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秋八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题教学设计 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级上册数学教案.doc

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资源描述
课题学习 最短路径问题 一、内容和内容解析 1.内容 利用轴对称研究某些最短路径问题. 2.内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到,初中阶段主要以“两点之间,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”为基础知识,有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 基于以上分析,确定本节课的教学重点是:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题,培养学生解决实际问题的能力. 二、目标和目标解析 1.教学目标 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变换在解决最值问题中的作用,感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强应用意识. 2. 教学目标解析 学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”,把实际问题抽象为数学问题;能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”问题;能通过逻辑推理证明所求距离最短;在探索最短路径的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想. 三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是极值问题,作为八年级的学生,在此之前很少接触,解决这方面问题的经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的极值问题,更会感到陌生,无从下手. 对于直线异侧的两点,怎样在直线上找到一点,使这一点到这两点的距离之和最小,学生很容易想到连接这两点,所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点,如何在直线上找到一点,使这一点到这两点的距离之和最小,一些学生会感到茫然,找不到解决问题的思路. 在证明“最短”时,需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合),证明所连线段和大于所求作的线段和,学生想不到,不会用. 教学时,教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”,为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时,教师可告诉学生,证明“最大”“最小”这类问题,常常要另选一个量,通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性,所以结论对于直线上的每一点(C点除外)都成立 本节课的教学难点是:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 四、教学过程设计 1.创设问题情境 问题1  如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?说说你的理由. 师生活动:学生回答问题,说出理由:两点之间,线段最短. 【设计意图】让学生回顾“两点之间,线段最短”,为引入新课作准备. 问题2:如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两村供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短? 师生活动:学生回答,连接AB,线段AB与l的交点即为泵站修建的位置. 【设计意图】让学生进一步感受“两点之间,线段最短”,为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫. 2.将实际问题抽象为数学问题 问题3 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题: 从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗? 师生活动:学生尝试回答,并相互补充,最后达成共识:(1)将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直线;(2)在直线l上找到一点C,使AC与BC的和最小? 【设计意图】学生通过动手操作,在具体感知轴对称图形特征的基础上,抽象出轴对称图形的概念. 3.解决数学问题 问题4  如图,点A,B 在直线l 的同侧,在直线l上找到一点C,使AC 与BC的和最小? 师生活动:学生独立思考,尝试画图,相互交流. 如果学生有困难,教师可作如下提示: (1)如果点B在点A的异侧,如何在直线l上找到一点C,使AC 与BC的和最小 (2)现在点B与点A在同侧,能否将点B移到l 的另一侧点处,且满足直线l上的任意一点C,都能保持? (3)你能根据轴对称的知识,找到(2)中符合条件的点吗? 师生共同完成作图,如下图. 作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交于点C.则点C 即为所求. 【设计意图】教师一步一步引导学生,如何将同侧的两点转化为异侧的两点,为问题的解决提供思路,渗透转化思想. 4.证明AC +BC “最短” 问题4  你能用所学的知识证明AC +BC最短吗? 师生活动:学生独立思考,相互交流,师生共同完成证明过程. 证明:如图,在直线l 上任取一点(与点C 不重合),连接AC′,BC′,. 由轴对称的性质知, ,. ∴,            . 在△中,, ∴ . 即AC +BC 最短. 追问1:证明AC +BC最短时,为什么要在直线l上任取一点(与点C但不重合)? 师生活动:学生相互交流,教师适时点拨,最后达成共识:若直线l上任意一点(与点C不重合)与A,B两点的距离和都大于AC +BC,就说明AC +BC最小. 【设计意图】让学生体会作法的正确性,提高逻辑思维能力. 追问2:回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的? 师生活动:学生回答,相互补充. 【设计意图】学生在反思中,体会轴对称的桥梁作用,感悟转化思想,丰富数学活动经验. 5.巩固练习 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.                            师生活动:学生分析解题思路,独立完成画图,教师适时点拨. 【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法. 6.归纳小结 教师和学生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题. (1)本节课研究问题的基本过程是什么? (2)轴对称在所研究问题中起什么作用? 师生活动:教师引导,学生小结. 【设计意图】:引导学生把握研究问题的基本策略和方法,体会轴对称在解决最短路径问题中的作用,感悟转化思想的重要价值. 7.布置作业: 教科书复习题13第15题. 五、目标检测设计 某实验中学八(1)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短? 【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.
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