1课时
2 圆的对称性
1课时
*3 垂径定理
1课时
4 圆周角和圆心角的关系
2课时
5 确定圆的条件
1课时
6 直线和圆的位置关系
2课时
*7 切线长定理
1课时
8 圆内接正多边形
1课时
9 弧长及扇形的面积
1课时
回顾与思考
1课时
1 圆
1.经历形成圆的概念的过程,经历探索点和圆位置关系的过程.
2.理解圆的概念,理解弦和弧的概念,了解点与圆的位置关系,并能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的观点.
1.经历探索圆的概念和点与圆的位置关系的过程,发展学生的实践探索能力.
2.了解点与圆的位置关系后,会在简单条件下判断点与圆的位置关系,训练学生的数学应用能力,培养学生分析问题和解决问题的能力.
1.用生活和生产中的实例激发学生的学习兴趣,唤起学生尊重知识的意识,更加热爱生活.
2.通过操作、讨论、归纳等活动,培养学生的观察想象能力,同时训练他们的语言表达能力,使学生获得学习数学的经验.
【重点】 理解圆、弦和弧的概念,会判断点与圆的位置关系.
【难点】 能根据条件画出符合条件的点或图形,初步形成集合的观念.
【教师准备】 多媒体课件和教学圆规.
【学生准备】
1.复习以前所了解的圆的相关知识.
2.直尺和圆规.
导入一:
观察下面的图形,你能发现它们有哪些共同特点吗?
【学生活动】 学生观察图片后,会发现图中都有圆,让学生再举出一些生活中类似的图形.
【老师引入】 在我们生活中,大家经常可以看到圆这个图形“靓丽”的身影,古希腊数学家毕达哥拉斯曾经说过:“一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆形.”让我们一起来感受生活中最美的图形——圆.
[设计意图] 通过多媒体展示现实生活中有关圆的物体图片和名人名言引起学生的注意,使他们感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,激起学生学习的兴趣,从而引入课题.
导入二:
篝火晚会,是草原人民一种传统的欢庆形式.在用火烤熟食物的过程中,便互相拉手围着火堆跳舞以表达自己喜悦愉快的心情,这种欢庆的形式一直延续到今天,就形成了现在的篝火晚会.如图所示.
【问题】 你能说明篝火晚会中人们互相拉手围着火堆跳舞时,为什么习惯上围成一个圆圈吗?
[设计意图] 通过篝火晚会引出问题,学生既在了解课外知识的同时,又产生了疑问,为下面圆的概念的得出埋下了伏笔.
[过渡语] 我们在七年级已经初步了解了圆的概念和相关知识,实际上圆的概念还有另外的一种定义方法,你想了解吗?
一、圆的概念
【问题】 同学们玩过投圈游戏吗?如图所示,一些学生正在做投圈游戏,他们的投圈目标都是图中的花瓶.如果他们呈“一”字排开,这样的队形对每个人都公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形才公平?
老师引导学生分析并回答下面的问题:
1.这样的队形对每个人来说显然不公平,因为他们到花瓶的距离不相等.
2.他们应该怎样排才是公平的?
3.上面的“花瓶”和导入中的“火堆”可以看做什么?所有人到它们的距离有什么关系?
【学生活动】 学生观察后并思考,大胆猜测,得出结论:
1.这样的队形对每个人来说显然不公平,因为他们到花瓶的距离不相等.
2.他们可以围成一个圆形,使每个同学到花瓶的距离相等,才能对每个同学都公平.
3.“花瓶”和“火堆”可以看做是一个定点,所有人到它们的距离都相等,可以看成是定长.
【老师点评】 圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径.以点O为圆心的圆记作☉O,读作“圆O”.
【画一画】 请同学们利用圆规画一个圆.
大部分学生产生了疑惑:在哪画圆?画多大的圆?
【师生活动】 师借机引导学生发现问题:要确定一个圆,需要满足什么条件呢?
【学生小结】 确定一个圆的要素:(1)圆心;(2)半径.
【老师强调】 确定一个圆需要两个要素,一是位置,二是大小;圆心确定其位置,半径确定其大小.只有圆心没有半径,虽圆的位置固定,但大小不定,因而圆不确定;只有半径而没有圆心,虽圆的大小固定,但圆心的位置不定,因而圆也不确定.只有圆心和半径都固定,圆才被唯一确定.
[设计意图] 在七年级圆的概念的基础上,又利用集合的观点对圆进行定义,提高了学生对集合思想的初步认识.
[过渡语] 通过上面的探究,我们已经了解了圆的定义,下面我们来探究和圆有关的一些概念.
二、弦和弧的概念
课件出示:
如图所示:
(1)圆中的线段AB是 ,线段CD是 .
(2)线段AB和线段CD有什么关系?
(3)点A,B之间的部分是什么?点C,D之间的部分是什么?
(4)弧有几种类型?怎么样区分呢?
(5)如何理解等圆和等弧的概念?
【学生活动】 学生通过自学的方式,逐一完成题目的回答,然后小组互相交流,代表发言.
【老师点评】
1.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧.
3.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.
4.弧包括优弧和劣弧,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
5.能够重合的两个圆叫做等圆.
6.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
【老师强调】 等弧的前提条件是在同圆或等圆中.
[设计意图] 通过两个探究活动引出圆及其相关的概念,明确确定圆的两个要素的作用,为下面的点和圆的位置关系的探究打下了良好的基础.
[知识拓展]
1.弧的表示法:如图所示,以B,C为端点的弧有两条:优弧BDC,记作,劣弧BAC,记作或.
2.弧的分类:弧
[过渡语] 平面上,点与圆的位置关系有几种?我们如何判断它们之间的关系呢?
三、点与圆的位置关系
课件出示:
【想一想】 如图所示,☉O是一个半径为r的圆.在圆内、圆外、圆上分别取一点,点到圆心的距离为d,你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗?
【师生活动】 学生动手操作画图,师巡视,观察学生画的图,教师在黑板上演示出所有的作图类型:
【问题】
1.在画图的过程中你认为点与圆有几种位置关系?
2.我们如何确定点与圆有几种位置关系?
【学生活动】 学生独立思考后小组讨论,代表发言.
【教师点评】
1.点与圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内.
2.点在圆外,即d>r;点在圆上,即d=r;点在圆内,即d<r.
[设计意图] 通过学生动手实践,自愿参与数学活动,主动去探索、讨论、积极发表自己的看法,思考点和圆的位置关系,以及相应的这个点与圆心的距离与半径的大小关系,使学生主动参与学习活动,增强了学生学好数学的自信心.
[知识拓展] 点到圆心的距离和点与圆的位置关系的关系:①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r.
[过渡语] 我们已经了解了圆的相关知识,让我们通过练习检测一下我们掌握的程度吧.
四、圆的知识的应用
课件出示:
【做一做】 设AB=3 cm,画图说明满足下列要求的图形:
(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形;
(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形.
师引导学生思考下面的问题:
(1)到点A的距离等于2 cm的点组成什么样的图形?到点B的距离等于2 cm的点呢?
(2)到点A的距离小于2 cm的点在哪?到点B的距离小于2 cm的点呢?
【师生活动】 学生分组讨论,合作交流,教师参与到小组合作学习中,并给予必要的个别指导,师生共同补充完善.
【学生活动】 代表发言,说明作图的方法和理由:
(1)分别以点A,B为圆心,2 cm长为半径作☉A和☉B,到点A的距离等于2 cm的所有点组成的图形是☉A,到点B的距离等于2 cm的所有点组成的图形是☉B,两个条件同时满足应该是两圆的交点P,Q,如图(1)所示.
(2)分别以点A,B为圆心,到点A的距离小于2 cm的点在☉A的内部,到点B的距离小于2 cm的点在☉B的内部,所以应该是☉A的内部与☉B的内部的公共部分(图中阴影部分),不含边界,如图(2)所示.
[设计意图] 通过动手操作画图,让学生再次体会点与圆的位置关系,并在探究的过程中渗透了一种常用的数学法——交集法,让学生经历用集合的观点理解图形的过程.
1.圆、弦、弧的概念.
2.点与圆的位置关系.
1.下列说法中,结论错误的是 ( )
A.直径相等的两个圆是等圆
B.长度相等的两条弧是等弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
解析:A.直径相等的两个圆是等圆,正确,不符合题意;B.长度相等的两条弧是等弧,错误,符合题意;C.圆中最长的弦是直径,正确,不符合题意;D.直径把圆分成两条弧,这两条弧是等弧,正确,不符合题意.故选B.
2.若☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为4 cm,那么点A与☉O的位置关系是 ( )
A.点A在圆外 B.点A在圆上
C.点A在圆内 D.不能确定
解析:∵☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为4 cm,∴d<r,∴点A与☉O的位置关系是点A在圆内.故选C.
3.圆上各点到圆心的距离都 ,都等于 .
解析:根据圆的定义,可得圆上各点到圆心的距离都相等,都等于半径.
答案:相等 半径
4.如图所示,☉O的半径为4 cm,∠AOB=60°,则弦AB的长为 cm.
解析:∵∠AOB=60°,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=60°,∴△OAB是等边三角形.∴AB=OA=4 cm.故填4.
5.如图(1)(2)所示,线段AB=1.8 cm,作满足下面要求的图形.
(1)到点A和点B的距离都小于1.1 cm的所有点组成的图形;
(2)到点A和点B的距离都大于1.1 cm的所有点组成的图形.
解:(1)如下图所示的阴影部分(不含边界)就是到点A和点B的距离都小于1.1 cm的所有点组成的图形.
(2)图中两个圆以外的部分就是到点A和点B的距离都大于1.1 cm的所有点组成的图形.
1 圆
1.圆、半圆、弧、等圆和等弧的概念.
2.点与圆的位置关系有三种:点在圆外、点在圆上、点在圆内.点在圆外⇔d>r;点在圆上⇔d=r;点在圆内⇔d<r.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第66页随堂练习第1,2题.
2.教材第68页习题3.1第1,2,3题.
【选做题】
教材第69页习题3.1第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法:(1)直径是弦; (2)弦是直径; (3)半圆是弧,但弧不一定是半圆;(4)半径相等的两个圆是等圆; (5)长度相等的两条弧是等弧.
其中错误的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.一个点到圆的最大距离为11 cm,最小距离为5 cm,则圆的半径为 ( )
A.16 cm或6 cm B.3 cm或8 cm
C.3 cm D.8 cm
3.圆的半径为3,则弦AB长度的取值范围是 .
4.如图所示的矩形ABCD中,AB=8,BC=3,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD为半径的圆,那么点B在圆P ,点C在圆P .(填“内”或“外”)
【能力提升】
5. 如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,AD∥OC且∠ODA=55°,则∠BOC等于 ( )
A.105° B.115° C.125° D.135°
6.如图所示,数轴上半径为1的☉O从原点0开始以每秒1个单位长度的速度向右运动,同时,原点右边距原点7个单位长度有一点P以每秒2个单位长度的速度向左运动,经过 秒后,点P在☉O上.
7.如图所示,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作☉C,半径为r.
(1)当r取什么值时,点A,B在☉C外?
(2)当r在什么范围时,点A在☉C内,点B在☉C外?
8.如图所示,△ABC中,∠BCA=90°,AC=2 cm,BC=4 cm, CM是中线,以C为圆心,以 cm长为半径画圆,则点A,B,M与☉C有什么样的位置关系?
【拓展探究】
9.如图所示,小虎牵着小狗上街,小虎的手臂与绳长共为2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上),手臂肩部距地面1.5 m.当小虎站立不动时,小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少?并画出平面图.
【答案与解析】
1.B(解析:(1)根据弦的概念,直径是一条线段,且两个端点在圆上,满足弦是连接圆上两点的线段这一概念,所以(1)正确;(2)弦是连接圆上两点的线段,只有过圆心的弦才是直径,其他的弦不是直径,所以(2)错误;(3)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,不是所有的弧都是半圆,所以(3)正确;(4)由等圆的定义可知,半径相等的两个圆面积相等、周长相等,所以为等圆,所以(4)正确;(5)等弧是能完全重合的弧,只有长度相等的两条弧不一定能重合,所以(5)错误.故选B.)
2.B(解析:当点在圆内时,最近点的距离为5 cm,最远点的距离为11 cm,则直径是16 cm,因而半径是8 cm;当点在圆外时,最近点的距离为5 cm,最远点的距离为11 cm,则直径是6 cm,因而半径是3 cm.)
3.0<AB≤6 (解析:圆的半径为3,则弦中最长的弦即直径的长度是6,因而弦AB长度的取值范围是0<AB≤6.)
4.内 外(解析:∵AB=8,点P在边AB上,且BP=3AP,∴AP=2,PB=6,∴r=PD= =7,PC== =9,∵PB=6<7,PC=9>7,∴点B在圆P内、点C在圆P外.)
5.C (解析:∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=55°,∵AD∥OC,∠AOC=∠OAD=55°,∴∠BOC=180°-∠AOC=125°.故选C.)
6.2或(解析:设x秒后点P在圆O上,∵圆O从原点0开始以每秒1个单位长度的速度向右运动,同时,原点右边距原点7个单位长度有一点P以每秒2个单位长度的速度向左运动,∴当第一次点P在圆上时,(2+1)x=7-1=6,解得x=2;当第二次点P在圆上时,(2+1)x=7+1=8,解得x=.故填2或.)
7.解:(1)当0<r<3时,点A,B在☉C外.
(2)当3<r<4时,点A在☉C内,点B在☉C外.
8.解:根据勾股定理,有AB==2(cm).∵CA=2 cm< cm,∴点A在☉O内.∵BC=4 cm> cm,∴点B在☉C外.由中线性质得CM= cm,∴点M在☉C上.
9.解:由题意可知AB=2.5 m,AC=1.5 m,小狗在地面上环绕跑时,圆的半径为=2.0(m),小狗活动的最大区域是以2.0 m长为半径的圆,如图所示.
由于学生在七年级就掌握了圆及其相关概念,容易造成学生的学习兴趣不高,所以本节课一开始就通过展示生活中有关圆的实物图,深深地吸引学生,使其产生很大的兴趣,让其体会到数学来源于生活,激发出学生的求知欲.由于本节课的知识点比较简单,所以本节课主要以学生自主探究为主,合作探究为辅的方式进行教学.让学生通过观察、猜想、动手操作等过程,积极主动地探究规律,通过归纳、综合概括或引申发展,从而有所发现,并提出一般技巧和规律,有效地突破了学习的重难点,调动学生的积极思维,培养了学生理解和分析能力.
本节课教学容量较大,没能留给学生充分的时间进行拓展延伸,下次教学还要把概念教学的时间缩短,为后面拓展延伸留更多的时间.
为了满足不同层次学生的需要,要对问题设置与提问进行分层设计,为每一位学生提供充分展示自己的机会.
随堂练习(教材第66页)
1.解:将绳子的一端A固定,然后拉紧绳子的另一端B,并绕A在地上转一圈,B所经过的路径就是所要画的圆.
2.解:小明投的铅球落在区域5~6 m内,小华投的铅球落在区域6~7 m内.
习题3.1(教材第68页)
1.解:以柱脚为圆心,5 m长为半径画圆,此圆在草地上的部分是羊活动的区域.
2.(1)☉O外 (2)☉O内 (3)5
3.解:分别以A,B为圆心,以2 cm长为半径画☉A和☉B,在☉A内部且又在☉B外部所组成的图形即为所求.如右图所示.
4.解:小明可能,如:1+1+1+1+1+3=8(分);小华不可能,因为最多只能得到9×6=54(分);小红可能,如:5+5+5+5+7+1=28(分).
1.本节课的知识点主要是圆及其相关的概念,所以内容比较简单,学生通过自主探究基本上可以掌握,可以利用观察、猜想、动手操作的方式进行探究.
2.要对探究的结论及时进行归纳总结,要得出一般性的结论,为知识的运用打下良好的基础,对于本节课的难点,可以通过小组的交流合作进行突破.
已知AB=4 cm,画图说明满足下列条件的图形.
(1)到点A和B的距离都等于3 cm的所有点组成的图形;
(2)到点A和B的距离都小于3 cm的所有点组成的图形;
(3)到点A的距离大于3 cm,且到点B的距离小于2 cm的所有点组成的图形.
〔解析〕 (1)到点A和B的距离都等于3 cm的点为两圆的公共点;(2)在☉A内也在☉B内的点满足到点A和B的距离都小于3 cm;(3)在☉A外,在☉B内的点满足条件.
解:(1)如图(1)所示,分别以点A和点B为圆心,3 cm长为半径画☉A与☉B,两圆的交点C,D为所求.
(2)如图(1)所示,分别以点A和点B为圆心,3 cm长为半径画☉A与☉B,两圆的重叠部分为所求,不算边界.
(3)如图(2)所示,以点A为圆心,3 cm长为半径画☉A,以点B为圆心,2 cm长为半径画☉B,则☉B内除去两圆的重叠部分为所求.
2 圆的对称性
1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.
2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.
3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.
1.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育.
2.渗透圆的内在美,并使得学生在小组合作中尝试交流,在“做数学”中体会数学的严谨性.
【重点】 理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.
【难点】 应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题.
【教师准备】 多媒体课件和教学圆规.
【学生准备】
1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识.
2.圆规和自制圆形纸片.
导入一:
同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.
课件出示:
【引入】 因为有圆,万物才显得富有生机, 我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,你知道圆是什么样的对称图形吗?
[设计意图] 从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高了学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,增强学好本节课的信心.
导入二:
我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由.
[设计意图] 通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然.
[过渡语] 我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么对称图形呢?
一、圆的对称性
课件出示:
如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
思路一
猜想
【学生活动】 学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论.
教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?
【教师点评】 圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线.
思路二
折纸
【学生活动】 学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题.
学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.
师出示折叠示意图:
【学生活动】 学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心.
【教师点评】 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.
[过渡语] 通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称图形.
课件继续出示:
【想一想】 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?
【学生活动】 学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论.
【师生小结】 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
【教师点评】 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.
圆是中心对称图形,对称中心为圆心.
[设计意图] 问题可以激发学生学习数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣,在动手操作中既复习圆的意义,又探索出圆的对称性.
二、圆心角、弧、弦之间相等关系定理
[过渡语] 通过上面的探究,我们得到了圆的旋转不变性,下面我们继续实验,看看圆还有哪些性质定理.
课件出示:
【做一做】 在等圆☉O 和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),将两圆重叠、并固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与O'A'重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.
【活动方式】 分小组进行实验操作,小组之间交流.
【师生活动】 教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组组长汇总,展示结果,教师板书.
思路一
旋转能使∠AOB和∠A'O'B'完全重合,从而可以得到OA=OB=O'A'=O'B',∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A',AB=A'B',=,是通过证明△AOB≌△A'O'B'得到的.
思路二
由两圆旋转可知:点A与点A'重合,点B与点B'重合, 所以=,AB=A'B'(叠合法).
【学生小结】 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
【问题】 你能对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行证明吗?
【学生活动】 学生先独立解答,然后互相讨论交流.代表展示:
证明:∵半径OA与O'A'重合,∠AOB=∠A'O'B',
∴半径OB与O'B'重合.
∵点A与点A'重合,点B与点B'重合,
∴与重合,弦AB与弦A'B'重合.
∴=,AB=A'B'.
【议一议】 上面的结论,在同圆中成立吗?
【学生活动】 学生思考、猜想后得出肯定的结论.
【教师点评】 圆心角、弧、弦之间相等关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
[过渡语] 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,会得出什么样的结论?
课件出示:
【想一想】
(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?
(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么结论?
【学生活动】 学生思考、猜想后得出结论,然后互相交流、讨论,统一想法.
【教师活动】 要求学生说明得出的结论的理由.(证明△AOB≌△A'O'B'或叠合法)
【师生总结】 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
【教师强调】 注意事项:
(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件.
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义,否则易错用此关系.
[设计意图] “学起于思,思起于疑,无疑则无知”,所以通过让学生提出疑难,再解决疑难的方式来理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理的含义,从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的逆定理.
[过渡语] 通过上面的探究过程,我们掌握了圆心角、弧、弦之间的关系,你能运用这些知识解决下面的问题吗?
课件出示:
如图所示,AB,DE是☉O 的直径,C是☉O上的一点,且=.BE与CE的大小有什么关系?为什么?
〔解析〕 通过观察可以猜想BE=CE.因为BE与CE都是☉O的弦,要证明弦相等,可证明弦所对的弧相等,因为=,又=,继而可得=.
解:BE=CE.理由是:
∵∠AOD=∠BOE,
∴=.
又∵=,
∴=.
∴BE=CE.
【议一议】 在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流.
【学生活动】 学生思考后进行交流,得出本节课采用的方法:折叠、轴对称、旋转、推理证明等.
[设计意图] 本环节主要是通过例题透析,训练学生的知识综合应用能力,使其在巩固应用的基础上,拓展知识面,培养他们的概括、推理能力.
1.圆的对称性:轴对称图形和中心对称图形.
2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.
1.下列命题中,正确的是 ( )
A.圆只有一条对称轴
B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条
C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴
D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴
解析:圆有无数条对称轴,每条对称轴都是直径所在的直线.故选D.
2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,则优弧所对的圆心角为 ( )
A.45° B.90° C.135° D.270°
解析:如图所示,∵圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,∴∠AOB∶大角∠AOB=1∶3,∴大角∠AOB=360°×=270°.故选D.
3.如图所示,已知AB是☉O的直径,==,∠BOC=40°,那么∠AOE等于 ( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
解析:∵==,∠BOC=40°,∴∠BOE=3∠BOC=120°,∴∠AOE=180°-∠BOE=60°.故选B.
(第4题图)
4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°,交AD于点E,则∠DEF= .
解析:由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°,即∠BOF=120°,得∠COF=180°-∠BOF=60°,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠COF=60°.故填60°.
2 圆的对称性
1.圆的对称性.
(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.
(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心.
2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
一、教材作业
【必做题】
1.教材第72页随堂练习第1,2,3题.
2.教材第72页习题3.2第1,2题.
【选做题】
教材第73页习题3.2第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在☉O中,∠B=37°,则劣弧AB 的度数为 ( )
A.106° B.126° C.74° D.53°
2.如图所示,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B等于 ( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
3.如图所示,=,若AB=3,则CD= .
4.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是弧BC的中点,则∠ACD= .
【能力提升】
5.如图所示,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4 cm,则☉O的周长为 ( )
A.5π cm B.6π cm C.9π cm D.8π cm
6.(2014·菏泽中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为 .
7.如图所示,=, D,E分别是半径OA和OB的中点,CD与CE的大小有什么关系?为什么?
【拓展探究】
8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且=.若∠AOD=110°,求的度数.
【答案与解析】
1.A(解析:连接OA,∵OA=OB,∠B=37°,∴∠A=∠B=37°,∠O=180°-2∠B=106°.)
2.B(解析:在☉O中,∵=,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B==75°.故选B.)
3.3 (解析:∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.)
4.125°(解析:连接OD,∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∠ACO=70°,∵D是弧BC的中点,∴∠COD=70°,∴∠OCD=55°,∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°.)
5.D (解析:如图所示,连接OD,OC.∵AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,BC=CD=DA=4 cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4 cm,∴☉O的周长=2×4π=8π(cm).故选D.)
6.70°(解析:∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠B=55°,连接CD,∵CB=CD,∴∠BDC=55°,∴∠BCD=70°.∴的度数为70°.)
7.解:CD=CE.理由如下:如图所示,连接OC,∵D,E分别是OA,OB的中点,∴OD=OE,又∵=,∴∠DOC=∠EOC,又OC=OC,∴△CDO≌△CEO,∴CD=CE.
8.解:如图所示,连接OC.∵∠AOD=110°,∴∠DOB=70°.又∵=,∴∠COD=∠DOB=70°,∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°,∴的度数为40°.
本节课首先利用课件出示生活中的圆形图片,利用圆的对称美引入新课,极大地活跃了课堂气氛,激发了学生学习的积极性.然后在课堂上可以先给学生留有充足的动手实验和思考的时间,在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示,使探究的结论更加直观形象.同时,通过学生自己动手体验知识的形成过程,使学生获得成功的体验,使他们的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.
本节课学生操作和自主学习的时间较多,所以教学时间不太容易把握,造成不能顺利完成课堂教学任务.
合理安排时间,对于有些学生感觉有难度的知识点,可以通过小组交流讨论,这样既可以增强交流的意识,又节约了时间.
随堂练习(教材第72页)
1.解:如碗口、圆桌、方向盘等.
2.解:如图所示.答案不唯一.
3.解:四边形OACB是菱形.理由如下:如图所示,∵C是的中点,∴=.又∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都是等边三角形.∴OA=OB=AC=BC.∴四边形OACB是菱形.
习题3.2(教材第72页)
1.解:△ABC与△DCB全等.理由如下:∵AB=DC,BC=CB,∴=,∴AC=DB.∴在△ABC与△DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB(SSS).
2.解:(1)OE=OF.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵在△EOB和△FOD中,∠
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